Проверка значимости коэффициента корреляции

Так как выборочный коэффициент вычисляется по выборочным данным, то он является случайной величиной.Если , то возникает вопрос: объясняется ли это действительно существующей линейной связью между и или вызвано случайными факторами?

Проверим нулевую гипотезу о том, что в генеральной совокупности отсутствует корреляция : , а отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции объясняется только случайностью выборки.

Альтернативная гипотеза может быть одной из видов: двусторонней : (если не известен знак корреляции); или односторонней : или : (если знак корреляции может быть заранее определен). Для проверки гипотезы используется -критерий Стьюдента. Вычисляется эмпирическое значение -критерия Стьюдента по формуле

, (6.3)

где - выборочный коэффициент корреляции, - объем выборки. Вычисленное эмпирическое значение сравнивается с найденным по таблице критическим значением при выбранном уровне значимости и числе степеней свободы .

Если , то принимается нулевая гипотеза. Значит, в генеральной совокупности отсутствует значимая корреляция, а отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции объясняется только случайностью выборки.

Если , то нулевая гипотеза отклоняется. Делаем выводы:

для двусторонней альтернативной гипотезы – коэффициент корреляции значимо отличается от нуля;

для односторонней гипотезы – существует статистически значимая положительная (или отрицательная) корреляция.

Можно воспользоваться такжетаблицей критических значений коэффициента корреляции, из которой находим величину критического значения коэффициента корреляции по числу степеней свободы и уровню значимости . Если , то в генеральной совокупности отсутствует значимая корреляция между исследуемыми признаками, а отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции объясняется только случайностью выборки либо объем выборки недостаточен для выявления линейной связи. Если же , то делается вывод, что коэффициент корреляции значимо отличатся от 0 и существует статистически значимая корреляция.

Заметим, что чем меньше объем выборки, тем больше должно быть расчетное значение коэффициента корреляции для принятия гипотезы о линейной зависимости между величинами Х и У. Однако сколь угодно близкое к единице значение не гарантирует их причинно-следственной обусловленности, поскольку возможен иной характер их взаимосвязи.

Так, одни явления могут одновременно, но независимо друг от друга (совместные события) происходить или изменяться (ложная регрессия). Другие – находиться в причинной зависимости не друг с другом, а по более сложной причинно-следственной связи (косвенная регрессия). Таким образом, при значимом коэффициенте корреляции окончательный вывод о наличии причинно-следственной связи можно сделать только с учетом специфики исследуемой проблемы.

Пример 2. Определить значимость выборочного коэффициента корреляции, вычисленного в примере 1.

Решение. Выдвинем гипотезу : о том, что в генеральной совокупности отсутствует корреляция. Так как знак корреляции в результате решения примера 1 определен – корреляция положительна, то альтернативная гипотеза является односторонней вида : . Найдем эмпирическое значение -критерия:

Число степеней свободы равно , уровень значимости выберем равным . По таблице «Критические значения -критерия Стьюдента при различных уровнях значимости» находим критическое значение .

Так как , то между уровнем и средним уровнем успеваемости по математике существует статистически значимая корреляция.