Параллельный перенос. Вращение

Введение

Большое значение комплексных чисел в математике и ее приложениях широко известно. Особенно часто применяются функции комплексного переменного. Вместе с тем алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием.

Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачи и ее требованием. В этом состоит простота данного метода, по сравнению с другими методами, ведь готовое решение может быть очень коротким.

В данной работе рассматривается применение комплексных чисел в планиметрии: описание преобразований плоскости, вывод некоторых формул для решения задач и доказательство некоторых свойств.

Работа состоит из введения, основной части, заключения и библиографического списка. Во введении кратко описывается значение выбранной темы, цель работы и структура работы. В основной части рассмотрены преобразования плоскости с помощью комплексных чисел, условия принадлежности точек прямой и окружности, свойства ортоцентра треугольника и прямой Симсона треугольника, а также доказательство существования окружности и прямой Эйлера и примеры решения задач с помощью комплексных чисел. В заключении представлены выводы о применении комплексных чисел в планиметрии.

Параллельный перенос. Вращение

Любое комплексное число можно единственным образом отобразить на плоскости как точку М(x,y) или радиус-вектор точки M. Поэтому число z называют точкой или вектором.

Зафиксируем два комплексных числа и q=a+ib. Найдем их сумму , которая означает, что , т.е. что вектор совпадает с вектором (геометрический смысл сложения комплексных чисел). Поэтому данное равенство определяет параллельный перенос плоскости на вектор .

Пусть даны точки где а argB; A=t(cosα+isinα), где , Произведение двух комплексных чисел производится следующим образом:

) =

где а . Геометрически это обозначает, что точка C, характеризующаяся модулем , является образом точки A с модулем r при композиции поворота с центром O на угол и гомотетии с центром O и коэффициентом k=t. Поскольку , точка C будет также образом точки B при композиции поворота с центром O на угол , и гомотетии с центром O и коэффициентом . Для построения точки C удобно привлечь точку E, которая равна единице. Имеем:

=

и ориентированные углы EOA и BOC равны α; следовательно, треугольники EOA и BOC подобны, что позволяет построить точку C по точкам A,B и E.

Таким образом умножение комплексных чисел определяет центрально-подобное вращение плоскости, составляющееся из вращения вокруг т. O на угол α в положительном направлении (в направлении против часовой стрелки) и центрально-подобного преобразования с коэффициентом подобия t. Если модуль комплексного числа t=1, то данное преобразование представляет собой вращение на угол α.

Любое движение плоскости можно представить или как вращение вокруг фиксированной точки O, сопровождаемое параллельным переносом, или как симметрию относительно фиксированной прямой o, сопровождаемую вращением вокруг выбранной точки O и параллельным переносом. Таким образом каждое движение плоскости можно представить в виде:

или

Подобие и движение

Преобразованием подобия (или подобием) называется преобразование, при котором каждые две точки A и B отображены в такие две точки , что где k - постоянное действительное положительное число, называемое коэффициентом подобия. В частности, при расстояния равны, т. е. подобие является движением. Гомотетия с коэффициентом является подобием с коэффициентом

Фигура называется подобной фигуре F, если существует подобие, отображающее F в . В частности, подобные треугольники являются соответственными при подобии. Преобразование, обратное подобию с коэффициентом k, есть также подобие с коэффициентом. Существует два рода подобий плоскости. Подобие первого рода отображает каждый треугольник в одинаково ориентированный с ним (подобный) треугольник, а подобие второго рода меняет ориентацию каждого треугольника на противоположную.

Преобразование подобия плоскости задаётся тремя парами соответственных точек , , заданных так, что треугольник подобен треугольнику ABC. Однако если род подобия известен, то для его задания достаточно наличия двух пар соответственных точек.

По определению, треугольники называются подобными и одинаково ориентированными (подобие 1 рода) тогда и только тогда, когда углы ориентированы. С помощью комплексных чисел эти равенства можно записать так:

=arg

Равенства эквивалентны одному

=

или

где - комплексное число, – коэффициент подобия.

Составим формулы подобия первого и второго рода. При одинаковой ориентации треугольников ABC и имеем:

откуда

При противоположных ориентациях этих треугольников получим:

откуда

Итак, получены формулы для подобия первого и второго рода.

Проведем обратное рассуждение: пусть преобразование плоскости определено одной из формул

или ,
где 𝜎 и – постоянные комплексные числа, 𝜎 не может быть равна нулю. Тогда это преобразование первого или второго рода соответственно.

Если точки A(a) и B(b) переходят в точки , то при первом преобразовании

,

а при втором

Следовательно, в обоих случаях

Очевидно, если , то вышеприведенными формулами задаются движения плоскости первого и второго рода соответственно.