Домашняя работа как одна из форм организации учебной деятельности

Какие теоретические факты лежат в основе алгоритма сложения многозначных чисел?

Какие ЗУН необходимы для усвоения соответствующего алгоритма?

3)

а) составьте подготовительные упражнения для знакомства с алгоритмом;

б) приведите полные рассуждения учеников;

В) назовите типичные ошибки, пути их предупреждения и преодоления.

Продумайте домашнее задание по данной теме.

Методика формирования вычислительных навыков в начальной школе.

(Общие положения)

Вероятнее всего, приведенный далее материал не будет востребован в полном объеме, но поможет ответить на дополнительные вопросы экзаменационной комиссии:

Вычислительное умение - это развёрнутое осуществление действия, в котором каждая операция осознаётся и контролируется.

В отличие от умения, навыки характеризуются свёрнутым, в значительной мере автоматизированным выполнением действия, с пропуском промежуточных операций, когда контроль переносится на конечный результат.

Если вычислительный навык сформирован - значит, для каждого случая учащийся знает, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполняет эти операции достаточно быстро.

Вычислительные приемы бывают: устные и письменные.

Отличия:

устные	письменные
а) способ записи
устные вычисления в тетради оформляются как запись «в строчку»; если вычислительное умение считается уже сформированным, то в письменном виде фиксируется лишь результат вычислений	письменные вычисления оформляются в тетради как запись «в столбик»;
б) способ фиксации промежуточного результата
запоминается	записывается

Письменные приемы сложения и вычитания раскрываются вслед за устными приемами.

Выполнение письменного сложения и вычитания многозначных чисел требует от учащихся предельного внимания, аккуратной записи, а также применения целого ряда дидактических условий, которые обеспечивают успешность вычисления, в частности:

1) Проведение подготовительной работы на каждом уроке.

2) Соблюдение принципа постепенного нарастания сложности примеров.

3) Обращение к проверке полученного результата.

4) Соблюдение количественной меры решаемых примеров.

Практика показывает, что если ученик решает сразу более 4-5 примеров, то количество допускаемых им ошибок возрастает. Это связано с длительным напряжением внимания, что не под силу младшему школьнику.

5) Осуществление систематического контроля и анализа ошибок. Контроль позволяет вовремя обратить внимание на пробелы учеников и организовать целенаправленную индивидуальную работу.

Формирование вычислительных умений и навыков - одна из основных задач начального курса математики.

В стандартах второго поколения требования к овладению вычислительными умениями заложены в пункте 2.5.2 "Арифметические действия" параграфа 2.5 ("Математика") раздела "Планируемые результаты освоения обучающимися основной образовательной программы начального общего образования".[1]

В соответствии с требованиями стандартов второго поколения, любой выпускник начальной ступени образования должен уметь:

§ выполнять устно сложение, вычитание, умножение и деление однозначных, двузначных и трёхзначных чисел в случаях, сводимых к действиям в пределах 100 (в т.ч. с нулём и числом 1);

§ выполнять письменно действия с многозначными числами (сложение, вычитание, умножение и деление на однозначное, двузначное числа в пределах 10 000) с использованием таблиц сложения и умножения чисел, алгоритмов письменных

§ выделять неизвестный компонент арифметического действия и находить его значение;

§ вычислять значение числового выражения (содержащего 2—3 арифметических действия, со скобками и без скобок).

А для этого ему, в свою очередь, необходимо:

§ уметь читать и записывать числа от нуля до миллиона;

§ знать наизусть таблицу сложения и соответствующие случаи вычитания в пределах 20;

§ уметь выполнять устные вычисления в пределах 100 (и в случаях, сводящихся к вычислениям в пределах 100);

§ знать наизусть таблицу умножения и уметь в соответствующих случаях выполнять деление;

§ знать и уметь применять правила порядка действий в выражениях;

§ использовать при устных вычислениях, где необходимо, переместительный, сочетательный законы сложения и умножения, распределительный закон умножения относительно сложения;

§ свободно пользоваться математическими терминами: слагаемое, сумма, уменьшаемое, вычитаемое, разность, множитель, произведение, делимое, делитель, частное.

