Часть 1. Развитие количественных представлений у дошкольников.

Уже в раннем возрасте у детей накапливаются представления о совокупностях однородных и разнородных предметов. Они овладевают рядом практических действий, направленных на восприятие численности множества предметов.

А.М. Леушина выделяет в развитие восприятия множеств детьми дошкольного возраста ряд взаимосвязанных этапов [7].

На первом этапе (до двух лет) представление ребенка о множестве еще весьма диффузно: оно не имеет четких границ и не воспринимается элемент за элементом. Такое восприятие характеризует скорее неопределенную множественность. Не осознаётся еще точно и количественная его сторона. Ребенок действует от какой-либо одной точки отсчета, начинает от середины и раскладывает предметы в обе стороны от нее.

Дети безразлично относятся к признакам, определяющим единство множества (цвету, форме, величине).

На втором этапе (с трех лет) дети уже воспринимают множество в его границах, однако четкое восприятие всех элементов множества еще отсутствует. Это этап формирования множества как конечного. Внимание ребенка сосредоточивается главным образом на границах множества.

Ребенок использует уже две точки отсчета в движениях рук и глаз: от границ множества к его центру и действует от концов к середине. Восприятие двух конечных точек множества становится главным для ребенка.

Концентрация внимания детей на границах множества ослабляет внимание к восприятию всего состава элементов.

У детей появляется избирательное отношение к основному признаку множества – цвету, величине, форме.

Восприятие количественного состава множества еще весьма диффузно.

Третий этап (4-5 лет) характеризуется правильным восприятием детьми множества в его границах и четким выделением его элементов. Дети соотносят элементы одного множества с элементами другого при помощи установления взаимно-однозначного соответствия, переходят к одноручной и однонаправленной системе отсчета элементов (слева на право).

К концу этого этапа дошкольники под руководством взрослого могут путем сосчитывания определять количественный состав множества.

Методика формирования представлений о множестве у детей дошкольного возраста предполагает решение комплекса взаимосвязанных задач.

Одна из них–формирования отношений между «один» и «много» у детей младшего дошкольного возраста.

Данное направление предполагает организацию нескольких этапов работы с детьми.

На первом этапе работы формируется общее представление о множестве, как структурно-целостном единстве, состоящем из отдельных элементов.

Важно фиксировать внимание детей на том, как из отдельных элементов образуется множество и на то, как множество дробится на отдельные элементы.

На одном из первых занятий дети узнают, что всякая совокупность (корзинка с грибами, тележка с зайчиками, ваза с цветами) составляется из отдельных предметов и что она может быть раздроблена на отдельные предметы. В связи с этим дети знакомятся с выражениями много, один, по одному, ни одного.

На последующих занятиях данного этапа необходимо продумать смену материала, усложнение характера вопросов к детям, разнообразие игровых и практических ситуаций [7], [20], [23].

На втором этапе работы детей учат различать один и много в окружающей обстановке, понимать указания о количестве предметов, связывая их с признаками цвета, формы, величины и пространственного расположения.

Поскольку детям вначале сложно сосредоточиться на количественных признаках предметов, необходимо на первых порах специально создавать ситуации на занятиях.

Например, предлагаются предметы, расположенные на двух ступеньках лесенки, или двух полосках карточки. На верхней ступеньке (полоске) – один зайчик, на нижней ступеньке (полоске) – много мишек. Детей просят определить где и каких игрушек много, а где одна.

Постепенно подводим детей к нахождению один и много в окружающей обстановке, создавая разнообразные ситуации с использованием дидактического материала: найти и сказать каких предметов много, а каких по одному; найти и принести много предметов и один предмет; расставить на столе много предметов, или один предмет.

Обязательно задаются вопросы детям о количестве найденных, принесенных, расставленных предметов.

Постепенно данная задача вводится в разные виды деятельности детей: игровую, трудовую, художественную, конструктивную.

Еще одной важной задачей по формированию у детей представлений о множестве является обучение младших дошкольников приемам установления взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств и формирование у них представлений о равенстве и неравенстве множеств.

