Задачи на деление по содержанию и на равные части

Методика работы над задачами на деление аналогична методике работы над задачами на нахождение произведения.

В связи с этим приведём только полное рассуждение ученика в процессе решения задач обоих видов.

Задача на деление по содержанию. 8 апельсинов разложили по 4 апельсина на каждую тарелку. Сколько потребовалось тарелок?

Мне известно, что 8 апельсинов разложили по 4 апельсина на каждую тарелку.

Надо узнать, сколько потребовалось тарелок.

Рисую и объясняю. Обозначу каждый апельсин точкой. Рисую 8 точек, обвожу замкнутой линией, столько было всего апельсинов. Обвожу линией 4 точки, столько апельсинов на одной тарелке. Обвожу линией ещё 4 точки, столько апельсинов ещё на одной тарелке. Все апельсины разложили. Разложили поровну по 4, буду делить. (На подготовительном этапе: разложили поровну по 4, получилось 2 (путём счёта получившихся подмножеств находят результат, решение не записывается).

Запишу решение: 8:4=2 (тар.)

Отвечаю на вопрос задачи. Потребовалось 2 тарелки.

Задача на деление на равные части. 8 апельсинов разложили на 2 тарелки поровну. Сколько апельсинов на каждой тарелке?

Ученик также выделяет данные, искомое и затем выполняет «картинку с точками».

Рисую и объясняю. Обозначу каждый апельсин точкой, рисую 8 точек, обвожу их замкнутой линией. Столько было всего апельсинов. Рисую под ними две замкнутые линии, столько было тарелок. Обвожу линией 2 точки - сколько тарелок, размещаю по одной точке в каждую замкнутую линию (тарелку) и т.д. Все апельсины разложили поровну.

а) На подготовительном этапе находит количество апельсинов на каждой тарелке путём счёта. Решение не записывается.

б) На остальных этапах рассуждает так: все апельсины разложили поровну, буду делить.

Запишу решение: 8:2=4 (ап.)

Отвечаю на вопрос задачи. На каждой тарелке по 4 апельсина.

7.5. Методика формирования умения решать простые
арифметические задачи на увеличение (уменьшение) числа
на несколько единиц и разностное сравнение чисел

Задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц (прямая форма) и на разностное сравнение по обеим программам вводятся в первом классе. Такой порядок введения обусловлен тем, что при решении задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц легче раскрыть смысл выражений «больше (меньше) на...», а также двоякий смысл разности (если первое число больше второго на несколько единиц, то второе число меньше первого на столько же единиц), что является основой для решения задач на разностное сравнение, а в дальнейшем - для решения задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, выраженных в косвенной форме, которые вводятся в по программе 1-4 в 4 классе.

Задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, выраженные в прямой форме, вводятся одновременно, через несколько уроков после ознакомления с задачами на нахождение суммы и остатка.

Первыми рассматриваются задачи, в которых даны численность множества (или его правильной части) и разность численностей множества и его правильной части. Требуется найти численность правильной части (или множества) (М.1, ч. 1, с.88). Например, задача: «Белоснежка хотела испечь 6 пирожков, а испекла на 2 пирожка меньше. Сколько пирожков испекла Белоснежка?».

Затем рассматриваются задачи, в которых даны численность одного из множеств и разность их численностей, требуется найти численность второго множества (М.1, ч. 2, с.6). Например, задача: «Вера вымыла 3 чашки, а Света на 2 чашки больше. Сколько чашек вымыла Света?».

Теоретической основой выбора арифметического действия в задачах обоих видов является связь отношения больше на... (меньше на...) с арифметическим действием сложения (вычитания).

Приведём полное рассуждение ученика при решении задачи на увеличение числа на несколько единиц первого вида.

Задача. Девочка хотела отправить 5 новогодних поздравительных открыток, а отправила на 2 открытки больше. Сколько открыток отправила девочка?

Мне известно, что девочка хотела отправить 5 открыток, а отправила на 2 открытки больше.

Надо узнать, сколько открыток отправила девочка.

Запишу кратко задачу:

Хотела отправить - 5 от.

Отправила - ? от., на 2 от. б.

Подумаю, надо находить большее или меньшее число. Буду находить большее число, потому что девочка отправила столько же открыток, сколько хотела и ещё 2 открытки.