В стандартах второго поколения не прописано, на каком уровне должны быть усвоены перечисленные умения. Указание на это можно получить только путем анализа базовых программ прошлых поколений (в т.ч. конца ХХв.).

Этот анализ позволяет понять, что в начальном курсе математики учащиеся должны усвоить на уровне навыка:

§ таблицу сложения (вычитания) в пределах 10;

§ таблицу сложения однозначных чисел с переходом через разряд и соответствующие случаи вычитания;

§ таблицу умножения и соответствующие случаи деления.

Остальные ранее перечисленные пункты осваиваются учениками на уровне умения.

Этапы формирования вычислительных умений и навыков:

Этапы формирования вычислительных умений

Этапы формирования вычислительных навыков

1. актуализация опорных знаний (подг. работа) 2. знак-во с вычислит приемом, который может проходить разными методами (частично-поиск., показ образца и др.) 3. усвоение вычислит приема, выработка вычислит умения 4. применение вычислительных умений для решения широкого круга задач и частичной интериоризации, «свертывания» умственного действия. 5. контроль степени сформированности

1. актуализация опорных знаний (подг. работа) 2. знак-во с вычислит приемом, который может проходить разными методами (частично-поиск., показ образца и др.) 3. усвоение вычислит приема, выработка вычислит умения 4. применение вычислит умений для решения широкого круга задач 5. выполнение тренировочных упражнений с целью интериоризации, «свертывания» умственного действия и постепенного доведения его до автоматизма (т.е. уровня навыка) 6. применение вычислит навыков для решения широкого круга задач 7. контроль степени сформированности

А вот этот материал напрямую отвечает на поставленные вопросы:

1) На примере сложения чисел 538 и 684 покажите, какие теоретические факты лежат в основе алгоритма сложения многозначных чисел.

Сначала, отвечая на поставленный вопрос, приведем понятие алгоритма и, собственно, сам вычислительный алгоритм.

- Алгори́тм — набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи за конечное число действий

Алгоритм сложения трехзначных чисел
«с переходом через разряд»:

1) Пишу первое слагаемое

2) Ставлю знак действия слева внизу от первого слагаемого

3) Пишу второе слагаемое сразу в следующей строке под первым слагаемым так, чтобы разряды чисел совпадали (т.е. пишу ед под ед, десятки под дес, сотни под сотнями).

4) После записи слагаемых ставлю черту (равную по длине самому длинному слагаемому)

5) Складываю, начиная с младших разрядов:

- складываю ед-цы; если получилось двузначное число, то ед. суммы пишу в ед., а дес. подписываю сверху над дес. слагаемых;

- складываю десятки /по той же схеме, что и с разрядом единиц/;

- складываю сотни /действуя по той же схеме, что и в предыдущих разрядах/.

6) Читаю ответ.

Входит ли в алгоритм проверка результата действия?

1) Слава Богу, нет, не входит. Тем более, что проверять сложение вычитанием – абсурд с точки зрения и научной математики, и разумной методики (ведь вычитание и определяется как «действие, обратное сложению» /а как можно проверять ОСНОВНОЕ зависящим от него?/, и с точки зрения обучения операция сложения выполняется детьми легче, чем вычитание, и изучается раньше вычитания – так как же возможно проверять легкое и ранее поздним и трудным?!)

Теперь, когда известен сам алгоритм сложения многозначных чисел, можно рассмотреть теоретические факты, лежащие в основе алгоритма.

При выполнении сложения двузначных чисел «с переходом через разряд» осуществляются:

- опора на

1) смысл действия сложения

2) разрядный состав числа в десятичной системе счисления

- применение

3) названий компонентов сложения

4) таблицы сложения однозначных чисел

5) сочетательного /ассоциативного/ и переместительного /коммутативного/ законов сложения

Далее вновь следует материал, который можно считать «дополнительным»; комиссия вряд ли будет заинтересованно выслушивать эти сведения ЦЕЛИКОМ; но в качестве ответов на дополнительные вопросы материал может пригодиться.

