Перспектива прямой и плоскости 4 страница

На картине (рис. 108) отрезок АВ является перспективой отрезка А'В', а отрезок AqBq = А'В' (по построению). Следовательно, мы установили связь и получили соотношение между перспективными и натуральными линей­ными размерами — построили масштаб.

Рассмотрим построение перспективы отрезка АВ по заданной натураль­ной величине (рис. 109). Предельной точкой предметного следа вспомога­тельной плоскости является точка Р. Однако, если прямую заключить в другую плоскость, где предельной точкой будет А„, то результат построе­ния масштаба не изменится, так как перспектива отрезка АВ является ли­нией пересечения этих вспомогательных плоскостей.

►

Для построения перспективного масштаба высот заданную вертикальную прямую заключают в горизонтально-проецирующую плоскость и натураль­ные отрезки откладывают на картинном следе этой плоскости. Затем пе­реносят их с помощью линий переноса, для которых точкой схода будет являться предельная точка предметного следа этой плоскости.

5Э-298 65

Рис. 109

Рис.110

На картине (рис. 110) задана вертикальная прямая с точкой А на ней. Требуется отложить на прямой от точки А величину, равную 5 м, при за­данной натуральной единице масштаба (1 м) на картине. Заданную прямую заключим в произвольную горизонтально-проецирующую плоскость и про­ведем через точку А предметный след АА₀. Через полученную на основании картины точку А₀ восстановим вертикально картинный след AgA_k. На кар­тинном следе отложим пять отрезков, равных 1 м. Через последнее деле­ние проведем линию переноса в предельную точку А_х на линии горизонта, которая позволит получить второй конец отрезка — точку В. Отрезок АВ в перспективе будет равен 5 м. Все отрезки, находящиеся в этой горизонталь­но-проецирующей плоскости и ограниченные прямыми ДД^ и А/А^ будут равны 5 м.

На схеме картины итальянского художника Фра-Филиппо Липпи « Бла­говещение» события развиваются в интерьере, натуральную высоту кото­рого определим путем вывода размера боковой стены на основание карти-

ны (рис. 111). В данном случае целесообразно использовать точку Р как предельную точку схода предметного следа горизонтально-проецирующей плоскости, которая проходит через боковую стену, а значит и отрезок MN. Отрезок М₀М_к — натуральная величина высоты комнаты в масштабе кар­тины. Для того, чтобы определить реальные размеры стен комнаты, можно использовать стоящую фигуру Марии. Определим натуральную величину ее роста в масштабе картины. Она равна отрезку ДА, который для наглядно­сти вынесен за пределы картины на свободное поле листа. Средний рост чело­века 1,65 м, допустим, что эта величина соответствует росту Марии. Разде­лим отрезок на 10 равных частей. Одна часть п = 16,5 см. Измерим величину стены этой же мерой, она составит 15 частей, значит примерно 2,5 м.

к Для определения натуральной величины отрезка, заданного в перспекти­ве, его заключают в горизонтально-проецирующую плоскость, отмеча­ют предельную точку ее предметного следа на линии горизонта. Затем проводят горизонтальные линии переноса через концы отрезка и предель­ную точку до пересечения с картинным следом плоскости, где и опреде­лится натуральная величина этого отрезка.

4. Перспективный масштаб глубин. Дистанционная точка

Масштаб, построенный на прямой, перпендикулярный к плоскости картины, называется масштабом глубин. Рассмотрим его построение на проецирующем аппарате (рис. 112). Проведем в предметной плоскости от­резок AqB' перпендикулярно к плоскости картины и перенесем этот отре­зок на основание картины. Для этого через точку В' проведем прямую под углом 45° к основанию картины, отметим точку пересечения N₀ и обозна­чим отрезок NqAq. Направим луч зрения параллельно отрезку N₀B', т. е. под углом 45°, найдем точку его пересечения с линией горизонта. Это будет точка D₂.

Построим перспективы прямых А^В' и N₀B'. Прямая А₀Р является перспективой глубинной прямой А^В' с предельной точкой Р. Отрезок N₀D₂ — перспектива отрезка N₀B'. Перспективу В точки В' получим как результат пересечения перспективы глубинной прямой А^В' и перспекти­вы прямой N₀B', лежащей к основанию картины под углом 45° (по постро­ению). Отрезок А₀В — перспектива отрезка А^В'. Так устанавливается со­отношение между размерами отрезка AqB в перспективе и отрезка А$В' в натуре, т.е. получили масштаб глубин. К такому же результату можно прий­ти, если исследовать треугольник NqBAq.

