Внутрішньопредметні зв’язки

Матеріал ймовірнісно-статистичної змістової лінії шкільного курсу математики починає розглядатися в основній школі (математика, 6 кл., тема “Відношення і пропорції”; алгебра, 9 кл., тема “Елементи прикладної математики”), у старшій школі ця змістова лінія суттєво розширюється, поглиблюється (алгебра і початки аналізу, 11 кл., тема “Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики”).

Практично всі змістові лінії шкільного курсу математики знаходять своє застосування під час вивчення комбінаторики. Комбінаторні сполуки використовуються у процесі перетворення виразів (доведення тотожностей, піднесення двочлена до натурального степеня (біном Ньютона) тощо). Для розв’язування рівнянь та нерівностей виду , необхідними є знання про перестановки, комбінації і розміщення та вміння користуватися формулами, що виражають їх властивості. Знання з комбінаторики використовуються у процесі вивчення тем “Застосування похідної”, “Застосування інтеграла”, розв’язування деяких типів геометричних задач (знаходження кількості діагоналей многокутника) тощо.

Комбінаторика вивчається у тісному взаємозв’язку з теорією ймовірністей та математичною статистикою. Елементи комбінаторики застосовуються у процесі обчислення ймовірностей за класичною схемою, за допомогою комбінаторних міркувань можна перевірити правильність окремих висновків, зроблених за результатами статистичних спостережень, і, навпаки, статистичні спостереження можуть слугувати базою для постановки та розв’язування комбінаторних задач.

Міжпредметні зв’язки

У втіленні ідей інтеграції у шкільній освіті вирішального значення набуває встановлення міжпредметних зв’язків. Методисти, педагоги вбачають у них засіб формування гнучкої та продуктивної системи знань і узагальнених способів дій та вмінь. Міжпредметні зв’язки – це зв’язки між структурними елементами змісту навчального предмета, виражені у поняттях, законах, теоріях, фактах. Міжпредметні зв’язки є відображенням у змісті навчальних дисциплін тих діалектичних взаємозв’язків, які об’єктивно діють у природі та досліджуються сучасними науками і розглядаються в шкільному курсі математики на засадах застосування методу математичного моделювання.

Вивчення багатьох реальних явищ і процесів, які вимагають розгляду ситуацій, де потрібно вибирати з певної множини об’єктів підмножини елементів, що мають ті чи інші властивості, розміщувати їх у вказаному порядку за відомими правилами і знаходити кількість способів, за яких таке розташування можливе тощо, зводиться до розв’язування комбінаторних задач.

Як зазначається в програмі з математики, “одним із найважливіших засобів забезпечення прикладної спрямованості навчання математики є встановлення природних міжпредметних зв’язків математики з іншими предметами, у першу чергу, з природничими. Особливої уваги заслуговує встановлення тісних, взаємовигідних зв’язків між математикою та інформатикою – двома освітніми галузями, які є визначальними у підготовці особистості до життя у постіндустріальному, інформаційному суспільстві” [І:13] .

Комбінаторика набула свого другого народження завдяки виникненню ЕОМ. З’явилася можливість значно швидше розв’язувати розширене коло комбінаторних задач методом перебору. З цим матеріалом тісно пов’язані задачі оптимізації комбінаторного типу, які можуть бути предметом розгляду на уроках інформатики.

Ідея введення елементів комбінаторики у шкільний курс математики була активно підтримана вченими-математиками та педагогами, а також учителями природничих дисциплін, насамперед хімії і фізики. У хімії комбінаторні задачі використовуються, зокрема, для опису того, як генетична інформація, що знаходиться в нуклеїнових кислотах, переноситься в білки. У фізиці елементи комбінаторики застосовують у термодинаміці та квантовій фізиці.

Існують тісні зв’язки комбінаторики з економікою. Наприклад, керівнику підприємства потрібно відрядити певну групу фахівців, розробити оптимальний план виробництва, транспортування, розташування підприємств, розміщення господарських культур на полях. На заняттях з вивчення комбінаторики можуть розглядатися задачі економічного змісту.

У процесі вивчення шкільного курсу біології учні також зустрічаються з поняттями комбінаторики. Зокрема, відстеження ходу схрещування гібридів безпосередньо пов’язане з комбінаторикою: множина гібридів першого покоління – це сукупність усіх перестановок з чотирьох елементів. Однак у біології дається трактування зазначеного поняття на інтуїтивному рівні, математичне означення цього поняття відсутнє, оскільки даний розділ у біології вивчається раніше, ніж комбінаторика у курсі алгебри і початків аналізу. Така неузгодженість створює труднощі під час вивчення цієї теми в біології. Звичайно, введення у шкільний курс математики елементів комбінаторики сприяє усвідомленому сприйняттю важливих біологічних законів.

Література також має певні зв’язки з комбінаторикою: у стародавній Греції підраховували кількість різних комбінацій довгих та коротких складів у віршованих розмірах.

Комбінаторика пов’язана певним чином з багатьма іншими галузями знань, найчастіше цей зв’язок проявляється у використанні комбінаторних задач, у випадках, коли потрібно зробити якийсь вибір. Комбінаторні знання, зокрема, використовують у психології, соціології. Так, розгляд комбінаторних задач дає змогу активізувати розумову діяльність учнів, формувати комбінаторне мислення.