Подробнее о каждом из перечисленных пунктов можно сказать следующее:

Сложение - это операция объединения двух непересекающихся множеств

- смущает, что «двух», ведь слагаемых может быть больше, может это слово убрать?

- согласна

- Решила остановиться на количественном смысле суммы. Как Вы думаете, порядковый смысл и определение суммы на основе измерения величин лучше добавить или и так нормально?

- думаю, оптимально так и озвучить для комиссии, что Вы в курсе существования других теорий числа, и просто приводите пример одного из таких определений – наиболее целесообразного для данного случая. Звучать в этом случае Ваш ответ может примерно так.

«В математической науке существуют несколько теорий числа (количественный /т.е. теоретико-множественный/ подход; порядковый /т.е. аксиоматический/ подход и, наконец, теория скалярных величин). Соответственно, и определений арифм. операций, в т.ч. понятия операции сложения, тоже несколько. Полагаю, для случая вида 538 + 684 наиболее целесообразно дать определение действию сложения с точки зрения количественной теории:

Сложение – это операция объединения непересекающихся множеств. Результат сложения – это количество элементов объединения непересекающихся множеств».

Сложение чисел 538 и 684 является случаем сложения многозначных чисел.

Подобные случаи изучаются в концентре «Многозначные числа»

- в концентре 1000 учащиеся знакомятся со случаями без перехода через разряд сотен, я правильно определила концентр?.– да, если Вы имеете в виду программу Моро, Волковой и пр.; а также программу Петерсон. Истомина иначе делит на концентры: 1-значные, 2-значные, 3-значные, 4-значные, 5-значные, 6-значные числа. Соответственно, «по Истоминой» данный случай попадет в К/Ц «4-значных чисел» (из-за того, что результат сложения – число 4-значное).

- Концентр определен по традиционной концепции Н.О.

– и это верно, но поскольку уже появились авторы УМК, которые осознают безграмотность данного термина (например, один из преподавателей ФНК и автор одного из УМК для «началки» Чекин А.Л.), полезно и тут продемонстрировать глубину и широту своих познаний: сообщить, что правильнее называть такой концентр «Числа, большие, чем 1000» или «Большие числа», но помнить, что многозначными с точки зрения математической науки являются все НЕоднозначные числа…

Или просто избежать данной «скользкой» темы, не затрагивать ее. Но знать этот материал все равно нужно, чтобы быть готовым ответить на возможные дополнительные вопросы членов комиссии.

Полезно также уметь отвечать на вопросы:

- какие вычислительные случаи принято относить к табличным, какие – к внетабличным, а какие – к нумерационным,

- кто изобрел таблицу сложения (Пифагор);

- назвать компоненты действия сложения;

- уметь пояснить структуру записи числа в десятичной позиционной системе счисления;

- записать буквами латинского алфавита и дать словесную формулировку сочетательного /ассоциативного/ и переместительного /коммутативного/ законов сложения.

А вот этот материал напрямую отвечает на поставленные вопросы:

2) Какие знания, умения и навыки необходимы для усвоения соответствующего алгоритма?

Данный вычислительный случай (538 + 684) принято относить к числу достаточно «трудных» для младших школьников. Это связано с тем, что:

1) он не относится нумерационным вычислениями или «к случаям, сводящимся к вычислениям в пределах 100»; поэтому вычисления обычно могут быть выполнены письменно /«в столбик»/; редкие люди и только ученики с очень высоким уровнем математической подготовленности могут выполнить подобные вычисления «в уме»; впрочем, стандарты НО того и не требуют от учащихся;

2) в процессе выполнения вычислений произойдет 3 «перехода через разрядную единицу».

