Перетин кривої поверхні площиною загального положення

Умова. Побудувати проекції ліній перетину кривої поверхні площиною загального положення (рис. 15. табл. 5).

При рішенні задач цього типу на кривій поверхні потрібно провести ряд твірних, потім визначити точки перетину цих твірних із січною площиною. Ці точки будуть належати як січній площині, так і заданій поверхні, тобто будуть належати лінії перетину площини з заданою кривою поверхнею. Дані точки (якщо твірні - прямі лінії) знаходять способом, зазначеним у завданні 3 на перетині площини і прямої. При цьому крива поверхня приблизно замінюється вписаною або описаною граневою поверхнею, причому точність рішення зростає зі збільшенням числа граней.

Таблиця 3

Кут №
α0
β0

Для знаходження точок перетину утворюючої кривої поверхні (ребер вписаної грано поверхні) із січною площиною можна використовувати і інші способи, наприклад, спосіб заміни площин проекцій. На рис. 16 таким способом побудовані проекції лінії перетин поверхні конуса площиною загального положення (при цьому допоміжну площину проекції П₂ проводять перпендикулярно до січної площини). Січна площина стає проектуючоюпо відношенню до допоміжної площини проекцій і тому проектується на неї в пряму лінію, що збігається зі слідом цієї площини. На цю пряму проектується і шукана лінія перетину, ш: лежить у січній площині. Потім проводять ряд твірних заданої поверхні (будують їх проекції на площині П₁,П₂, П₃). Точки перетину проекцій твірних на площину П₃ зі слідом січно площини (на площині П₃) являють собою проекції на площині П₃шуканих точок ліній перетину. Проводячи лінії зв'язку з цих точок доперетину з горизонтальними проекціями відповідних твірних, одержуємо проекції на площині П₁, а потім по лініях зв'язку -проекції на площину П_2:зазначених точок лінії перетину. З'єднуючи отримані горизонтальні фронтальні проекції цих точок плавними лініями, одержуємо відповідно горизонтальну фронтальну проекції лінії перетину кривої поверхні і площини. Ці лінії утворять горизонтальну і фронтальну проекції фігури перетину.

Однак слід зазначити, що проекції характерних точок ліній перетину, наприклад кінців осей еліпса перетину (див. рис. 16), виходять в окремих конкретних випадках аналогічними побудовами.

Приклад. Побудувати проекції лінії перетину поверхні прямого кругового конусу площиною загального положення, заданої двома паралельними прямими (див. рис. 16).

Рішення. Проводимо допоміжну площину проекцій П_ьтак щоб вона була перпендикулярна до заданої, січної площини. Для цього проводимо горизонталь січної площини МN(М₁N₁іМ₂N₂). Площина, що горизонтально - проектує, перпендикулярна до горизонталі січної площини. При цьому слід допоміжної площини проекцій (вісь проекцій П₁П₃) виявиться перпендикулярним до горизонтальної проекції М₁N₁горизонталі січної площини. Далі проектуємо конус і січну площину на допоміжну площину проекцій Я. Оскільки січна площини перпендикулярна до площини П_ь, вона (і лінія перетину, розташована в ній) проектується на площину П₃у пряму лінію. Для побудови цієї прямої

досить одержати проекції на площину П₃, яких-небудь двох точок січної площини.

На кресленні, зображеному на рис. 16, обрані точки Lі М. Для одержання проекції L₃ проводимо з горизонтальної проекції точки Lлінію зв'язку, перпендикулярну до осі проекцій П₁/П₃іна ній відкладаємо відстань від фронтальної проекції цієї точки L, до осі проекцій П₂/П₁. Тому що фронтальна площина проекцій П₂І допоміжна площина П₃ перпендикулярні до горизонтальної площини проекцій П₁. відстані проекцій однієї і тієї ж точки L на цих площинах до відповідних осей проекції (тобто до площини П₁). повинні бути однакові (відповідно до перетворення креслення методом змін площин проекцій). Аналогічно одержуємо проекцію M₃ точки М.