Подумаю, каким действием. Нахожу большее число, буду прибавлять.

Выполняю решение: 5+2=7 (от.)

Отвечаю на вопрос задачи: девочка отправила 7 открыток.

Полное рассуждение ученика при решении задач на уменьшение числа на несколько единиц второго вида.

Задача. У Коли 7 марок, а у Тани на 3 марки меньше. Сколько марок у Тани?

Мне известно, что у Коли 7 марок, у Тани на 3 марки меньше.

Надо узнать, сколько марок у Тани.

Запишу кратко задачу:

К. - 7 мар.

Т. - ? мар., на 3 мар. м.

Подумаю, надо находить большее или меньшее число. Нахожу меньшее число, потому что у Тани столько же марок, сколько у Коли, но без 3.

Подумаю, каким действием. Нахожу меньшее число, буду вычитать.

Выполняю решение: 7-3=4 (мар.).

Отвечаю на вопрос задачи: у Тани 4 марки.

Анализ полного рассуждения ученика при решении задач каждого вида, составленного на основе изучения программы по математике и учебника, позволяет выделить знания, умения и навыки, которые необходимо сформировать на подготовительном этапе к введению задач данного вида.

К моменту введения задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц школьник должен:

1) Усвоить связи: если объединяем, прибавляем, то получаем большее число; удаляем, вычитаем - получаем меньшее число; чтобы получить большее число - надо прибавить, чтобы получить меньшее число - нужно вычесть.

2) Усвоить систему операций, составляющих процесс решения задач данных видов.

Эти связи можно раскрыть, выполняя следующие задания:

1) Положите на парту слева 3 зелёных квадрата. Положите на парту справа 2 красных квадрата. Придвиньте красные квадраты к зелёным, объедините квадраты. Сколько всего квадратов? (5.) Учитель ставит на наборное полотно карточку с числом 5. Сколько зелёных квадратов? (Учитель ставит на наборное полотно карточку с числом 3.) Сравните эти числа. Как получили большее число? (К 3 прибавили 2, получили 5.) Прибавили - получили большее число. Значит, если прибавляем, то получаем большее число.

2) После решения задачи «Доктор Айболит принял 4 зверей с зубной болью и 2 зверей с головной болью. Сколько всего больных принял доктор Айболит?» учитель проводит следующую работу:

- Чтобы узнать, сколько всего больных принял доктор Айболит, что мы сделали со зверями с зубной болью и с головной, покажите жестом и скажите?

- Сколько всего зверей принял Айболит? (Учитель ставит на наборное полотно карточку с числом 5.)

- Сколько зверей с зубной болью принял Айболит?(Учитель ставит на наборное полотно карточку с цифрой 3.)

- Сравните число всех зверей и число зверей с зубной болью (5 больше, чем 3.).

- Почему мы получили большее число? (Мы прибавляли.)

- Значит, если прибавляем, то получаем большее число.

3) В процессе выполнения практических заданий, аналогичных 1, дети усваивают, что если прибавили 1 (2,3), то стало больше на 1 (2,3); если вычли 1(2,3), то стало меньше на 1(2,3). Если вычитаем, то получаем меньшее число.

Кроме того, в этот период актуализируется смысл отношений «больше на...» и «меньше на...», которые рассматривались в дочисловой период, а также раскрывается связь: чтобы получить число, которое больше данного на 1(2,3), надо прибавить 1 (2,3).

После такой подготовительной работы проводится ознакомление с решением задач. Но прежде даётся задача, которую дети после решения преобразуют в задачу на увеличение числа на несколько единиц.

1) Белоснежка хотела испечь гномам 7 пирожков, а испекла 7 пирожков и ещё 2.Сколько всего пирожков испекла Белоснежка?

Решение выполняется с полным рассуждением по памятке.

После решения задачи детям предлагается ещё раз послушать задачу и подумать, как иначе можно сказать условие задачи. (Белоснежка хотела испечь 7 пирожков, а испекла на 2 больше.) Значит, если прибавляем, то получаем большее число.

В памятке вместо задания «Подумаю, надо объединять или удалять...» записывается задание «Подумаю, надо находить большее или меньшее число...». Обоснование выбора арифметического действия в этой задаче даётся следующим образом: «Нахожу большее число, потому что Белоснежка испекла на 2 больше, т.е. столько, сколько хотела испечь, и ещё 2».

