Решения и критерии оценивания заданий части 2
Сократите дробь 
.
Ответ: 96.
Решение.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ | |
| Решение доведено до конца, но допущена ошибка или описка вычислительного характера (например, при вычитании), с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям | |
| Максимальный балл |
В окружности с центром 
проведены две равные хорды 
и 
. На эти хорды опущены перпендикуляры 
и 
соответственно. Докажите, что и равны.
Решение.
Проведём радиусы ОА, ОВ, ОС, OD. Треугольники 
и 
равны по трём сторонам. и 
— их высоты, проведённые к равным сторонам, следовательно, они равны как соответственные элементы равных треугольников.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Доказательство верное | |
| Доказательство в целом верное, но содержит неточности | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям | |
| Максимальный балл |
Из пункта 
в пункт 
, расстояние между которыми 80 км, выехал автобус. В середине пути он был задержан на 10 минут, но, увеличив скорость на 20 км/ч, прибыл в пункт вовремя. С какой скоростью автобус проехал первую половину пути?
Ответ: 60 км/ч.
Решение.
Пусть 
(км/ч) — скорость, с которой автобус проехал первую половину пути, тогда скорость на второй половине пути — 
(км/ч). Первую половину пути автобус проехал за 
ч, а вторую за 
ч. Из условия следует, что 
. Решим это уравнение:
; 
; 
; 
.
Так как — величина положительная, то второй корень уравнения не соответствует условию задачи.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Правильно составлено уравнение, получен верный ответ | |
| Правильно составлено уравнение, но при его решении допущена вычислительная ошибка, с её учётом решение доведено до ответа | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям | |
| Максимальный балл |
Постройте график функции 
и определите, при каких значениях параметра 
прямая 
имеет с графиком ровно одну общую точку.
Ответ: 
; 
; 6.
Решение.
Разложим числитель дроби на множители:
.
При 
, 
исходная функция принимает вид 
, её график — парабола, из которой выколоты точки 
и 
. 
Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая. Вершина параболы имеет координаты 
.
Поэтому 
, 
или 
.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| График построен правильно, верно указаны все требуемые значения | |
| График построен правильно, указаны не все верные значения | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям | |
| Максимальный балл |
Площадь треугольника 
равна 40. Биссектриса 
пересекает медиану 
в точке 
, при этом 
. Найдите площадь четырёхугольника 
.
Ответ: 11.
Решение.
Пусть 
. По свойству биссектрисы 
, откуда 
. Из треугольника АВK, где АЕ – биссектриса, находим, что 
.
Пусть 
— площадь треугольника , тогда
Таким образом, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Решение задачи верное, все его шаги обоснованы, получен верный ответ | |
| Решение задачи в целом верное, получен верный ответ, но решение обосновано недостаточно; или: решение задачи в целом верное, но допущена одна вычислительная ошибка, из-за которой получен неверный ответ | |
| Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям | |
| Максимальный балл |