Прямая А₀Р — перспектива глубинной прямой АдВ'. Следовательно, угол при вершине А₀ треугольника N₀BA₀ есть перспектива прямого угла треугольника NqB'Aq . Прямая N₀D₂ — перспектива прямой N₀B', лежа­щей под углом 45° к основанию картины (по построению). Следователь­но, углы при вершине N₀ и В есть перспективы угла в 45° Треугольник N₀BA₀ на картине является перспективой прямоугольного равнобедрен­ного треугольника N₀B'Aq . Отрезок А^В в перспективе соответствует от­резку N(A₀b натуре, а отрезок NqA₀= AqB' по построению, как стороны равнобедренного треугольника. Так установили соотношение между раз­мерами отрезка А^В в перспективе и размером отрезка А^В' в натуре, т. е. нашли масштаб.

Точку схода горизонтальных прямых, идущих слева на право под уг­лом 45° к плоскости картины, обозначают D₁₅ справа налево — D₂ и называ­ют — дистанционными точками (рис. 113).

С помощью дистанционных точек можно сравнить величину различ­ных отрезков, идущих в точку схода Р. На картине (рис. 114)даны два от­резка АВ и СЕ. Из точки D_l через точки А, В, С, Е проведем линии переноса до пересечения с основанием картины в точках А₀ и В₀, С₀ и Е₀. На линии основания картины определим натуральные величины А₀В₀ и С₀Е₀ соответ­ствующих отрезков АВ и СЕ. Натуральные величины обоих отрезков рав­ны п, значит и изображенные отрезки тоже равны между собой.

В данном примере дистанционная точка расположена за пределами кар­тины, в некоторых случаях она может быть значительно удалена от нее,

Рис.113

что усложняет построения и делает их менее точными. В таких случаях пользуются дробными дистанционными точками.

Рис.114

На картине (рис. 115) задан отрезок АВ, который располагается на глу­бинной прямой АР. С помощью дистанционной точки D определим натураль­ную величину этого отрезка на основании картины и обозначим ее буквой т.

Рис.115

Если расстояние от точки Р до D разделить пополам и провести линию пере­носа через конец отрезка точку В до пересечения с основанием картины, по­лучим расстояние в два раза меньшее, чем имеющаяся величина т. Если на основании картины отложить отрезок т/4 и соединить с тем же концом от­резка точкой В, а затем продолжить до пересечения с линией горизонта, то получим дробную дистанционную точку D/4 (PD/4 = D/4D/2).

Диагональ плит на схеме с гравюры советского графика А.П. Остроумо­вой-Лебедевой, где изображен вид Петербурга «Нева сквозь колонны бир­жи» (рис. 116), представляет собой прямую, расположенную под углом 45°

к картинной плоскости. Через один угол квадратной плиты, обозначен точ­кой Е; проведена диагональ до пересечения с линией горизонта в точке D₂, которая лежит достаточно далеко за пределами картины. Точка D/4 распо­лагается на картине. В практической перспективе использование дробных точек облегчает построение перспективных изображений отрезков и опре­деление их величин.

►

Для получения натуральной величины перспективы глубинного отрезка, изображенного на картине, достаточно провести линии переноса из дис­танционной точки, через концы глубинного отрезка, до пересечения с ос­нованием картины.

5. Перспективный масштаб на прямой произвольного направления

Относительно картинной и предметной плоскостей прямые могут рас­полагаться совершенно произвольно под любым углом. Масштаб, постро­енный на произвольно направленной прямой, называется масштабом в произвольном направлении. Рассмотрим построение перспективного мас­штаба в наиболее часто встречающемся случае — на произвольно направ­ленной, горизонтальной прямой (рис. 117).

Прямая Д)Д1 лежит в предметной плоскости. Требуется на ней пост­роить перспективный масштаб.

На основании картины, начиная от точки А₀, построим натуральный масштаб и перенесем его деления с основания картины на прямую А^А^ при помощи прямых 1₀1', 2₀2 , 3₀3'. Эти прямые параллельны, поскольку между ними, по построению, лежат попарно равные отрезки. Заметим, что каждая из этих прямых образует равные углы с основанием картины и с прямой AqA^, , вследствие чего треугольники 1₀^ 1', 2₀А^2', Зо^З' с об­щим углом при вершине А₀ будут равнобедренными (А₀1₀ = А₀1'; А₀2₀ = = А₀2'; А₀3₀ = А₀3') и подобными между собой.

