Биномиальное распределение (распределение Бернулли)

Биномиальное распределение – одно из самых распространенных дискретных распределений, оно служит вероятностной моделью для многих явлений.

Оно возникает в тех случаях, когда ставится вопрос: сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного числа независимых наблюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях.

Примером дискретной случайной величины, подчиняющейся биномиальному закону распределения, является число появлений события А при выполнении n испытаний. Возможными значениями этой случайной величины являются 0, 1, 2, …, n.

Пример. Необходимо определить вероятность того, что среди n посетителей окажется ровно k покупателей.

Для удобства и наглядности будем полагать, что нам известна величина p – вероятность того, что вошедший в магазин посетитель окажется покупателем и (1– p) = q – вероятность того, что вошедший в магазин посетитель не окажется покупателем.

Если X – число покупателей из общего числа n посетителей, то вероятность того, что среди n посетителей оказалось k покупателей равна

, где (2)

Формулу (2) называют формулой Бернулли.

Такой закон распределения называют биномиальным, поскольку правую часть равенства (2) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

Пример. Составим ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

р(Х=0) = 1·(0,2)⁵ = 0,00032; р(Х=1) = 5·0,8·(0,2)⁴ = 0,0064; р(Х=2) = 10·(0,8)²·(0,2)³ = 0,0512; р(Х=3) = 10·(0,8)³·(0,2)² = 0,2048; р(Х=4) = 5·(0,8)⁴·0,2 = 0,4096; р(Х=5) = 1·(0,8)⁵ = 0,32768.

Таким образом, ряд распределения имеет вид:

х
р	0.00032	0.0064	0.0512	0.2048	0.4096	0.32728

При большом числе испытаний биномиальное распределение стремиться к нормальному.

Распределение Пуассона.

Распределение Пуассона – это дискретное распределение.

Играет важную роль в ряде вопросов физики, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. Всюду, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий (радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастный случаях и т.п.).

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую только целые неотрицательные значения (0, 1, 2,…, k,…), последовательность которых не ограничена. Такая случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет значение k, выражается формулой:

, (3)

где – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Покажем, что сумма всех вероятностей равна 1:

(использовано разложение в ряд Тейлора функции е^х).

Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального, когда число опытов n неограниченно увеличивается, а вероятность p события X в одном опыте стремится к 0, так что существует предел .

Случайная величина Х – число событий пуассоновского потока, поступивших в течение интервала , причем параметр , где – интенсивность потока.

Рассмотрим типичную задачу, приводящую к распределению Пуассона. Пусть на оси абсцисс случайным образом распределяются точки, причем их распределение удовлетворяет следующим условиям:

1) вероятность попадания некоторого количества точек на отрезок длины l зависит только от длины отрезка и не зависит от его расположения на оси (то есть точки распределены с одинаковой средней плотностью);

2) точки распределяются независимо друг от друга (вероятность попадания какого-либо числа точек на данный отрезок не зависит от количества точек, попавший на любой другой отрезок);

3) практическая невозможность совпадения двух или более точек.

Тогда случайная величина Х – число точек, попадающих на отрезок длины l – распределена по закону Пуассона, где – среднее число точек, приходящееся на отрезок длины l.