Розвинене комбінаторне мислення, уміння швидко, адекватно і всебічно аналізувати реальні ситуації потрібне також педагогам, лікарям, юристам і, взагалі, кожній сучасній освіченій людині.

Завдання № 2

Тестова контрольна робота

Варіант 1

Середній рівень

1. Знайдіть множину , якщо .

а) ; б) ; в) ; г) інша відповідь.

2. Визначте, скількома способами можна розмістити шість осіб за круглим столом, біля якого стоїть шість стільців?

а) 6; б) 36; в) 120; г) інша відповідь.

3. Обчисліть .

а) 5; б) 600; в) 124; г) інша відповідь.

4. Розв’яжіть рівняння .

а) –8; б) х = 7; в) х = 11; г) інша відповідь.

5. Знайдіть розклад бінома .

а) ; б) ; в) ; г) інша відповідь.

Достатній рівень

1. Знайдіть переріз множин розв’язків рівнянь і .

а) ; б) ; в) ; г) інша відповідь.

2. Знайдіть множину , де – парні числа, менші від 40, – квадрати натуральних чисел, більші від 4, але менші від 45.

а) ; б) ; в) ; г) інша відповідь.

3. Розв’яжіть рівняння: .

а)–10, 7; б) –10; в) 7; г) інша відповідь.

4. Визначте, скількома способами з групи в 30 осіб можна вибрати два делегата на конференцію, якщо делегати мають різні повноваження ?

а) 870; б) 560; в) 765; г) інша відповідь.

5. Розкладіть вираз за формулою бінома Ньютона і спростити.

а) ; б) ; в) ; г) інша відповідь.

Високий рівень

1. Знайдіть , якщо – множина розв’язків рівняння , – множина розв’язків рівняння .

а) х = 3, у = – 5; б) х = 4, у = – 6,5;

в) х = – 3,у = – 5; г) інша відповідь.

2. Укажіть, у якому випадку множина міститиме n елементів, якщо множина містить n елементів, а множина – m елементів.

а) ; б) ; в) завжди; г) інша відповідь.

3. Укажіть кількість значень n, які задовольняють нерівність .

а) 6; б) 16; в) 8; г) інша відповідь.

4. Визначте, скількома способами можна групу з 15 осіб розділити на дві підгрупи так, щоб в одній з них було 4 особи, а в іншій – 11?

а) 1365; б) 2536; в) 7458; г) інша відповідь.

5 Знайдіть 13-й член розкладу бінома .

а) 87369; б) 87360; в) 87766; г) інша відповідь.

Варіант 2

Середній рівень

1. Знайдіть множину , якщо .

а) ; б) ; в) ; г) інша відповідь.

2. Визначте, скількома способами можна розмістити вісім осіб за круглим столом, біля якого стоїть вісім стільців?

а) 8; б) 40320; в) 5040; г) інша відповідь.

3. Обчисліть: .

а) 9; б) 120; в)144; г) інша відповідь.

4. Розв’яжіть рівняння .

а) 9; б) – 6; в) 3; г) інша відповідь.

5. Знайдіть розклад бінома .

а) ; б) ; в) ; г) інша відповідь.

Достатній рівень

1. Знайдіть об’єднання множин розв’язків рівняння і .

а) ; б) ; в) ; г) інша відповідь.

2. Знайдіть множину , де – прості числа, менші від 39, – непарні числа, більші від 15.

а) ; б) ;

в) ; г) інша відповідь.

3. Розв’яжіть рівняння .

а) – 6;5; б)– 6; в) 5; г) інша відповідь.

4. Укажіть, скількома способами можна з 20 осіб призначити двох чергових з однаковими обов’язками ?

а) 190; б) 360; в) 567; г) інша відповідь.

5. Розкладіть вираз за формулою бінома Ньютона і спростити.

а) ; б) ; в) ; г) інша відповідь.

Високий рівень

1 Знайдіть , якщо – множина розв’язків рівняння , – множина розв’язків рівняння .

а) х = 3, у = 0; б) х = 0, у = 3;

в) х = – 3, у = – 5; г) інша відповідь.

2. Укажіть, в якому випадку рівність є правильною?

а) А і В мають тільки різні елементи;

б) А і В мають тільки однакові елементи;

в) А і В мають деякі однакові елементи;

г) інша відповідь.

3 Розв’яжіть рівняння

а) 12; б) 2; в) –1;2; г) інша відповідь.

4 З 10 троянд і п’яти гербер потрібно скласти букет, що містить 3 троянди і 2 гербери. Визначте, скільки різних букетів можна скласти ?

а) 1200; б) 456; в) 563; г) інша відповідь.

5. Знайдіть номер члена розкладу бінома , який не містить х.

a) 4; б) 7; в) 5; г) інша відповідь.

Відповіді до завдань

Варіант 1

Середній рівень

Достатній рівень

Високий рівень

а

Варіант 2

Середній рівень

Достатній рівень

Високий рівень

а