Роль визуализации в процессе изучения теории вероятностей

Из истории математики известно, что новая научная идея, понятие почти никогда не рождаются в готовом, четко сформулированном виде. Обычно они появляются у ученого в форме некоторых неясных мысленных образов. И только после того, как мысленная картина оформляется ярко и четко, идея выплескивается на бумагу, одевается словами, символами, формулами. Широко известно, например, высказывание Эйнштейна о том, что слова, по-видимому, не играют никакой роли в процессе его мышления. Оно опирается на чередование некоторых более или менее ясных образов, чаще зрительных, но иногда и слуховых, двигательных. Слова и знаки оказываются необходимы только на завершающем этапе, когда требуется отразить результаты мыслительной работы в общепонятной форме, и часто именно этот этап оказывается наиболее мучительным и сложным.

Для детей обучение математике в чем-то сродни настоящему научному творчеству. И если при этом ученик лишен возможности пройти через этап мышления образами, он сталкивается со значительными трудностями в усвоении математических знаний. Действительно, в процессе обучения математике у учащихся должны сформироваться субъективно новые понятия. И точно так же, как и профессиональные математики, дети сначала пытаются мысленно увидеть требуемую ситуацию и только затем используют абстрактно-логический аппарат. Попробуйте задать ребенку вопрос: «Может ли в треугольнике быть два прямых угла?» — и сначала последует ответ: «Нет, стороны не сойдутся», подкрепляемый соответствующим «рисунком» в воздухе. По требованию учителя ученик приведет формально-логическое обоснование своего ответа, однако началось решение поставленной задачи все же с помощью наглядных образов.

Движение от наглядного образа понятия к его формальному определению, опора на образную стратегию мышления при решении задач - «подлинно детский путь в математику».

Таким образом, появляется возможность сделать процесс обучения математике более «естественным» для ребенка, более комфортным с точки зрения его соответствия особенностям мышления ученика. Для этого необходимо как можно шире использовать возможности визуального мышления учащихся (мышления зрительными образами). В частности, при формировании математических понятий важное значениё приобретает визуализация математического знания (создание многоаспектных, динамичных зрительных образов, соответствующих изучаемому понятию).

Строго говоря, при любом стиле и методах обучения некоторая часть учащихся, независимо от желания учителя, будет опираться на визуальное мышление. То есть у этих детей будут оформляться некоторые мысленные зрительные образы, в той или иной степени соответствующие изучаемому понятию, а затем эти индивидуализированные образы будут использоваться, например, в ходе решения задачи. Если такое формирование и оперирование созданными образами будет проходить у учащихся стихийно, без помощи и контроля со стороны учителя (или учебного текста), если особенности их визуального мышления будут игнорироваться, то это может привести к целому ряду типичных ошибок и затруднений при усвоении математических понятий.

1. Формализм в усвоении понятий. Нередко случается, что ученик при использовании математического понятия не учитывает некоторые его существенные признаки. Апеллирование к формально-логическому определению не приносит результата: учащиеся раз за разом абсолютно верно его воспроизводит, но все же не видит своей ошибки. Это означает, что у него не был создан целостный образ изучаемого понятия, в котором были бы одномоментно «схвачены» все необходимые признаки.

В этом плане зрительный образ (естественно, правильно сформированный, адекватный понятию) даже предпочтительнее словесного определения. Исследования показывают, что можно сколь угодно долго оперировать словами и знаками, не видя за ними содержания и не понимая их смысла, а вот долго удерживать в представлении образ, к содержанию которого субъект безразличен, невозможно.

2. Сужение объема понятия. В образе могут закрепляться несущественные, ситуативные свойства объекта и игнорироваться существенные, инвариантные признаки.

3.Затруднения при необходимости выделять понятия из контекста. Неумение анализировать структуру образа приводит к неспособности вычленять из него элементы, необходимые для дальнейшей работы.

4. Затруднения при необходимости выйти за границы очерченного контура.

5. Многие основополагающие математические идеи усваиваются учащимися с большим трудом, так как эти идеи не подкрепляются соответствующими зрительными образами.

6. Известен феномен «отторжения» понятия в случае невозможности его визуализации.

