Сабақ.Гомотетиялы фигураларды салу

Әдебиеттер:[4] І тарау §5, [5], [6] I тарау, [7] 1I-тарау, [9], ІІІ тарау §1-6, §6 (2-3-мысал).

Салуға берілген есептерді гомотетия әдісімен шығару төмендегіше болады. Есепке талдау жасап, іздеп отырған фигурамыздың өлшемдерін сипаттайтын шарттардың бірін алып тастайды. Мысалы, іздеп отырған үшбұрышымыздың қабырғасы жазықтықтың белгілі нүктесі арқылы өту керек деген немесе оның кез келген бір төбесі берілген шеңбер бойында жатуы тиіс деген шартын алып тастап, алдымен іздеп отырған Ф фигурасын емес, оған гомотетиялы Ф' фигурасын салу мүмкіндігін анықтайды. Сонан соң Ф' фигурасын (көмекші фигура) салып, оны түрлендіріп болған соң, бұрын алып тастаған шарт орындалатындай етіп, гомотетиялы түрлендірулер жасайды, сонда іздеп отырған Ф фигура шығады.

Жоғарыда айтылғандардан, гомотетия әдісімен шығарылатын есептер қатарына ең алдымен берілгендерінің ішінде тек біреуі ғана кесіндімен бейнеленіп, ал қалғандарының не бәрі бұрыштар, не бұрыштардың не кесінділердің қатынастары болып келген есептер жататындығы шығады.

Бұл типтес есептерді шығарғанда мыналарды еске алу қажет. 1)Гомотетия центрі ретінде жазықтықтың кез келген нүктесін алуға болады, ал іс жүзінде гомотетия центрін дұрыс таңдап алу салуды оңайлата түседі. Есепті оңай және тез шығаруға келтіретін гомотетия центрін алдын ала таңдап алу есептің шарты мен талабына байланысты. Гомотетия центрі ретінде көбінесе берілген фигураға сәйкес көмекші фигураның бір төбесін немесе сызықтық элементінің (кесіндінің) бір ұшын алады. Мысалы, А төбесіндегі бұрышы және сырттай сызылған шеңбердің R радиусы бойынша тең бүйірлі ВАС үшбұрышын салу үшін, іздеп отырған үшбұрышымызға ұқсас А төбесіндегі бұрышы мен тең бүйірлі В'А^'С' үшбұрышын салып, сонан соң осы үшбұрышты сырттай сызылған шенбердің центрін гомотетия центрі ретінде алып және к= , деп жоримыз да, В'А'С^' үшбұрышын іздеп отырған үшбұрышқа түрлендіреміз.

2) Ұқсас екі фигураның сәйкес сызықтық элементтерінің қосындысының (айырмасының) қатынасы олардың ұқсас (сәйкес) сызықтық элементтерінің қатынасына және гомотетияның k коэффициентіне тең. Мысалы: ұқсас үшбұрыштардың периметрлері олардың сәйкес қабырғаларының қатынасындай болады. Есепті шығарған кезде бұл қатынас әдетте гомотетия коэффициенті ретінде алынады. Ұқсас екі фигураның аудандары олардың сәйкес элементтерінің квадраттарының қатынасындай болады.

25-есеп. Диагональдарының т:п қатынасы мен һ биіктігі бойынша ромбы салындар.

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA4nnKlMIA AADcAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESP0YrCMBRE34X9h3AF3zStu1ipRlkXCuLLstoPuDTX tpjclCZq/XsjLPg4zJwZZr0drBE36n3rWEE6S0AQV063XCsoT8V0CcIHZI3GMSl4kIft5mO0xly7 O//R7RhqEUvY56igCaHLpfRVQxb9zHXE0Tu73mKIsq+l7vEey62R8yRZSIstx4UGO/ppqLocr1bB l3+k5eG32PnPMs2yam4OhTFKTcbD9wpEoCG8w//0XkcuzeB1Jh4BuXkCAAD//wMAUEsBAi0AFAAG AAgAAAAhAPD3irv9AAAA4gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQ SwECLQAUAAYACAAAACEAMd1fYdIAAACPAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAuAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQ SwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEAAAAAAAAAAAAAAAAAApAgAAZHJzL3NoYXBleG1s LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQDiecqUwgAAANwAAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJgCAABkcnMvZG93 bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABAD1AAAAhwMAAAAA "/>

A

A1

D1

D

F

F1

B

E

ә)C

48-сурет

28-сурет

Шешуі.Талдау.АВСD ромбысы салынған делік. АС:ВD=т:п және ЕҒ=Һ (28-сурет). Ромбының қасиеті бойынша 1) АО:ОD=т:п; 2) =90° және 3) ОҒ= екендігін байқаймыз.

