The people of Siberia are proud of their achievements

- Сибиряки гордятся своими достижениями.

Вывод такой: по-русски можно сказать «Я покажу тебе свою новую квартиру» и «Я покажу тебе мою новую квартиру». Смысл, тот же, а тональность другая. По-английски можно сказать только: I'll show you my new flat.

Правда, и у нас возможен такой контекст, в котором нейтральное местоимение «свой» употребить нельзя. Вот перевод шутки А. Франса:

Never lend books; the only books I have in my library are the books that other folk have lent me(A. France).

- Никогда не одалживайте книг. В моей библиотеке только те книги, которые мне дали почитать.

2. В примере о новой квартире мы перевели английское притяжательное местоимение 1-го лица обезличенным русским притяжательным местоимением «свой», но в громадном большинстве случаев английские притяжательные местоимения совсем не переводятся. Действительно, смешно было бы перевести:

The policeman put his whistle into his mouth. - Полицейский сунул свой свисток в свой рот.

Keep your feet warm. - Держите ваши ноги в тепле.

All the delegates rose to their feet. - Все делегаты встали на свои ноги.

I shrugged my shoulders. - Я пожал моими плечами.

The boys are clever with their hands. - У мальчиков свои ловкие руки.

I like lemon in my tea. - Я люблю лимон в моем чае. Правильный перевод: Люблю чай с лимоном.

I lost my appetite. - Я потерял мой аппетит.

Vorobianinov in his confusion fell on his knees, shut his eyes and pulled his hat over his ears.

- Переведем слово в слово: Воробьянинов в своем смущении упал на свои колени, закрыл свои глаза и натянул свою шляпу на свои уши.

По-английски - это не тарабарщина, а обычная английская речь, отвечающая правилу: как только в тексте появляется или подразумевается человек, животное или предмет, то перед всеми последующими существительными, которые к ним относятся, вместо артиклей положено употреблять соответствующее притяжательное местоимение:

Have you always lived with your parents? - Всегда ли вы жили с родителями?

The girl dropped her hands from the keys. - Девушка сняла руки с клавиш.

Seizing his hat, he ran. - Схватив шляпу, он побежал.

Are you looking for your gloves? - Вы ищете перчатки?

Sherlock Holmes was often able to clear up a mystery without leaving his room in Baker Street.

- Шерлоку Холмсу часто удавалось разгадать тайну, не покидая квартиры на Бэкер-стрит.

Give me your hand. - Дай мне руку.

This summer we spent our vacation in one of the best sanatoria in Sochi.

- Этим летом мы провели отпуск в одном из лучших санаториев в Сочи.