В процессе обучения теории вероятностей учащиеся могут столкнуться с аналогичными проблемами. Поэтому слова «я не понимаю, потому что не могу это себе представить, потому что не вижу», не стоит воспринимать как простой каприз или отговорку. Возможно, это отголосок серьезного психологического затруднения, и нужно помочь учащемуся преодолеть его, поискать вместе с учеником зрительный образ для понятия, которое породило такой барьер.

Методическая ценность такого подхода к изложению ряда тем теории вероятностей: делает теорию более доступной для учащихся, облегчает доказательство многих законов, решение многих задач.

Пусть множество элементарных исходов некоторого эксперимента представлено прямоугольником Ω. Случайным событием будем называть любое подмножество из множества всех элементарных исходов. Тогда каждое случайное событие А может быть изображено некоторой фигурой, границы которой не выходят за рамки прямоугольника (диаграмма Эйлера-Венна). На рис. 1 эта фигура заштрихована. В таком случае область прямоугольника Ω, оставшаяся не заштрихованной на рис.1 (дополнение множества А до Ω) изображает противоположное событие А.

Аналогичным образом можно дать наглядные пояснения ряду простейших понятий теории вероятностей.

Совместимость событий А и В изображается двумя фигурами, имеющими непустое пересечение (рис.2). Несовместимость событий иллюстрируется непересекающимися фигурами (рис.3).

Теперь появляется возможность с помощью кругов истолковать операции над случайными событиями.

На рис.4 и 5 штриховкой выделено случайное событие, которое является объединением (суммой) случайных событий А и В, причем на рис. 4 эти случайные события совместимые, а на рис. 5 — несовместимые. В случае совместимости А и В сумма А+В означает: произошло событие А, или В, или оба вместе. В случае несовместимости АUВ трактуется так: произошло либо А, либо В. На рис. 6 выделено пересечение (произведение) совместимых событий А и В. Его нужно понимать так: произошли события А и В вместе.

Очень удобным средством для построения модели со случайными исходами является вероятностный граф. Каждое ребро или ветвь графа - это результат испытания. Рядом с каждым ребром графа записываем вероятность события, соответствующего конечной вершине этого ребра, при условии выполнения события, соответствующего начальной вершине ребра.

Теорема сложения. Для любых двух событий справедливо равенство:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(А•В).

Условной вероятностью Р(А/В) события А при условии, что событие В произошло (Р(В)≠ 0), назовем отношение Р(А•В)/ Р(В).

Это определение эквивалентно теореме умножения, согласно которой

Р(А•В) = Р(А) • Р(В/А) =Р(В) • Р(А/В).

Следствия теорем сложения и умножения:

1. Р(А•В+С•D)=P(A)• Р(В/А)+ Р(В) • Р(А/В), где А•В и С•D – несовместимые события.

2. Р(A₁•A₂•…•A_n-1•A_n)= Р(A₁)• Р(A₂ /A₁)•…• Р (A_n /A₁•A₂•…•A_n-1•A_n).

В работе с учащимися используем следующую интерпретацию следствий из теорем сложения и умножения на вероятностных деревьях:

для первого свойства.

для второго свойства.

Произведение Р(A₁)•Р(A₂/A₁)•…•Р(A_n/A₁•A₂•…•A_n-1•A_n) называется весом ветви, проходящей через корень дерева и вершины, соответствующие событиям A₁, A₂, ..., A_n.

Так вероятность конечного результата, соответствующего одной ветви дерева, является произведением вероятностей, присвоенных очередным ребрам этой ветви. В этом заключена формула умножения, которая позволяет определить распределение вероятности на пространстве результатов многоэтапного испытания. Формула сложения заключается в сложении вероятностей отдельных результатов испытаний, которые представлены на вероятностном дереве в виде конечных ветвей. Сумма вероятностей всех исходов равна единице. Вероятностное дерево показывает, как эта единица распределяется между отдельными результатами испытания.

Выше изложенное проиллюстрируем на примерах.

1. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Неграмотный мальчик перемешал буквы, а потом наугад собрал из них слово. Какова вероятность того, что он опять составил слово «книга»?