Аналогично проводится работа по введению задач на уменьшение числа на несколько единиц.

После того, как большинство детей самостоятельно смогут выполнить полное объяснение, можно переходить к краткому объяснению.

Учитывая, что одни дети раньше усвоят систему операций, другие позже, необходимо так же, как и при решении задач других видов, осуществлять индивидуальный подход к учащимся при работе над задачами.

При введении задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц первого вида также можно использовать «картинки с точками» или схему, выполненную с помощью отрезков. В ранее приведённой задаче эти иллюстрации имели бы следующий вид:

а)

(Обозначу каждый пирожок точкой, рисую 7 точек, обвожу замкнутой линией. Столько пирожков хотела испечь Белоснежка. Рисую 2 точки, потому что Белоснежка испекла на 2 пирожка больше, т.е. столько, сколько хотела да ещё 2. Обвожу 2 точки линией. Обвожу замкнутой линией все точки, столько пирожков всего испекла Белоснежка. Это мне неизвестно, обозначу вопросительным знаком.

Подумаю, большее или меньшее число надо находить. (Нахожу большее число. Стало 7 да ещё 2.)

Подумайте, каким действием будете решать. (Нахожу большее число, буду прибавлять.).

б) 7 п.

7 п. 2 п.

? п.

После того, как введены задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, в которых дана разность численностей множества и его правильной части, при составлении задач по «картинке с точками» или по схеме нужно предлагать детям составить задачи со словами «больше на...», «меньше на ...».

Следующими вводятся задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, в которых дана разность численностей двух множеств. При выполнении следующих заданий раскрывается и уточняется смысл выражений «столько же», «больше на ...», «меньше на ...»:

1) Положите на парту в один ряд 5 кругов, в другой 5 квадратов. Что можно сказать про число кругов и квадратов? (Их поровну, квадратов столько же, сколько кругов.)

2) Положите в первый ряд ещё 2 круга. Каких фигур больше? Докажите. (Кругов столько же, сколько квадратов, да ещё 2.)

3) Положите 3 треугольника, под ними положите квадратов на 2 больше, чем треугольников. Что значит «на 2 больше»? (Столько же, сколько треугольников, да ещё 2.)

Смысл выражения «меньше на...» раскрывается при выполнении аналогичных заданий.

При решении задач первого вида детьми усваивается теоретическая основа выбора арифметического действия: связь отношения «больше на...» (меньше на...) с арифметическим действием сложения (вычитания), и система операций, составляющих процесс решения задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц. Несколько иной будет иллюстрация в виде «картинки с точками», т.к. речь в них ведётся о двух множествах. Однако, чаще всего эта иллюстрация уже не нужна, дети могут найти арифметическое действие без использования схематической наглядности. Учитель, как правило, в это время знакомит детей с иллюстрацией в виде краткой записи задачи. В памятке вместо задания «Рисую и объясняю...» появляется задание «Запишу задачу кратко...».

Задание студенту для самостоятельной работы: составить фрагмент урока по ознакомлению с задачами на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц второго вида.

Следующими вводятсязадачи на нахождение разности двух чисел(М.1, ч. 2, с.10).

Теоретической основой выбора арифметического действия в задачах данного вида является правило: чтобы узнать, на сколько одно из данных чисел больше (меньше) другого, надо из большего числа вычесть меньшее.

Полное рассуждение ученика при решении задачи на нахождение разности двух чисел.

Задача. На уроках труда дети изготовили 8 флажков и 6 звёздочек. На сколько больше изготовили флажков, чем звёздочек?

Мне известно, что на уроках труда дети изготовили 8 флажков и 6 звёздочек.

Надо узнать, на сколько больше изготовили флажков, чем звёздочек.

Запишу задачу кратко: Ф. - 8 шт.

на ? шт. б.

З. - 6 шт.

Применю правило: чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее.

Выполняю решение. Из 8 вычесть 6, получится 2.

Отвечаю на вопрос задачи. Флажков изготовили на 2 больше, чем звёздочек.

