Задачи на пропорциональное деление

В задачах этого типа даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми.

Для любых трёх величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно составить шесть видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две с обратно пропорциональной зависимостью.

В начальных классах предусмотрено программой решение задач на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин, причём только способом нахождения значения постоянной величины [1].

Рассмотрим на примере задач с величинами цена, количество, стоимость.

Задача. Купили по одинаковой цене 5 тетрадей в клетку и
8 тетрадей в линейку. За всю покупку заплатили 91 руб. Сколько стоят тетради в клетку и тетради в линейку в отдельности?

Полное рассуждение ученика (от числовых данных к вопросу).

1. Мне известно, что купили по одинаковой цене 5 тетрадей в клетку и 8 тетрадей в линейку. За всю покупку заплатили 91 руб.

2. Надо узнать, сколько заплатили за тетради в клетку и сколько за тетради в линейку.

3. Выполню краткую запись в виде таблицы:

Объекты	Цена	Количество	Стоимость
Тетр.в кл. Тетр.в лин.	Одинаковая	5 тетр. 8 тетр.	? р. 91 р. ? р.

Таблица 2

Вид задач	Величины	Задача
Цена	Количество	Стоимость
I	Постоян-ная	Даны два или более значений.	Дана сумма значений, соответст. количеству. Найти слагаемые.	За 3 кг яблок и 6 кг груш заплатили 90 р. Сколько заплатили за яблоки и груши в отдельности, если купили их по одинаковой цене?
II	Постоян-ная	Дана сумма значений, соответст. стоимости. Найти слагаемые.	Даны два или более значений.	За 9 кг фруктов уплатили 90 р. Сколько килограммов яблок и груш в отдельности купили, если покупали их по одинаковой цене и за яблоки заплатили 30 р., а за груши – 60 р.?
III	Даны два или более значений.	Постоянная	Дана сумма значений, соответст. стоимости. Найти слагаемые.	В магазине купили одинаковое количество ручек и карандашей. Ручка стоила 4 р., карандаш 2 р. За всю покупку заплатили 60 р. Сколько стоили все ручки и карандаши в отдельности?
IV	Дана сумма значений, соответст. цене. Найти слагаемые.	Постоянная	Даны два значения.	Купили одинаковое количество ручек и карандашей. Карандаш с ручкой стоили 6 р. За все ручки заплатили 40 р., за все карандаши 20 р. Сколько стоили карандаш и ручка в отдельности?

4. Знаю, что купили 5 тетрадей в клетку и 8 тетрадей в линейку.

5. Могу узнать, сколько всего тетрадей купили.

6. Действием сложения.

4а. Знаю, стоимость всех тетрадей, и буду знать, сколько всего тетрадей купили, т.е. их общее количество.

5а. Могу узнать, цену тетради.

6а. Действием деления.

4б-6б. Зная цену тетради и количество тетрадей в клетку, могу узнать их стоимость действием умножения.

4в-6в. Зная цену тетради и количество тетрадей в линейку, могу найти их стоимость действием умножения.

7. Составляю план решения: сначала действием сложения узнаю общее количество тетрадей; потом действием деления узнаю цену тетради; затем действием умножения узнаю стоимость тетрадей в клетку и затем в линейку и отвечу на вопрос задачи.

8. Записываю решение задачи по действиям с полным пояснением:

1) 5+8=13 (тетр.) - столько всего тетрадей купили;

2) 91:13=7 (р.) - цена тетради;

3) 7•5=35(р.) - стоимость тетрадей в клетку;

4) 7•8=56 (р.) - стоимость тетрадей в линейку.

9. Ответ: 35 р. и 56 р.

Выполним операции 4-6 при разборе задачи от вопроса к числовым данным:

4) Чтобы узнать, стоимость тетрадей в клетку (линейку), надо знать цену тетради и количество тетрадей.

5) Если я буду знать цену и количество тетрадей, то смогу узнать стоимость действием умножения.

6) Сразу узнать стоимость тетрадей в клетку (линейку) я не могу, потому что не знаю цену тетради.

4а) Чтобы узнать цену тетради, нужно знать общее количество тетрадей и их стоимость.

5а) Если я буду знать общую стоимость тетрадей и их количество, то смогу узнать цену действием деления.

6а) Сразу узнать цену тетради я не могу, потому что не знаю общее количество.

4б) Чтобы узнать общее количество тетрадей, нужно знать количество тетрадей в клетку и количество тетрадей в линейку, которые купили.

5б) Если я буду знать количество купленных тетрадей в клетку и в линейку, то смогу узнать общее количество тетрадей действием сложения.

6б) Это я могу узнать сразу, потому что знаю, что тетрадей в клетку было 5, а в линейку 8.

7. Составляю план решения (см. выше).

При разборе от вопроса к числовым данным целесообразно выполнять «схему размышления», которая в данном случае будет иметь следующий вид:

?

• ?

: :

: + ?

На основе анализа полного рассуждения ученика в процессе решения задачи на пропорциональное деление мы видим, что на этапе подготовки к введению задач данного вида необходимо, чтобы ученик усвоил:

1) знание связи между величинами цена, количество, стоимость;

2) систему операций, которая выполняется при решении составной арифметической задачи;

3) знание о задаче и её структуре;

4) выполнение краткой записи в виде таблицы.