Як видно з креслення (проекція на площину П₃), січна площина перетинає всі твірні конуса, тобто лінією перетину є еліпс, причому менша вісь еліпса розташована горизонтально. Якщо провести через вісь конуса площину, перпендикулярну до меншої осі еліпса перетину (або до будь-якої горизонталі січної площини), то ця площина буде розсікати перетин по більшій осі еліпса. Дана площина буде паралельна допоміжній площині проекції П₃ (тому що обидві площини перпендикулярні до горизонталей січної площини), отже, велика вісь еліпса спроектується на площину П₃, у натуральну величину (відрізок 1₃7₃). Потім через центр основи конуса (точку 0₁) проводимо лінію, паралельну осі проекцій П₁/П₃ . Ця лінія є горизонтальним слідом площини, що горизонтально-проектує, яка проходить через вісь конуса. Очевидно, що горизонтальна проекція більшої осі еліпса перетину лежить на цій лінії. Проводячи з точок 1₃і7₃ лінії зв'язку до перетину з зазначеною лінією одержуємо точки 1₁ і7₁, що визначають горизонтальну проекцію більшої осі еліпса перетину (відрізок 1₃7₃). З точок 1₁ і7₁проводимо лінії зв'язку перпендикулярно до осі проекцій П₁/П₂ і, відкладаючи на них відстані від точок 1₃ і 7₃, до осі проекцій П₁/П₃(до площини Я,), одержуємо фронтальні проекції кінців більшої осі еліпса перетину (точки 1₂ і7₂), що визначають фронтальну проекцію великої осі. Мала вісь еліпса перетину проектується на площину П₃, у точку 4₃що поділяє навпіл проекцію перетину на цю площину.

Горизонтальна проекція малої осі еліпса перпендикулярна до горизонтальної проекції великої його осі (по властивості проекцій прямого куга, одна зі сторін якого паралельна площині проекцій). Тому вона лежить на лінії зв'язку, проведеної з точки 4₃що є проекцією малої осі на площину П₃. Точка перетину зазначеної лінії зв'язку з горизонтальною проекцією великої осі еліпса перетину є горизонтальною проекцією центра еліпса перетину (точка 0₁). Оскільки мала вісь еліпса перетину горизонтальна, він є хордою окружності, перетину конуса горизонтальною площиною, що проходить через неї. Ця окружність проектується на площину П₃у відрізок 8₃9₃рівний її діаметру; а на площину П₁ - у натуральну величину. Побудуємо на площині П₁ окружність з центром у точці О₁діаметром, рівним відрізку 8₃9₃. Кінці горизонтальної проекції малої осі еліпса повинні лежати на цій окружності. Очевидно, це будуть точки 4₁, у яких згадана окружність перетинає лінію зв'язку, проведену з проекції малої осі еліпса на площину П₃(точка 4₃). Фронтальні проекції кінців малої осі еліпса перетину (точки 4₂)виходять за допомогою ліній зв'язку так само, як фронтальні проекції кінців великої осі.

Таким чином, побудовані проекції осей еліпса перетину, кінці яких дають чотири точки шуканої лінії перегину. Для одержання додаткових точок лінії перетину поверхні конуса заданою площиною проводимо на площину П₃, проекції ряду утворюючого конуса.

На фронтальній проекції утворюючого конуса проектуються на площину П₃у лінії S₃3₃іS₃5₃твірні конуса, що лежать у його профільній площині симетрії, проектуються в лінії S₃2₃і S₃7₃. Точки перетину проекцій цих твірних на площину П₃із проекцією перетину (точки 2_3…7₃) являють собою проекції на площину точок перетину зазначених твірних із січною площиною, тобто точок шуканої лінії перетину. Проводячи з точок 2_3…7₃ лінії зв'язку до перетину з проекціями відповідних твірних на площину П₁одержуємо горизонтальні проекції цих точок (точки 2₁,3₁,5₁,6₁,7₁).

Фронтальні проекції цих точок отримані так само, як і точки кінців осей еліпса перетину.

На горизонтальній площині проекцій (дивлячись зверху) уся лінія перетину видима На фронтальній площині проекцій видна лише та частина лінія перетину, розташована перед фронтальною площиною симетрії конуса, тобто частина лінії перетину, що включають точки 5, 7,6,4,3.

Невидима частина лінії перетину показана пунктиром.

Контрольні питання

1)Суть плану рішення задачі на побудову проекцій фігури перетину кривої поверхні площиною загального положення.

2)Як проводиться допоміжна площина проекцій при використанні вданій задачі способу заміни площин проекцій?

3)Як установлюється "видимість" на побудованих проекціях фігури перетину?

4)Яким чином при рішенні задачі визначаються характерні точки на добудованих проекціях фігури перетину?

Рис. 15

Рис. 16