Параллельность прямой и плоскости
№11 (устно). Дан куб АВСDA1B1C1D1 (рис. 24).
1. Докажите, что а) DC параллельно плоскости грани АА1В1В;
б) АС параллельно плоскости А1C1D;
в) А1D параллельно плоскости грани ВВ1C1С.
2. Назовите все рёбра куба, параллельные плоскости основания.
3. Каким граням куба параллельно ребро АD?
4. М – середина ребра AD, N – середина ребра DC. Докажите, что MN параллельно плоскости диагонального сечения АА1С1С. Назовите все плоскости, проходящие через вершины куба, параллельные MN.
№12 (устно). Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие основания трапеции, плоскость α? Ответ обосновать.
Рис. 25
№13. Параллельна ли плоскость АSС прямой, проходящей через точки Р и Р1 пересечения медиан треугольников SАВ и SСВ ( рис. 26)? Ответ обосновать.
План решения.
1. Δ PBР1~ Δ MBM1.
2. РР1 || ММ1.
3. Вывод.
№14 (устно).Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой в этой плоскости? Может ли данная прямая пересечь хотя бы одну из прямых плоскости?
№15 (устно).Будут ли параллельны две прямые, параллельные одной и той же плоскости?
№16.Плоскости α и β пересекаются по прямой с (рис. 27). Прямая р параллельна каждой из этих плоскостей. Докажите, что она параллельна прямой с.
План доказательства.
1. Существует прямая 
2. а¢ || β.
3. а¢ || с.
4. р || с.
№17.Отрезки АА1, ВВ1, СС1 не лежат в одной плоскости и пересекаются в точке О, являющейся серединой каждого из них. Доказать, что прямая АВ параллельна плоскости А1СВ1.
План решения.
1. Δ АОВ= Δ А1ОВ1.
2. АВ || А1В1.
3. А1В1Ì А1СВ1.
3. Вывод.
№18.Объясните, почему кóзлы, на которых пилят брёвна обеспечивают горизонтальное положение бревна.
№ 19. В кубе АВСDA1B1C1D1 точка К1 – середина ребра АВ,
точка К2 – середина ребра АА1, точка К3 – середина ребра А1В1, точка К4 – середина ребра СС1, точка К5 – середина ребра СD. Как расположены между собой такие прямые и плоскости:
а) К2 К3 и К1К4К5;
План решения.
1. К2 К3 || К5 К4.
2. Вывод.
Ответ: К2 К3 || К1К4К5.
б) К1К4 и AB1D;
План решения.
Пусть точка О – середина АВ1.
1. ОС1 – линия пересечения сечения
АВ1С1D и К1К3С1С.
2. К1К4 || ОС1, 
3. Вывод.
Ответ: К1К4 || AB1D.
в) В1К5 и К2К3К4;
План решения.
1. К3D || В1К5.
2. К3D пересекает плоскость К2К3К4.
3. Вывод.
Ответ: В1К5 пересекает плоскость К2К3К4.
г) BD и К2К3К5;
План решения.
1.Точка О (середина отрезка К3К5) –
центр симметрии куба.
2. MN || ВD, 
3. MN пересекает плоскость К2К3К5.
4. Вывод.
Ответ: BD пересекает плоскость К2К3К5
№ 20. В правильной четырёхугольной пирамиде провести плоскость через диагональ основания параллельно боковому ребру. Сторона основания равна а, а боковое ребро равно в. Определить площадь полученного сечения.
План построения. План вычисления площади.
1. ОК || PD в плоскости BPD (рис. 33) 1. АС.
2. АК, КС. 2. Δ АКС – равнобедренный.
3. Δ АКС – искомое сечение. 3. ОК – высота Δ АКС.
4. Δ BPD ~ Δ BKO, k=2.
5. OK. 6.S Δ ABC.
Ответ: 
.
№ 21. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, параллельной прямой AD, проходящей через вершину С и внутреннюю точку М ребра АВ. Найти площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра имеет длину а и точка М делит ребро АВ пополам.
План построения. План вычисления.
1. MN || AD. 2. NC. 3.CM. 1. Вид сечения MNC.
4. MNC – искомое сечение. 2. NM. 3. МС. 4. РС. 5. SΔNMC.
Ответ: 
№ 22. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена плоскость, которая параллельна медиане основания BN и пересекает боковые ребра SA в точке К, а SB в точке L, причём SK= 
Вычислить, в каком отношении плоскость сечения делит ребро SC?
План построения.
1. Сечение BSN.
2. LT || BN (рис. 36).
3 .KT.
4. Точка Р – пересечение КТ и SC.
5. PL.
6. LK.
7. Δ LPK – искомое сечение.
План вычисления.
Рассмотреть грань пирамиды АSC.
Провести AR || KP, NQ || KP (рис. 37).
1. ST= 
2. ST=TF=FN.
3. SP=PR=RQ.
4. RQ=QC.
5. SP=PR=RQ=QC.
6. SP: PC=1: 3.
Ответ: 1: 3.
№ 23. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка М принадлежит ребру SD. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки В, М и параллельной прямой АС.
План построения.
1. МВ (рис. 38).
2. О – точка пересечения SQ и МВ.
3. KF: OÎ KF и KF || AC (рис.39).
4. Сечение KMFB (рис.40).
№ 24.Пусть АВСA1B1C1 – правильная призма. Точка К – середина ребра АС. 1) Отметить точку L на ребре В1С1, такую, чтобы отрезок KL был параллелен грани АА1В1В. 2) Как вычислить длину LK, если рёбра призмы известны?