На первом этапе обучения формируется представление о равенстве множеств.

Наиболее простым является прием наложения. Воспитатель показывает, как нужно накладывать предметы и учит детей соблюдать определенные правила: направление движения руки слева направо; соотнесение каждого элемента раскладываемого множества только с одним элементом другого множества; использование выражений «столько — сколько», «поровну», «одинаково» при описании того, что сделано [7].

Очень важно при этом активизировать речь детей вопросами о количестве предметов, о ходе выполнения задания.

На следующих занятиях вводятся усложнения за счет увеличения количества сравниваемых элементов; смены материала. Вместо карточки с одним рядом изображений выдаются карточки с двумя, тремя рядами (ряд цветов, под ним – ряд листиков, далее – ряд грибков), а детям в качестве раздаточного материала дают три вида предметов (жуки, бабочки, гусеницы). Предлагается разложить каждый вид материала на определенную полоску. В дальнейшем дети уже могут выполнять задание лишь на основе словесной инструкции без показа.

Следующий прием, которым должны овладеть дети,— это прием приложения. Цель проводимых с детьми занятий та же: научить соотносить элементы одного множества с элементами другого. Однако задание усложняется: надо самому выделять каждый элемент и в то же время видеть его пространственное расположение, а также сохранять интервалы между отдельными элементами.

В процессе выполнения заданий необходимо активизировать речь детей. На вопрос воспитателя: «Что вы делали?»— дети должны ответить, что они положили на нижней полоске столько кругов, сколько их нарисовано на верхней полоске, и рассказать, как они их подкладывали (круг под кругом) [7].

Вариантом задания на приложение будет подкладывание мелких игрушек к другим игрушкам. Можно предложить детям дидактические игры «Оденем куклу», «Накормим мишку», а так же задания на равенство звуков и движений.

На втором этапе организации работы по решению рассматриваемой задачи формируется представление детей о неравенстве множеств.

Поскольку дети к этому времени хорошо освоили прием приложения, то определение неравенства идет именно с помощью этого приема. Воспитатель показывает разные способы получения неравенства из равенства и наоборот: удаление и добавление одного элемента. Детям предлагаются разнообразные ситуации для определения равенства-неравенства при помощи приложения, для получения равных и неравных множеств разными способами. Можно предложить детям уже знакомые по предыдущему этапу дидактические игры. Используются так же задания на неравенство звуков и движений: хлопнуть больше (меньше), присесть больше (меньше) и т.д.

В старшем дошкольном возрасте необходимо углубить представления детей о множестве. Ставится задача обучения детей группировке множеств по определенному признаку и операциям с множествами.

В этом возрасте необходимо показать детям разнообразие множеств и различные варианты их группировки по одному или более признакам, а так же по принципу отсутствия признака. Акцентируется внимание детей на том, что у каждого множества есть общий признак – качество, свойство присущее всем элементам множества (цвет, форма, размер, назначение и т.д.) [7], [20], [21], [23].

В младшем дошкольном возрасте множества группируются по простейшим сенсорным признакам: цвет, форма, величина. Они активно познаются детьми данного возраста путем обследования окружающих предметов.

Дети среднего дошкольного возраста начинают рассматривать группировку множеств с логической точки зрения. Они знакомятся назначением, видовыми и родовыми признаками предметов: одежда, обувь, посуда, игрушки, деревья и т.д. Поэтому в этом возрасте дети способны сгруппировать множество на основе анализа основных функций элементов множества.

В старшем дошкольном возрасте возможности группировки множеств расширяются за счет усвоения детьми основных математических понятий: многоугольники, геометрические фигуры, длина, ширина, высота и т.д. Дети начинают группировать множества по понятийным признакам (множество многоугольников), анализируя структуру и свойства элементов на основе основного определения (многоугольник – геометрическая фигура с углами, сторонами и вершинами).

К концу дошкольного множества дети осваивают группировку множеств по принципу отсутствия признака (не красные, не круглые, не игрушки), а так же без опоры на наглядный материал, по представлению [20].

