Пересечение многогранников

Линия пересечения двух многогранников представляет собой одну или две замкнутые ломаные линии. Отрезки ломаной линии являются линиями пересечения граней, а точки излома - точками пересечения рёбер многогранников с гранями.

Если один многогранник частично пересекается другим, то линия пересечения представляет собой одну замкнутую ломаную линию. Такое пересечение называют неполным.

Если один многогранник полностью пересекается другим, то пересечение называют полным, и линия пересечения в этом случае состоит из двух замкнутых ломаных линий.

Пример 1.Построить линию пересечения пирамиды АВСS с прямой призмой KFDE.

Решение задачи необходимо начинать с анализа условий задачи. На эпюре представлены проекции прямой призмы и пирамиды. Боковые рёбра призмы перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций, а её боковые грани являются горизонтально проецирующими плоскостями. Кроме того, судя по взаимному положению многогранников, пересечение будет полным, т.е. необходимо определить две замкнутые ломаные линии пересечения поверхностей.

Так как боковые грани призмы являются горизонтально проецирующими плоскостями, то на горизонтальной плоскости проекций легко определить горизонтальные проекции точек пересечения рёбер пирамиды с гранями призмы. Грань призмы ОЕ пересекается с рёбрами пирамиды SC, SB и SA в точках 1, 2 и 3 соответственно. Фронтальные проекции этих точек определяются при помощи линий проекционной связи. Остаётся соединить фронтальные проекции точек пересечения прямыми линиями в пределах граней и изобразить их с учётом видимости сплошными или штриховыми 1^/-2^/-3^/-1^/.

Аналогично определяются проекции точек пересечения рёбер пирамиды с гранями призмы DK и KF. Это точки 4^/, 5^/ и 6^/.

Из вертикальных рёбер призмы только одно пересекает пирамиду. Точки пересечения ребра К с гранями пирамиды SAB и SAC определим так же, как определяют точку пересечения прямой с плоскостью. Через ребро К и вершину пирамиды S проведём вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость Р. На горизонтальной плоскости проекций изображен горизонтальный след этой плоскости Р_н . Построим фронтальные проекции линий пересечения плоскости Р с гранями пирамиды SAB и SAC – S^/m^/ и S^/n^/ соответственно. Точки пересечения этих линий с ребром К – точки 7^/ и 8^/ будут точками пересечения ребра К с гранями пирамиды SAB и SAC.

Теперь соединяем построенные проекции точек пересечения рёбер с гранями отрезками прямых линий в пределах каждой грани. При этом следует руководствоваться положением проекций точек на горизонтальной плоскости проекций. В результате получим ломаную линию 4^/-5^/-7^/-6^/-8^/-4^/. Видимыми участками линии пересечения будут те, которые лежат на видимых гранях. Отрезки 4^/-5^/ и 4^/-8^/ видны, а отрезки 5^/-7^/, 7^/-6^/ и 6^/-8^/ не видны. В итоге получены две линии пересечения, что свидетельствует о том, что пересечение пирамиды и призмы полное.