Таким образом, на подготовительной ступени необходимо, чтобы дети усвоили не только смысл отношений «больше на...», «меньше на...», но и двоякий смысл разности: если первое число больше (меньше) второго на несколько единиц, то второе меньше (больше) первого на столько же единиц.

В качестве иллюстрации к задачам данного вида можно использовать следующую схему (её в практике традиционного обучения чаще называют чертежом):

8 шт.

Ф.

6 шт. на ?.шт. б.

З.

Подготовительная ступень

Приведём примеры таких заданий, выполнение которых должно обеспечить усвоение ранее указанных связей:

1) Положите в один ряд 6 синих квадратов, во второй ряд 8 жёлтых квадратов. В каком ряду квадратов больше? На сколько квадратов больше во втором ряду? Как узнали? (Положили парами, двум квадратам из второго ряда не было пары в первом ряду.) Отодвиньте эти два квадрата. Что можно сказать о числе квадратов в первом ряду? (Их меньше.) На сколько меньше? (На 2.) Во втором ряду на 2 квадрата больше, чем в первом, тогда в первом на 2 квадрата меньше. (Показывает.)

2) После решения некоторых задач на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц внимание детей акцентируется на том же соотношении.

3) Детям предлагают вопросы, например: «Берёзок посадили на 3 больше, чем тополей. Что можно сказать о числе тополей?», «В нашем классе девочек на 2 больше, чем число мальчиков. Что можно сказать о числе мальчиков в классе?».

4) Решается задача на увеличение числа на несколько единиц с кратким рассуждением ученика. Например: «На тарелке лежало 5 яблок, а груш на 2 больше. Сколько груш было на тарелке?» (Чтобы узнать, сколько груш было на тарелке, надо находить большее число, потому что груш было столько же, сколько яблок, и ещё 2, т.е. на 2 больше, чем яблок. Буду прибавлять. К 5 прибавить 2, получится 7. На тарелке лежало 7 груш. Выясняется, почему смогли решить эту задачу (Знали способ, как найти большее число.)

Затем предлагается условие задачи: «На прогулку вышли 5 девочек и 3 мальчика» и предлагается поставить вопрос к этому условию. Вполне вероятно, что дети сформулируют вопрос «Сколько всего мальчиков и девочек вышли на прогулку?». В этом случае можно предложить сравнить число девочек и мальчиков и сформулировать новый вопрос, который потребовал бы сравнить число девочек и мальчиков. Получается задача: «На прогулку вышли 7 девочек и 4 мальчика. На сколько больше вышло на прогулку девочек, чем мальчиков?». Выясняется, что детям трудно указать действие, которым решается задача, у них недостаточно знаний для её решения. Формулируется учебная задача: найти способ нахождения, на сколько одно число больше другого.

Ознакомление (или поиск способа решения) с задачами на нахождение разности двух чисел можно провести следующим образом [1,18].

Учитель прикрепляет на доску водой слева 5 зелёных кругов, справа 3 красных круга. Каждый круг учитель обводит мелом. Дети считают, сколько кругов слева и сколько справа, устанавливают, что слева больше, чем справа. Надо узнать, на сколько зелёных кругов больше, чем красных. Предлагает детям вспомнить, как устанавливали, какое из чисел больше (см. задание 1 на подготовительной ступени) и подумать, как можно действовать с кругами в этом случае.

Детьми предлагается вариант: поставить парами по 1 зелёному и по 1 красному кругу. Учитель говорит о том, что круги перемещать друг под друга не будем, и спрашивает, как можно образовать пары. (Возможно, дети предложат снимать по 1 зелёному и 1 красному кругу, пока не останутся круги одного цвета, которым не будет пары. Если у детей не возникнет эта идея, то учитель сам снимет 1 красный и 1 зелёный круг. Дальше дети сообразят сами.) Снимают по одному кругу каждого цвета до тех пор, пока на доске останутся 2 зелёных круга. Сколько зелёных кругов сняли? Сколько красных кругов сняли? (На доске на месте снятых кругов остаются обведённые мелом круги.)