Р=1/5∙1/4∙1/2∙1=1/120.

2. Из мешка с двумя белыми и тремя черными шарами, не глядя, выбирают два раза шар (без возвращения). Построим вероятностную модель этого опыта.

Изобразим вероятностное дерево двукратного случайного выбора шара из мешка без возвращения. Буквой b обозначен исход - случайно выбранный шар белый, буквой а - выбранный шар черный. Имеем: p(b)=3/5, p(a)=2/5.

Конечному результату соответствует произведение вероятностей, присвоенных очередным ребрам этой ветви. P(aa)=6/20, P(bb)=2/20, P(ab)=6/20, P(ba)=6/20.

Найдем вероятности извлечения шаров одного цвета и разного цвета. Рассмотрим события: событие А - извлечение шаров одного цвета; событие В - извлечение шаров разного цвета.

Для событий А и В, связанного с данным испытанием, построим множество благоприятствующих ему результатов испытания А={bb,aa}; B={ab,ba}.

P(A)=6/20+2/20=2/5, P(B)=6/20+6/20=3/5.

Математическое решение проблемы выбора шаров означает, что выбор шаров разного цвета будет наблюдаться чаще, чем одного цвета.

3. Имеются 3 одинаковых непрозрачных клетки. В первой клетке находятся 2 белых и 1 коричневая мыши, во второй – 3 белых и 1 коричневая мыши, в третьей – 2 белых и 2 коричневых мыши. Лаборант выбирает наугад одну из клеток и извлекает из нее наудачу мышь. Какова вероятность, что извлеченная мышь – белая?

При традиционном подходе эта задача на формулу полной вероятности. Пусть событие А - извлеченная мышь - белая, Н₁- выбрана клетка 1, Н₂- выбрана клетка 2, Н₃ - выбрана клетка 3. Тогда Р(Н₁)= Р(Н₂)= Р(Н₃)=1/3, Р(А/ Н₁)=2/3, Р(А/ Н₂)=3/4, Р(А/ Н₃)=2/4=1/2.

Р(А)= Р(Н₁)• Р(А/ Н₁)+ Р(Н₂)• Р(А/ Н₂)+Р(Н₃)• Р(А/ Н₃). Р(А)=23/36.

Полная вероятность события A равна весу всего вероятностного графа с гипотезами (и с выбранной вершиной):

Если до опыта вероятности гипотез были P(H₁), P(H₂), ..., P(H_n), а в результате опыта появилось событие A, то с учетом этого события «новые», то есть условные вероятности гипотез, вычисляются по формуле Байеса: , где .

Формула Байеса дает возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюдающегося результата опыта. Условная вероятность Р(Н_к/А) находится как отношение веса ветви, проходящей через вершину, соответствующую гипотезе H_k, к весу всего вероятностного графа. Формулировка формулы Байеса на графе «похожа» на определение вероятности.

4. Строительная бригада получает железобетонные перекрытия от трех домостроительных комбинатов (ДСК): от I ДСК — 30%, от II ДСК—55% и от III ДСК—15% перекрытий. Известно, что брак продукции I ДСК составляет 5%, II ДСК—6%, а III ДСК—10%. Полученные перекрытия хранятся на общем складе. Наугад выбранное для контроля перекрытие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что бракованное перекрытие изготовлено на I ДСК?

Обозначим события:

А — «наугад проверенное перекрытие — брак»,

Н₁ — «наугад проверенное перекрытие изготовлено на I ДСК»,

Н₂ — «наугад проверенное перекрытие изготовлено на II ДСК»,

Нз — «наугад проверенное перекрытие изготовлено на III ДСК».

По условию задачи Р(А/Н₁)=0,05; Р(А/Н₂)=0,06; Р(А/Н₃)=0,1; Р(Н₁)=0,3; Р(Н₂)=0,55; Р(Н₃)=0,15. Построим вероятностный граф с гипотезами.

Находим искомую вероятность Р(Н₁/А)=0,05•0,3/(0,05•0,3+0,06•0,55+0,1•0,15)≈0,238. Вероятностные графы делают решение более наглядным и доступным.