Понятие случайной величины

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

Обычно рассматриваются два типаслучайных величин: дискретные и непрерывные. Дискретные случайные величины принимают в результате испытания одно из дискретного множества значений.

Примеры дискретных величин: число подтягиваний на перекладине, число попаданий в кольцо из 10 штрафных бросков и т.п. Вероятность принятия дискретной случайной величины может быть записана так:

Р[Х =х_i] = p_i , I = …,-1, 0, 1, … , где

Х – случайная величина,

х_i – конкретные числовые значения, принимаемые дискретной случайной величиной,

p_i – вероятность этих значений,

i – индекс.

Функция Р[Х =х_i], связывающая знание дискретной случайной величины, с их вероятностями, называется её распределением (законом распределения).

Дискретная случайная величина обычно задаётся рядом распределения – таблицей, в которой указаны все возможные значения Х_i случайной величины и соответствующие им вероятности р_i .

xi	x1	x2	x3	…	xn
pi	p1	p2	p3	…	pn

Так как случайная величина обязательно принимает какое-либо из этих значений, то р₁+ р₂ + р₃ + . . . + р_n = 1.

Графически ряд распределения выражается так называемым многоугольником распределения.

Примеры:

1. В денежной лотерее выпущено 1000 билетов. Разыгрывается 1 выигрыш в 1000 руб., 4 выигрыша по 500 руб., 5 выигрышей по 400 руб. и 10 выигрышей по 100 руб. Построить ряд распределения стоимости выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение: Случайная величина х (стоимость возможного выигрыша) может принимать следующие значения:

х₁ = 1000; х₂ = 500; х₃ = 400; х₄ = 100; х₅ = 0.

Вероятности этих возможных значений соответственно равны:

р₁ = 0,001; р₂ = 0,004; р₃ = 0,005; р₄ = 0,010; р₅ =1 – ( р₁+ р₂ + р₃+ р₄),

р₅ =1 – 0,020 = 0,980.

Ряд распределения будет иметь вид:

xi
pi	0,980	0,010	0,005	0,004	0,001

Построим многоугольник распределения.

2. Есть ящик с 3 шарами, из которых 2 белых и 1 чёрный. Вынули 2 шара. Случайная величина – число вынутых белых шаров. Составить ряд распределения этой случайной величины.

Решение: Так как в ящике из 3 шаров только 1 чёрный, то среди вынутых шаров обязательно будет хотя бы 1 белый. То есть случайная величина может принимать значения 1 или 2. Один белый из двух вынутых шаров – это 1 белый и 1 чёрный или 1 чёрный и 1 белый. Тогда

р (1) = р (2) =

Так как все события исчерпаны, то сумма р_i должна быть равна 1. Действительно, . Следующая таблица задаёт закон распределения случайной величины (ряд распределения):

xi	1	2
pi

Непрерывная случайная величина в результате испытания может принимать любые значения из некоторого интервала. Непрерывная случайная величина может быть задана либо функцией распределения – F(x), либо плотностью вероятности Р(х); Р(х) = F ^’ (x).

Примеры непрерывных случайных величин: дальность полёта снаряда при данных условиях стрельбы, спортивный результат в беге или в прыжках, рост и масса тела человека, сила мышц и др.

Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение меньше данного х, т.е. F(x) = Р[Х ≤ х].

Из определения следует, что функция распределения F(x) – неубывающая и изменяется от 0 до 1. Зная функцию распределения величины Х, можно вычислить вероятность того, что Х (x₁, x₂) по формуле

(*) Р[x₁<Х<x₂] = F(x₂) – F(x₁), т.е. вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал равен разности значений функции распределения этой случайной величины вычисленных в конце и начале интервала.

Примеры:

1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением:

F(x) =

а) построить график функции F(x),

b) найти вероятность попадания случайной величины Х в (0,25; 0,5).

Решение:

а)

b) По формуле (*) находим:

Р[0,25< Х <0,5] = F(0,5) - F(0,25) = (0,5)² – (0,25)² = 0,25 – 0,0625 = 0,1875.

Для дискретной случайной величины можно также строить функцию распределения F(x). В этом случае она будет представлять собой разрывную функцию. Функция распределения строится по следующему правилу:

F(x) = 0 при х < x₁,

F(x) =p₁ при x₁ ≤ х < x₂,

F(x) =p₁ + p₂ при x₂ ≤ х < x₃,

F(x) =p₁ + p₂ + p₃ при x₃ ≤ х < x₄,

…………………………………………………

F(x) =p₁ + p₂ + p₃ + . . . + p_n при х ≥ x_n.