Еще одна задача по углублению и систематизации представлений детей дошкольного возраста о множестве – обучение операциям с множествами.

Специальных методик по обучению дошкольников операциям сравнения и дополнения множеств не существует, так как дети дополняют и сравнивают качественный и количественный состав множеств в процессе всей работы по формированию количественных представлений.

Со среднего дошкольного возрастадетей учат делить множества на части (подмножества) и устанавливать логические и количественные отношения между множеством и подмножествам.

Воспитатель подводит детей к пониманию, что в одном множестве может быть объединены несколько частей и что целое множество «больше» любой своей части. Воспитатель показывает варианты деления множества, а затем детям предлагается самим создать в множестве разные подмножества. Необходимо обращать внимание детей на количественные отношения между целым множеством и его частью (подмножеством).

В решении данной задачи используется как работа с конкретными множествами, так и элементы моделирования ситуаций разбиения множества на подмножества [7], [19] [20], [23].

Необходимо рассмотреть с детьми разнообразные варианты разбиения одного множества на подмножества на основе признаков элементов множества: назначение, цвет, форма, величина.

Т.В. Тарунтаеварекомендует в работе по данному направлению использовать разнообразные карточки с двумя-тремя полосками. На карточке множество предметов раскладывается в соответствии с выделенными подмножествами: на каждую полоску – подмножество [17].

М. Фидлер предлагает на примере множества флажков разных по форме, цвету и величине учить детей анализировать варианты разбиения на подмножества: большие и маленькие; треугольные и квадратные; синие и красные [19].

Старших дошкольников учим выделять подмножества по принципу наличия-отсутствия признака. Например, в множестве кругов выделяется подмножество красных кругов и подмножество всех остальных (не красных) [20], [23].

В старшем дошкольном возрасте формируется умение работать (разбивать на подмножества, сравнивать) с воображаемыми множествами.

Важным компонентом по развитию количественных представлений у дошкольников является обучение операции объединения множеств в одно целое. Для выполнения этой операции необходимо проанализировать признаки двух-трех множеств и найти общий для их элементов признак (свойство, качество) на основании которого множества можно объединить в единое целое. Такими обобщающими признаками могут быть цвет, форма, величина, видовой или родовой признак, а так же понятийные характеристики. Дети обязательно должны проанализировать количественные отношения: объединенное множество всегда больше, чем каждое из входящих в него множеств.

Для осознания детьми принципа объединения множеств и особенностей взаимоотношений внутри этой операции эффективно использовать наглядное моделирование.

В методике М.Фидлер в качестве материала для моделирования выступают реальные элементы множеств и цветные обручи разного размера [19]. Каждое множество располагается в своем обруче, а большой обруч показывает их объединение (рис. 1).

Рисунок 1

Можно так же использовать в работе графические модели по типу кругов Эйлера.

Следующая операция с множествами, доступная детям старшего дошкольного возраста – пересечение множеств и подмножеств.

Необходимо научить детей при анализе двух или более множеств выявить группу элементов обладающих признаками общими для всех множеств. Например,анализ множества разноцветных квадратов и множества синих многоугольников позволяет выделить группу синих квадратов являющихся пересечением этих двух множеств, т. е. элементами, обладающими признаками того и другого множества. Для осознания детьми данной операции можно использовать один из вариантов моделирования, предложенный на рисунке 2.

Рисунок 2

В старшем дошкольном возрасте детей знакомят с операцией удаления части множества. А.М. Леушина предлагает мотивировать деятельность детей организацией проблемной ситуации. Воспитатель размещает на доске множество, состоящее из красных, желтых и зеленых кругов. Дети выделяют три подмножества. Затем одна из частей удаляется. Дети определяют, что множество уменьшилось: остались только две части. Дети упражняются в этой операции на разном материале [7].

Для более глубокого осознания операции удаления целесообразно использовать моделирование. Ф. и Ж. Папи предлагают использование «графов» - графических моделей, на которых показываются основные зависимости [14] (рис. 3).

Рисунок 3