Из точки зрения проведем лучи SA^ \\ А^А^ и SM || 1₀1' и находим на линии горизонта предельную точку А„ прямой А^А^ и точку схода линий переноса М_те, после чего построим на картине заданную прямую с нанесен­ным на нее перспективным масштабом.

Треугольник SA^M^, образовавшийся в плоскости горизонта, подобен треугольнику 1₀ \ 1„ (вследствие параллельности сходственных сторон) и потому является равнобедренным (SA^ = M^J).

Повернем треугольник A^SM^ вокруг линии горизонта и совместим его с плоскостью картины. Точка зрения S при совмещении с картиной будет находиться на перпендикуляре, проведенном из главной точке Р к линии горизонта, и на расстоянии SP = S^ .

Рис.118

Из построений видно, что совмещенную точку зрения всегда можно найти на картине, если задана главная и дистанционная точки.

Перенесем на картину ее основные элементы (рис. 118). В предметной плоскости картины изобразим произвольно направленную прямую AqA^. Построим перспективный масштаб на прямой.

Отложим на основании картины от точки Д, заданные отрезки натураль­ного масштаба Aoi₀,1₀2₀,2₀3₀. На перпендикуляре, восстановленном из глав­ной точки картины к линии горизонта, отметим совмещенную точку зре­ния S_k, отложив PS_k = PD. На линии горизонта отложим отрезок AJM^ = = A^S (как равные стороны равнобедренного треугольника S_kA_oaM_oa) и оп­ределим масштабную точку М„.

Масштабная точка — точка схода линий переноса для построения масштаба на произвольно направленной прямой. С помощью масштабной точки М«,, при помощи линий переноса 1₀М„, 2^^, ЗдМ^, перенесем задан­ный натуральный масштаб с основания картины на прямую А^А^.

Рис. 119

Определим натуральную величину отрезка АВ произвольно направлен­ной прямой. Для этого на картине продолжим отрезок до пересечения с го­ризонтом и найдем предельную точку А„ этой прямой (рис. 119). Опреде­лим масштабную точку для данной прямой. Для этого построим совмещен­ную точку зрения S_k, отложив PD = PS_k. Циркулем расстояние A_xS_k перенесем на линию горизонта (А«,М_Х=A^S_k). Полученную масштабную точ­ку М„ соединим линиями переноса с концами отрезка АВ и продолжим до пересечения с основанием картины. AqB₀ — натуральная величина отрезка АВ, заданного в масштабе данной картины.

Для всякой прямой произвольного направления может быть построе­на только одна масштабная точка перспективного масштаба. Две непарал­лельные прямые произвольного направления имеют разные масштабные точки.

На схеме картины Яна Вермеера Дельфского (рис. 120) требуется опре­делить в масштабе картины натуральную величину кофемолки, отмечен­ную как отрезок АВ. Кофемолка повернута к зрителям под произвольным углом, поэтому отрезок АВ может рассматриваться как часть произвольно направленной прямой. В этом случае натуральную величину отрезка АВ найдем способом, показанным на рис. 119.

Для построения на картине перспективного масштаба на произвольно на­правленной горизонтальной прямой находят масштабную точку и, с помо­щью линий переноса, пройденных из масштабной точки, переносят отрез­ки натурального масштаба на заданную прямую.

6. Деление и увеличение отрезка в перспективе

Метрические задачи могут быть решены как с помощью перспективно­го масштаба, так и геометрическим способом. Рациональный выбор спосо­ба позволяет достигнуть изображения с наименьшими графическими пост­роениями.

При решении любой задачи метрического характера следует проверить наличие в условии всех необходимых элементов картины. Рассмотрим про­стейшие метрические задачи и способы их решения.

Деление отрезка на равные части особенно часто применяют на практи­ке построения перспективных изображений.

На картине (рис. 121) задан в предметной плоскости произвольно рас­положенный отрезок АЕ. Требуется разделить его на три равных части.