1) 2)
План построения. План вычисления. 1. Точка F – середина АВ. 1. КМ. 2. KL.
2. FB1.
3. Прямая р: р || FB1 и КÎ FB1.
4. L – точка пересечения прямой р и B1C1.
|
№ 25 (устно). В правильной призме АВСА1В1С1 точка К – середина ребра ВВ1. Провести сечение призмы плоскостью, проходящей через точку К параллельно АС. Какое из них: а) параллельно В1С; б) параллельно А1В; в) имеет наибольшую площадь; г) имеет наименьшую площадь?
3.3.Параллельность плоскостей
№ 26(устно). Верно ли утверждение, что если плоскости α и β параллельны и прямая а лежит в плоскости α, то эта прямая параллельна плоскости β (рис. 47).
№ 27(устно). Доказать, что 1) противоположные грани параллелепипеда параллельны; 2) сечения параллелепипеда, проходящие через тройки его вершин А, В1, С и А1, С1, D, параллельны между собой. Сколько пар таких сечений можно провести?
№ 28(устно). Если две параллельные прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то будут ли эти плоскости параллельны?
№ 29(устно).Верно ли утверждение: если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны?
№ 30(устно). Основание призмы - трапеция. Доказать, что призма имеет только одну пару параллельных боковых граней.
№ 31 (устно). Дан тетраэдр DABC. Точки М, N, P являются серединами ребер DA, DB, DC. Доказать, что плоскости MNP и ABC параллельны.
№ 32(устно). Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Доказать, что и третья его сторона параллельна плоскости α.
№ 33. Три отрезка А1А2, В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Доказать, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны.
План доказательства.
1. DA1OB1=DA2OB2.
2. A1B1|| A2B2.
3. DA1OC1=DA2OC2.
4. A1C1|| A2C2.
5. Вывод.
В задачах №34- №35 выбираются два отрезка, лежащие на скрещивающихся прямых.
№ 34. Дана правильная треугольная пирамида. Построить два её параллельных сечения, проходящих через:
1) среднюю линию основания и среднюю линию боковой грани;
План построения.
MN, РQ – средние линии
1. МК || AD.
2. КN.
3. Плоскости MKN и ADC параллельны.
2) апофему и среднюю линию боковой грани;
План построения.
MN – средняя линия грани ADC,
DQ – апофема.
1. NP || DQ.
2. PM.
3. QC ||PM.
4. Плоскости PNM и QDC параллельны.
3) среднюю линию основания и медиану боковой грани;
План построения.
MN – средняя линия грани AВC,
DР –медиана боковой грани ADC.
1. ВDP.
2. Q – точка пересечения MN и BP.
3. QK || DP.
4. MKN.
5.Плоскости MKN и ADC параллельны.
4) медианы двух боковых граней;
План построения.
DM –медиана боковой грани ADC,
АК – медиана боковой грани AВD
1. BDM.
2. KP || DM.
3. AP.
4. Q – точка пересечения АР и ВС.
5. QK.
6. MN || AQ.
7. DN.
8. Плоскости КАQ и DMN параллельны.
5) высоту пирамиды и среднюю линию боковой грани;
План построения.
MN – средняя линия грани ADC,
DО – высота пирамиды.
1. APD.
2. NQ ||DO.
3. MQ.
4. K – точка пересечения
5. KN. 6. DE || NK. 7. EC
8.Плоскости KNM и DEC параллельны.
6) высоту пирамиды и медиану боковой грани.
План построения.
DO – высота пирамиды,
ВN – медиана боковой грани.
1. DAM.
2. NK || DO.
3. ВК.
4. F – точка пересечения ВК и АС.
5. FN.
6. QP || BF, OÎQP.
7. DQ.
8. Плоскости ВNF и DQP – параллельны.
№ 35.Пусть АВСDA1B1C1D1 - куб. Построить два его сечения, параллельных между собой и проходящие через:
1) АС и В1D1;
План построения.
1. А1С1.
2. BD.
3. Плоскости граней ABCD и A1B1C1D1
параллельны.
2) АС и С1D;
План построения.
1. АВ1. 2. В1С.
3. А1С1. 4. А1D.
5. Плоскости АСВ1 и С1DА параллельны.
3) АС и В1D;
План построения.
1. OK ||B1D.
2. AK. 3. KC.
4. MN || AC.
5. Q – точка пересечения MN и В1D.
6. MB1. 7. B1N. 8. ND. 9. DM.
10.Плоскости треугольника АКС и четырёхугольника MB1ND параллельны.
4) АС и О1О2, где О1 и О2 – центры граней
АА1В1В и А1В1С1D1.
План построения.
1.А1С1. 2. А1В. 3. С1В.
4. АС. 5. АD1. 6. CD1.
7. Плоскости А1С1В и АСD1
параллельны.
№ 36. В правильном тетраэдре с ребром а DO – высота тетраэдра. Точка М – середина DO. 1) Провести через точку М сечение, параллельное плоскости ACD. 2) Вычислить периметр и площадь сечения.
План построения.
1. P – точка пересечения ВО и АС.
2. Плоскость BDP.
3. RQ || DP, MÎRQ.
4. KN || AC, QÎ KN.
5. RK.
6. RN.
7. Сечение KRN параллельно грани ADC.
2) 1. D KRN ~ D ADC. 2. Коэффициент подобия k=RQ : DP. 3. РDАDC.
4. РDKRN. 5. S DАDC. 6. SDKRN.
Ответ: 