Высказывания и высказывательные формы

А — «фигура является многоугольником», составное предложение: «Не А» — «фигура не является многоугольником».

Взаимосвязь оценки воспитателя и выбора ребенка можно уви­деть на рисунке 15.

Если предложение А — элементарное высказывание, то для по­строения отрицания следует либо предварить его словами «неверно, что...», либо поставить частицу «не» перед сказуемым (если А содер­жит частицу «не», то отбросить ее).

Высказывания с кванторами

Высказывательные формы можно обратить в высказывание, не только подставив значения переменных. Иногда используют другие способы.

Задание 9

Запишите натуральные числе от 1 до 9. Определите значение ис­тинности предложений:

«Числа однозначные»; «Числа отрицательные»;

«Числа четные».

Нельзя ответить на вопрос, истинны или ложны эти предложе­ния, так как они являются высказывательными формами. Для обра­щения их в высказывания необходимо уточнение, о каких числах идет речь. Для этого можно, например, в начале данных предложе­ний поставить слова «все» или «некоторые».

Слова, которые превращают высказывательную форму в выска­зывание, называются кванторами. Кванторы бывают двух видов: кванторы общности («все», «любой», «всякий», «каждый?) и кванто­ры существования («некоторые», «существуют», «имеются», «найдет­ся», «есть», «хотя бы один»).

При изменении вида квантора значение истинности высказыва­ния может поменяться, а может сохраниться. Например, для чисел из задания 9 предложения: «Все числа однозначные», «Имеются од­нозначные числа», «Некоторые из данных чисел четные» — истин­ные высказывания; а предложения: «Некоторые числа отрицатель­ные», «Все числа отрицательные», «Все числа четные» — ложные высказывания.

Обычно мы определяем значение истинности интуитивно вер­но. При затруднении, чтобы установить значение истинности вы­сказываний с кванторами, надо знать некоторые правила.

Истинность высказываний с квантором общности устанавлива­ется путем доказательства. Чтобы убедиться в ложности, доста­точно привести контрпример.

Истинность высказывании с квантором существования устанав­ливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в его ложности, необходимо провести доказательство.

Например, рассмотрим предложения для чисел из задания 9:

«Все числа однозначные» - истинное высказывание, так как, проверив каждое число (способ доказательства - полная индукция), мы убеждаемся в справедливости высказывания.

«Все числа четные» — ложное высказывание, так как, например, число 5 не является отрицательным (контрпример).

«Некоторые из данных чисел четные» — истинное высказыва­ние, так как, например, число 4 — четное (пример).

«Некоторые числа отрицательные» — ложное высказывание, так как, проверив каждое число (способ доказательства — полная ин­дукция), можно в этом убедиться.

В предложенных примерах использовался такой способ доказа­тельства, как полная индукция (рассматривался каждый частный слу­чай), возможны и другие способы доказательств (см. п. 1.9).

Часто в математических предложениях кванторы общности опускаются, но подразумеваются. Например, в предложении «Сум­ма углов треугольника равна 180°» квантор общности явно не зву­чит, но подразумевается: «Сумма углов любого треугольника равна 180°».

Задание 10

Установите значение истинности денных предложений. Свои отве­ты обоснуйте:

• «Любой прямоугольник является квадратом».

• «У всех выпуклых четырехугольников сумма углов рана 360°».

• «Существуют треугольники, у которых все углы тупые».

• «Существуют равносторонние треугольники».

Уже в дошкольном возрасте детей учат правильно рассуждать. Например.

Имея математическое предложение: «Хотя бы один из

предметов - мяч», рассуждаем в соответствии с правилами логики (рис. 18).