2. Построить функцию распределения F(x) для дискретной случайной величины Х, заданной рядом распределения.

Решение:

F(x) = 0, при х <0,

F(x) =p₁ = 0,0256, при 0≤ х <1,

F(x) =p₁ + p₂ =0,1792, при 1≤ х < 2,

F(x) =p₁ + p₂ + p₃ = 0,5248, при 2≤ х < 3,

F(x) =p₁ + p₂ + p₃ +p₄ = 0,8704, при 3≤ х <4,

F(x) =p₁ + p₂ + p₃ +p₄ + p₅ = 1, при х ≥ 4.

Итак, имеем функцию распределения:

F(x) =

Построим график функции распределения:

F(x)

0,9

0,5

0,2

0 1 2 3 4 x

Как видим, функции распределения F(x) остаётся постоянной на интервалах между значениями х_i, которые может принимать случайная величины Х. И только в точках х_i функция скачком меняет своё значение на величину, равную вероятности Р[Х = х_i], т.е. функции распределения случайной величины является ступенчатой. Это свойство является общим для всех дискретных случайных величин.

Виды распределений

Вид функций F(x), р(х), или перечисление р(х_i) называют законом распределения случайной величины.

Можно представить себе бесконечное разнообразие случайных величин, но законов распределения гораздо меньше. Во-первых, различные случайные величины могут иметь совершенно одинаковые законы распределения. Например: пусть y принимает всего 2 значения 1 и -1 с вероятностями 0,5; величина z = -y имеет точно такой же закон распределения. Во-вторых, очень часто случайные величины имеют подобные законы распределения, т.е., например, р(х) для них выражается формулами одинакового вида, отличающимися только одной или несколькими постоянными. Эти постоянные называются параметрами распределения.

Рассмотрим несколько наиболее типичных законов. Важно обратить внимание на условия, в которых они возникают, параметры и свойства этих р аспределений.

1. Равномерное распределение.

Равномерным называют распределение случайной величины, которая может принимать любые значения в интервале (a; b), причем вероятность попадания ее в любой отрезок внутри (a; b) пропорциональна длине отрезка и не зависит от его положения, а вероятность значений вне (a; b) равна 0.

2. Нормальное (гауссово) распределение.

График нормального распределения представляет собой симметричную колоколообразную кривую. Строгая нормальная кривая является математической абстракцией. Эмпирические кривые обычно несколько отличаются от идеального случая. Но, поскольку распределение оценок многих педагогических и психологических тестов представляется именно формой нормальной кривой, прежде чем проводить вычисления после сбора первичного материала, педагогу-исследователю необходимо проверить полученные данные на соответствие нормальному распределению.

Для такой проверки существуют специальные методики. В первом приближении поставленную задачу можно решить графическим способом. Несложно проверить нормальность распределения, вычислив моду, медиану и среднее арифметическое (о которых пойдет речь позже), которые должны быть равны.

При соответствующем подборе тестовых заданий можно показать, что для больших неспециально отобранных групп людей нормально распределены их физические возможности, интеллект, способности, знания, умственные и другие показатели.

Наглядно иллюстрирует нормальное распределение через значительное время после старта плотность бегунов на длинную дистанцию. Кто-то явно лидирует, кто-то безнадежно оказывается «в хвосте», но большая часть бегунов будет сосредоточена в середине.

Нормальному закону распределения посвящена одна из лабораторных работ (см. «Лабораторная работа №4»).

3. Распределение Бернулли.

Если производится серия независимых испытаний, в каждом из который событие А может появиться с одинаковой вероятностью р, то число появлений события есть случайная величина, распределенная по закону Бернулли, или по биномиальному закону (другое название распределения).

, где

n - число испытаний в серии, m - случайная величина (число появлений события А), Р_n(m) - вероятность того, что А произойдет именно m раз, q = 1 - р (вероятность того, что А не появится в испытании).

Пример: Кость бросают 5 раз, какова вероятность того, что 6 очков выпадет дважды ?

Решение: n = 5, m = 2, p = , q = . Тогда

4. Распределение Пуассона.

Распределение Пуассона получается как предельный случай распределения Бернулли. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянно близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, произведение np = λ, то вероятность Р_n(m) того, что в n независимых испытаниях события А наступит m раз, приближенно равна .

Распределению Пуассона подчиняются очень многие случайные величины, встречающиеся в науке и практической жизни.