Через точку А проведем в предметной плоскости фронтальную прямую и отложим на ней от точки А три произвольных равных отрезка А1,1-2,2-3. Построим на линии горизонта предельную точку ^прямой Е^З. Через де­ления 1 и 2 проведем линии переноса, которые будут стремиться в предель­ную точку Е^. Они разделят отрезок АЕ при его пересечении на три равные части. В натуре отрезок АВ = ВС = СЕ.

	Р -Еоо
	$s
а/	-7 \ N	\
	1 2

Ас		р	До	—«оВ
а,	---- 7* \ \
		2 3 4

Рис. 121

Рис. 122

Рис.123

На картине (рис. 122) задан произвольно расположенный в предметном пространстве отрезок АВ. Требуется разделить его на четыре равных части.

Построение начнем с деления проекции аЪ отрезка АВ на четыре рав­ных части. Для этого через точку а в предметной плоскости проведем фрон­тальную прямую, отложим на ней четыре равные части и определим пре­дельную точку В_м. Деления 1,2,3 соединим с предельной точкой В₀ линия­ми переноса, которые разделят проекцию отрезка на четыре равные части. Вертикальными линиями перенесем деления на отрезок АВ, расположен­ный в предметном пространстве.

На картине (рис. 123) задан отрезок АВ. Требуется увеличить его в три раза.

Через проекцию а точки А проведем фронтальную прямую и, с помо­щью произвольной точки схода В„ перенесем на нее проекцию аЪ отрезка — точка 1. На полученной прямой от точки 1 отложим еще два таких же от-

Рис.124

резка (al = 1-2 = 2-3) и отметим точку С₀. Точку С₀ соединим с предельной точкой Б_м Из полученной на пересечении проекции аЪ и отрезке С^В^ про­екции с проведем вертикальную прямую, найдем положение точки С. Оп­ределим искомый отрезок АС = ЗАВ.

На картине (рис. 124) показан городской пейзаж, на переднем плане которого изображен ограждающий тротуар забор, состоящий из равных прямоугольных секций. Задача, стоявшая перед художником по изобра­жению этих равномерно удаляющихся секций, аналогична построениям, показанным на рис. 125. Дано два вертикальных столба АВ и СЕ. Требует­ся в пределах картины построить еще несколько таких же столбов на оди­наковом расстоянии друг от друга.

Соединим основания столбов и проведем прямую, предельная точка, которой будет лежать на линии горизонта. Оба заданных столба разделим пополам и проведем через их середины горизонтальную прямую, которая будет иметь ту же точку схода на линии горизонта. Через верхний конец первого столба и середину второго проведем диагональ, конец которой от­метит на линии оснований начало третьего столба.

Этот же способ применяют для построения прямоугольников, лежащих в предметной плоскости (рис. 126). Дана дорожка, покрытая прямоуголь-

ными плитами, одна из которых задана на чертеже. Требуется построить еще несколько таких же плит.

Глубинные прямые продолжим до пересечения с линией горизонта в точке Р (рис. 127). Фронтальную сторону разделим пополам и проведем еще одну глубинную прямую в точку Р. Через один конец первой стороны и се­редину второй проведем диагональ, которая отметит следующую сторону прямоугольника.

На картине (рис. 128) задан отрезок АВ, лежащий в предметной плос­кости под произвольным углом. Требуется разделить его пополам.

В этом случае целесообразно использовать свойства диагоналей, кото­рые делятся пополам в точке их пересечения. В перспективе построим па­раллелограмм, проводя через концы отрезка А и В горизонтальные прямые, параллельные основанию картины. Через точки А и В проведем параллель­ные прямые АА_Х и ВА_Х, точка схода которых — А*, взята произвольно на линии горизонта. В построенном параллелограмме отрезок АВ является диагональю, которая разделится второй пополам.

Вышеперечисленные способы позволяют делить и увеличивать любой от­резок, заданный в предметной плоскости и пространстве.

Зопросы и упражнения для самоконтроля

1.Что называется масштабом картины?

2. Как влияет выбранный масштаб на изображение в картине?

3. На рис. 129 представлены две работы разных художников. В каком случае охват пространства больше? Как это влияет на масштаб изображения?

Рис.129

4. Для чего применяются перспективные масштабы?

5. Что называется масштабом высот, глубин и широт?

h	D/A P
	В

Рис. 130

R Рис. 131

6. Что такое масштабная точка? В каких случаях она применяется?

7. Для чего на картине применяют дробные дистанционные точки?