Сравните число снятых зелёных и красных кругов. (Их поровну, зелёных кругов сняли столько же, сколько красных.) На сколько же зелёных кругов больше? Сколько было зелёных кругов? Сколько их удалили? Как же получили 2 круга? (Из 5 удалили 2.) Если мы удаляли круги, то каким действием будем узнавать, на сколько зелёных кругов больше? Запишем: 5-3=2(кр.) Что показывает число 2? (На столько зелёных кругов больше, чем красных.) Составьте про зелёные и красные круги задачу, решение которой записано на доске. Каким действием узнали, на сколько красных кругов больше, чем зелёных? Значит, чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее. Затем можно обратить внимание детей на то, что можно было к условию задачи, которую они составили про круги, поставить и другой вопрос. Совместно с детьми формулируется вопрос: «На сколько красных кругов меньше, чем зелёных?» и делается вывод: «Чтобы узнать, на сколько одно число меньше другого, надо из большего числа вычесть меньшее».

Предлагается детям для решения задача про девочек и мальчиков, которую они раньше не могли решить. Выясняется, как можно проиллюстрировать задачу. Ученики вспоминают, что можно взять «картинку с точками».

Задача решается с полным рассуждением вслух.

Мне известно ...

Надо узнать ...

Рисую и объясняю. Один ученик выполняет на доске, остальные - в тетрадях.

- Про кого мы будем рисовать «картинку с точками»? (Про девочек и про мальчиков). Запишем это на доске, а вы в тетрадях. (Учитель пишет на доске буквы Д. и М.)

- Обозначу каждого ребёнка точкой. Рисую 7 точек, обвожу линией. Столько было девочек. Рисую «картинку» про мальчиков. Рисую 4 точки, обвожу линией. Столько было мальчиков.

- Давайте вспомним, как мы действовали с кругами, и подумаем, как поступим с точками, чтобы узнать, на сколько девочек больше, чем мальчиков. (Предлагается зачёркивать по одной точке из числа девочек и числа мальчиков.)

- Обведите замкнутой линией все зачёркнутые точки, которыми обозначали девочек. Сколько точек обвели? Обведите замкнутой линией остальные точки. Что показывает эта «картинка»? (На столько девочек больше, чем мальчиков.) Это нам известно в задаче? (Нет.) Как обозначим на «картинке с точками»? (Вопросительным знаком.)

Д. М.

- Чтобы узнать, на сколько девочек больше, чем мальчиков, что нужно сделать? (Удалить 4 девочки.) Удаляем столько девочек, сколько было мальчиков. Изобразите это на «картинке с точками». Значит, каким действием будем узнавать, на сколько девочек больше, чем мальчиков? (Вычитанием.) Скажите решение задачи. (Решение записывается на доске.) Дайте ответ на вопрос задачи. (Девочек на 3 больше, чем мальчиков.) Посмотрите на решение задачи и скажите, как узнать, на сколько одно число больше другого? Повторяют вместе: «Чтобы узнать, на сколько одно из двух данных чисел больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее». Что ещё показывает число 3?(На сколько мальчиков меньше, чем девочек.) Значит, как узнать, на сколько одно число меньше другого?

Вторая задача «Треугольников 8, а квадратов 5. На сколько квадратов меньше, чем треугольников?» решается аналогично с использованием «картинки с точками». После решения опять делается вывод и формулируется правило.

На следующих уроках продолжается решение задач рассмотренного вида. Решение выполняется с использованием «картинки с точками» (или с использованием чертежа) до тех пор, пока дети не осмыслят правило (1-2 урока). Надо предлагать детям составлять задачи этого вида, как по иллюстрации, так и по данному условию, вопросу. На этих же уроках решаются задачи с отвлечёнными числами и задачи, где числа являются значениями величин.

В дальнейшем, обобщая способ решения, можно предупредить образование формальных связей: слово «больше» дети часто связывают только с действием сложения, «меньше» - с действием вычитания.

Чтобы предупредить такие ошибки, предлагаются пары задач, которые после решения сравниваются.

1) На уроках труда изготовили 8 флажков, а звёздочек на 2 больше. Сколько изготовили звёздочек?

2) Купили 6 красных шаров и 4 зелёных. На сколько больше купили красных шаров?

Сначала задачи на нахождение разности решаются с полным рассуждением. После того, как большинство детей усвоят содержание всех операций (4-5 уроков), постепенно переходят к краткому рассуждению. Для самостоятельного решения даются задачи на всех ступенях.