Всё это возможно сделать при решении задач на нахождение четвёртого пропорционального, которые вводятся в третьем классе и продолжают решаться в четвёртом классе. Таким образом, успех решения задач на пропорциональное деление будет определяться сформированностью умения решать задачи на нахождение четвёртого пропорционального. В связи с этим в качестве подготовки надо предусмотреть решение задач с величинами цена, количество, стоимость на нахождение четвёртого пропорционального. Причём, при решении задач нужно акцентировать внимание на связях между величинами: чтобы найти цену..., нужно стоимость... разделить на количество...; чтобы найти стоимость..., нужно цену... умножить на количество...; на правильном выполнении иллюстрации задачи.

Ознакомление с задачами данного типа можно провести по-разному: можно предложить для решения готовую задачу, а можно сначала составить её, преобразовав задачу на нахождение четвёртого пропорционального.

Рассмотрим второй вариант: дети составляют задачу на нахождение четвёртого пропорционального. Например: «Купили по одинаковой цене 5 тетрадей в клетку и заплатили 35 р. Сколько будут стоить 8 тетрадей в линейку, купленных по той же цене?» На доске после составления задачи выполняется краткая запись:

Объекты	Цена	Количество	Стоимость
Тетр. в кл. Тетр. в лин.	Одинаковая	5 тетр. 8 тетр.	35 р. ? р.

Задача решается детьми устно. Учитель записывает полученное число в таблице вместо вопросительного знака и предлагает найти сумму чисел, обозначающих стоимость тетрадей. Выясняется, что 91 р. уплатили за все тетради. В краткую запись вносятся изменения:

Объекты	Цена	Количество	Стоимость
Тетр. в кл. Тетр. в лин.	Одинаковая	5 тетр. 8 тетр.	? р. 91 р. ? р.

Ученики составляют задачу по этой краткой записи и отмечают, что такие задачи они ещё не решали. Формулируется учебная задача: «Найти способ решения таких задач». Учитель предлагает детям самостоятельно решить задачу. Если одному будет трудно, попытаться поработать над поиском способа решения с соседом или с группой. После того, как способ решения будет найден, проводиться защита проектов: решений задач (рассуждение ведётся в соответствии с заданиями памятки). Надо пояснить, что два вопроса в таких задачах заменяют одним вопросом со словом «каждый», например: «Сколько стоили тетради каждого вида?». Важно подчеркнуть, что здесь два вопроса и при решении будет в ответе два числа.

Переходя к решению готовых задач из учебника, а также задач, составленных детьми и учителем, включающих различные группы величин, после выделения данных и искомого, сначала надо установить, о каких величинах идёт речь в задаче, затем записать задачу кратко в таблице, предварительно расчленив вопрос на два вопроса, если в нём есть слово каждый. Решение, как правило, выполняется самостоятельно, разбор ведётся только с отдельными учениками. Вместо краткой записи можно выполнить чертёж.

Например:

5 т.

? р. 91р.

7 т.

? р.

На этапе закрепления умения решать задачи данного типа, по мнению М.А. Бантовой, и с ней нельзя не согласиться, не следует каждый раз выполнять иллюстрацию. Если ученик, прочитав задачу, знает, как её решать, то пусть её решает, предварительно составив план её решения. Краткой записью или чертежом воспользуются только те, кто затрудняется решить задачу. Постепенно задачи должны усложняться путём введения дополнительных данных (например: «В первом куске было 16 м материи, а во втором в два раза меньше...») или постановкой вопроса (например: «На сколько больше заплатили за второй кусок, чем за первый?»).

Обобщению умения решать задачи рассмотренного вида помогают задания творческого характера. Назовём некоторые из них.

До решения полезно спросить, на какой из вопросов задачи получится в ответе большее или меньшее число и почему, а после решения проверить, соответствуют ли этому виду полученные числа, что является одним из способов проверки решения. Можно далее выяснить, могли ли в ответе получить одинаковые числа и при каких условиях.

Полезны задания на составление задач учащимися с последующим их решением, а также задания по преобразованию задач. Это составление задач, аналогичных решённой задаче, составление задач по их решению, записанному как в виде отдельных действий, так и в виде выражения, составление и решение задач по краткой схематической записи и др.

Работа по ознакомлению с задачами на пропорциональное деление второго вида может быть проведена аналогично рассмотренной. При решении задач этого вида ученики должны выполнять работу с большей долей самостоятельности, поскольку эти задачи сходны с задачами ранее рассмотренного вида (их решение отличается последними действиями: если ранее это было умножение, то здесь - деление). Однако сходство задач приводит и к ошибкам: некоторые ученики смешивают решения этих задач, выполняя вместо деления умножение. Одним из средств предупреждения таких ошибок служит решение пар задач различного вида и последующее сравнение самих задач, а также их решений.

Приведём пару таких задач:

1) В магазин в первый день привезли 3 одинаковых мешка картофеля, а во второй - 5 таких же мешков. Всего за эти два дня привезли 560 кг картофеля. Сколько килограммов картофеля привезли в каждый день?

2) В магазин за два дня привезли 8 одинаковых мешков картофеля. В первую неделю привезли 210 кг картофеля, а во
второй 350 кг. Сколько мешков картофеля привезли в каждую неделю?

Записав каждую задачу кратко, ученики установят, в чём их сходство и в чём различие. После решения этих задач дети должны установить сначала сходство решений этих задач (обе задачи решаются четырьмя действиями, два первых действия одинаковые), а затем различие (в первой задаче два последних действия - умножение, а во второй - деление).

Для обобщения способа решения задач данного типа детям в дальнейшем предлагаются сначала задачи первого вида, но с другими величинами, затем вводятся задачи II вида, несколько позднее задачи III и IV видов. Так же, как и при работе над задачами первого вида, следует предлагать детям задания творческого характер на составление и преобразование задач.