1) және 2) шарттар бойынша АОD үшбұрышына гомотетиялы А'0'D' үшбұрышын саламыз. О нүктесін гомотетия центрі, ал һ:һ' қатынасын гомотетия коэффициенті етіп алып, АОО үшбұрышын, сонан соң іздеп отырған ромбымызды саламыз.

Салу. Алдыңғы екі шарт бойынша іздеп отырған үшбұрышымызға ұқсас А'0'D' үшбұрышын және іздеп отырған АОD үшбұрышымыздың биіктігіне сәйкес келетін оның 0'Ғ'= - биіктігін саламыз. О төбесін гомотетия центрі етіп алып, коэффициент

деп алайық.

Белгіленген гомотетияда А'0'D' үшбұрышын іздеп отырған АОD үшбұрышына түрлендірейік. Ол үшін 0'Ғ сәулесінің бойына 0'Ғ= кесіндісін салып, Ғ нүктесі арқылы A'D'-қа параллель түзу жүргізсек, АОD үшбұрышы шығады. АОD үшбұрышын ромбыға дейін толықтырып саламыз, ол үшін ОС=ОА, ОВ=ОD кесінділерін саламыз да, А мен В-ні, В мен С-ні және С мен D-ні түзу кесінділерімен қосамыз. АВСD — іздеп отырған ромбымыз.

Дәлелдеуі. болғандықтан, АО:ОD=А'0':0'D'=т:п және = 90°. Биіктік ОҒ= . Олай болса, АС : ВD=АО : D0 = т : п_, ЕҒ = Һ

яғни АВСD — іздеп отырған ромбымыз.

Зерттеу. Еcептің шартын қанағаттандыратын кез келген басқа бір A₁B₁C₁D₁ ромбысы салынған ромбыға ұқсас және

қатысы орындалуы тиіс болғандықтан, есептің бір ғана шешімі болады. Алайда һ₁= һ болғандықтан, A₁D₁=AD болады, олай болса, A₁B₁C₁D₁ ромбысы АВСD ромбысына тең. Демек, есеп бір мәнді шешіледі.

26-есеп. Берілген үшбұрышқа екі төбесі бір қабырғасында, ал басқа екі төбесі басқа екі қабырғасында жататындай, квадратты іштей сызыңдар.

29-сурет

А

В

С

В1

В2

Шешуі. Талдау.Берілген үшбұрышқа екі төбесі бір қабырғасында, үшінші төбесі басқа қабырғасында, төртіншісі үшбұрыштың қабырғасында болмайтындай квадрат салайық (29-сурет). Мұндай квадратты салу қиын емес. Барлық квадраттар ұқсас және дербес жағдайда гомотетиялы; гомотетия кезінде кесінді өзіне параллель кесіндіге ауысады. А нүктесін гомотетия центрі ретінде алып, В₁ нүктесі үшін оған гомотетиялы В₂ нүктесін саламыз, бұнда нүкте В₂ ВС – ∆АВС қабырғасындағы. Салу идеясы түсінікті. Салуды және дәлелдеуді өздерің жүргізіңдер.

27-есеп.А мен В бұрыштары және үшінші төбесі арқылы өтетін биіктігі мен осы үшбұрышты іштей сызылған шеңбер радиусының l қосындысы бойынша үшбұрыш салу керек.

Шешуі.Талдау. Егер есептің үшінші шартын ескермесек, онда А және В екі бұрышы бойынша іздеп отырған үшбұрышымызға ұқсас шексіз көп үшбұрыш салуға болады. Олардың бірі А'В'С' үшбұрышы болсын (30-сурет). Олай болса, іздеп отырған АВС үшбұрышымызды гомотетия коэффициенті к= , болатын S центріне қатысты А'В'С' үшбұрышына гомотетиялы үшбұрыштар арасынан іздеу керек (мұндағы l' дегеніміз һ'_С' биіктігі мен А'В'С' үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің r' радиусының қосындысы).