8. Определите длину отрезка АВ (рис. 130).

9. Как можно объяснить, что все изображенные фигуры имеют одинаковый рост (рис. 131)?

Глава IV

ПЕРСПЕКТИВА ПЛОСКИХ ФИГУР

1. Перспектива углов

Часто на картинах изображают объекты, имеющие прямые углы, ко­торые в перспективных построениях таковыми не являются, вместе с тем визуально соответствуют действительности. Угол многоэтажного здания (рис. 132) изображен тупым, между тем нет сомнений, что здание имеет прямоугольную форму. Построение перспективы угла выполняется на ос­нове общего правила построения перспективы прямых. Удобнее строить перспективу прямой по двум точкам: картинному следу и предельной точ­ке прямой.

Рассмотрим построение перспективы некоторого угла а' на проециру­ющем аппарате (рис. 133). Для упрощения доказательств угол расположим в предметной плоскости. Определим для каждой прямой предельную точ­ку, для чего проведем лучи зрения SA^ и SB_X параллельно лучам А' и В' до пересечения с картиной на линии горизонта.

Соединим точки А₀ и В₀ с соответствующими предельными точками А_те и В„. Угол а, полученный в результате пересечения прямых AqA» с прямой В₀В«,, будет равен заданному натуральному углу а' и является его перспек-

тивой.

эй.

На проецирующем аппарате угол B^SA^, образованный в плоскости го­ризонта, равен заданному а' (по построению). Для объяснения некоторых будущих построений на картине осуществим преобразования на проециру­ющем аппарате. Повернем плоскость угла B_XSA_X вокруг линии горизонта до совмещения с плоскостью картины. Тогда на картине угол B„S,A^ изоб­разится в натуральную величину и будет равен заданному углу а'. Его вер­шина совпадет с совмещенной точкой зрения S_h, а стороны будут опираться на линию горизонта в предельных точках А_м и Б_те.

Для построения перспективы на картине (рис. 134) при совмещенной точке зрения S_k зададим натуральную величину угла а и продолжим его стороны до пересечения с линией горизонта. Полученные точки A„ и В_х яв­ляются предельными точками сторон заданного в перспективе угла а. На­чертим перспективу угла а, используя картинные следы Ад и Б₀.

к Для построения перспективы угла, лежащего в горизонтальной плоскости задают его натуральную величину при совмещенной точке зрения и про-

Jr должают стороны до пересечения с линией горизонта. Полученные точки пересечения будут предельными точками сторон искомого угла с задан­ной вершиной.

На картине (рис. 135) задана перспектива стороны угла ЕА. Требуется построить перспективу угла, натуральная величина которого задана гра­фически рядом и равна а.

Используя картинные следы А₀ и В₀ начетрим перспективу угла ос.

Определим положение совмещенной точки зрения S_k. Для этого из глав­ной точки картины Р проведем перпендикуляр к линии горизонта и отло-

6 Э-298

Рис.135

жим на нем дистанционное расстояние PS = PD. Продолжим прямую ЕА до пересечения с линией горизонта. Отметим предельную точку А_х заданной стороны угла. Соединим полученную точку А_тс с совмещенной точкой зре­ния S_k. Отложим натуральный угол ос из вершины S_k от стороны S,A_X и про­должим вторую сторону угла до пересечения с линией горизонта. Получим предельную точку В^. Соединим заданную вершину Е с полученной пре­дельной точкой В„ и проведем вторую сторону угла ЕВ„. Угол BJZ,A„ явля­ется перспективой заданного угла а.

Данная задача может быть решена другим способом. Для этого произ­ведем преобразование проецирующего аппарата. Предметную плоскость совместим с картиной, вращая ее вниз на 90° вокруг основания картины k (рис. 136). Плоскость горизонта вместе с точкой зрения и главным лучом зрения повернем вокруг линии горизонта на угол 90° до совмещения с кар­тиной. Таким образом, получим совмещенными с картиной две плоскости плоскость горизонта и предметную.

При совмещении плоскости горизонта с картиной точка зрения в со­вмещенной плоскости обозначается с индексом S_k. Главная точка Р и дис-

танционные точки остаются на месте, так как они находятся на оси враще­ния. Прежде чем выполнить построение перспективы угла по заданной стороне рассмотрим, как будет изображаться перспектива точки, располо­женной в совмещенной предметной плоскости.