Салу.1) Берілген А және В бұрыштары бойынша көмекші А'В'С' үшбұрышын саламыз (30-сурет).

2) С'Е'=һ'_с' биіктігінің созындысына Е'К' = r', l' = С'Е'+Е'К' кесінділерін салайық.

3) С' төбесін гомотетия центрі ретінде алайық және гомотетия коэффиценті к= болсын дейік. Белгіленген гомотетияда А'В'С' үшбұрышын іздеп отырған үшбұрышқа түрлендірелік, ол үшін С'К' сәулесінің бойына С'K=l болатындай етіп, К нүктесін салайық.

A

A1

K

E

K1

E1

O1

r1

F1

B1

B

C1(=С)

30-сурет

4) К нүктесі арқылы А'К'||АК түзуін, ал А нүктесі арқылы A'В'||АВ түзуін жүргіземіз.

5) АВС — іздеп отырған үшбұрышымыз.

Делелдеуі.Е = АВ∩С'Е' болсын.

болғандықтан,

Сондықтан

Бірақ салу бойынша С'Е'+ОҒ'=1'. Олай болса, С'E+ОҒ' =1'. Олай болса, C' E+OF=l. АВС үшбұрышы есептің барлық шартын қанағаттандырады.

3ерттеу. Егер A+В<180° болса, онда барлық салулар бір мәнді орындалады. Есептің шартын қанағаттандыратын кез келген үшбұрышы салынған үшбұрышқа ұқсас болуы керек, олай болса,

қатынасы орындалуы тиіс. Алайда болғандықтан, С₁В₁= СВ болады. Сондықтан .

Сонымен, салуды кез келген басқа тәсілмен орындағанда да осы шешім шығады. Есептің шешуі бір мәнді орындалады.

28-есеп. Берілген дөңес АВСD төртбұрышына іштей, қабырғалары сол төртбұрыштың диагональдарына параллель болатын етіп, ромбы салу керек.

Шешуі. Талдау.РQМN іздеп отырған ромбымыз (31-сурет). А нүктесін гомотетия центрі етіп алып кез келген нақты k санын (мысалы, 0<k<l) гомотетия коэффициенті ретінде алайық. Белгіленген гомотетияда МQМN ромбысы, Р'Q'M'N' ромбысына ауысады, ал бұл ромбының қабырғалары да берілген төртбұрыштың диагональдарына параллель, Р' пен N' төбелері бұл төртбұрыштың қабырғаларында жатпайды, яғни есептің шарттарының екеуі орындалмайды.

Сонымен, есеп гомотетияда (центрі А нүктесінде және коэффициенті іздеп отырған ромбымызға ауысатын Р'Q'М'N' ромбысын салуға келіп тіреледі.

Салу. Мыналарды ретімен салайық,

1) Q' — АВ-нің бойындағы кез келген нүкте;

2) Q'M'

3) ромбысын;

4) АN', N = АN'∩DC;

5) МN||N'М', МQ||М'Q', QP||AC, PN||QM. PQMN ромбысы — іздеп отырғанымыз.

Дәлелдеуі.Р төбесі ВС-нің бойында жатпайды делік. Сонда ромбы болмайтын МQР₁N төртбұрышын қарастырамыз, мұндағы Р₁ = ВСХQР және Р мен Р₁ беттеспейді. Бұлай болмайтындығын дәлелдейік. QP₁||AC, QМ||BD, M'N'||ACжәне Q'М'||ВD болғандықтан,

Бұдан Р₁Q=МN және P₁Q||MN, яғни Р₁QMN — параллелограмм. Ал NМQ және N'M'Q.' сынық сызықтары гомотетиялы, олай болса, МN=МQ. Сонымен, РQ₁МN — ромбы, олай болса, Р₁=Р және РQМN — іздеп отырған ромбымыз.

3ерттеу. Есептің әрқашан да бір ғана шешімі болады. Шындығында, егер төртбұрышты іштей қабырғалары басқа, екінші бір ромбы сызылған деп жорысақ, онда РQ үлкейеді (кішірейеді), ал онда QМ кішірейеді (үлкейеді), олай болса, РQ мен QМ тең болмайды, ал ромбыда бұлай болуы мүмкін емес.

A

B

C

N

D

M

M1

Q

Q1

N1

P(P1)

P1

31-сурет