Рассмотрим, какие ЗУН (знания, умения и навыки) лежат в основе рассматриваемого нами вычислительного приема.

Знания:

- названия компонентов действия сложения

- разрядного состава чисел (младшие и старшие разряды) и соотношения между разрядными единицами;

- способа поразрядного сложения, основанный на свойстве прибавления суммы к сумме, которое дети не изучают, поэтому прием поразрядного сложения вводится с опорой на наглядность – нумерационную таблицу и модели разрядных единиц.

Умения:

- читать и записывать многозначные числа;

- выполнять запись «в столбик» (т.е. в разрядную сетку клеточного поля тетрадного листа);

- применять при сложении переместительный и сочетательный законы

Навыки:

- выполнение нумерационных и табличных вычислений при сложении однозначных чисел (устно, в уме, автоматизировано)

3)

· Составьте подготовительные упражнения для знакомства с алгоритмом.

Обнаружение и ликвидация пробелов ЗУН необходимы для успешного изучения нового материала. С данной целью проводится подготовительная работа.

Подготовительная работа:

1) Чтение и запись многозначных натуральных чисел

2) Игра с галочкой (для ориентировки в клеточном поле):

- Впиши в клеточное поле число 25(V здесь означает разряд сотни).

- В следующую строчку, не пропуская клеточки, впиши число 709.

		V
		c.

3) Перед введением алгоритмов полезно вспомнить самые «забывающиеся», трудные для запоминания случаи табличных вычислений (например, 7+8; 6+7 и т.п.).

4) Повторение нумерации: разрядный состав, соотношение между разрядными единицами.

Особое место следует уделить упражнениям вида:

1 сот. – 9 дес. и 10 ед.

1 тыс. – 9 сот.9 дес. и 10 ед.

5) Устный счет со случаями, сводящимися к вычислениям в пределах 100.

(Варианты форм предложения упражнений этого вида для внесения разнообразия:
- круговые примеры со случаями, сводящимися к вычислениям в пределах 100;
- короткая «цепочка» со случаями, сводящимися к вычислениям в пределах 100).

Полезнее всего предложить пример – «ловушку», т.е. действия были выполнены неверно, а ответ получился правильный. Обязательно просить детей доказывать правильность своего ответа, обосновывая свое мнение – на примере тщательного разбора данного случая полезно также попросить детей обосновывать суждения, опираясь на изученные ими свойства действия сложения (переместительное и сочетательное).

6) Это задание может стать

· Приведите полные рассуждения учеников.

Выполним сложение «столбиком» чисел 538 и 684. Сначала запишем одно число под другим так, чтобы одинаковые разряды располагались друг под другом, слева между числами поставим знак «+», а снизу проведем черту, которая будет заменять знак «=». Исходная запись будет выглядеть так:

	6

После этого сложение производят поразрядно, начиная с разряда единиц.

Итак, складываем числа в разряде единиц: 8+4=12. Получилось двузначное число 12 (мы столкнулись со случаем «перехода через разряд»). Цифру разряда единиц этого числа (т.е. цифру 2) записываем в разряд единиц ответа, а цифру 1 переносим в следующий разряд, отмечая это записью цифры «1» над этим разрядом.

Складываем числа в разряде десятков: 3+8=11 и прибавляем к этой сумме число 1(о чем нас информирует ранее поставленная цифра): 11+1=12. Получилось двузначное число 12 (мы столкнулись со случаем «перехода через разряд»). Цифру разряда единиц этого числа (т.е. цифру 2) записываем в разряд десятков ответа, а цифру 1 переносим в следующий разряд, отмечая это записью цифры «1» над этим разрядом.

Складываем числа в разряде сотен: 5+6=11 и прибавляем к этой сумме число 1(о чем нас информирует ранее поставленная цифра): 11+1=12. Получилось двузначное число 12 (мы столкнулись со случаем «перехода через разряд»). Цифру разряда единиц этого числа (т.е. цифру 2) записываем в разряд сотен ответа, а цифру 1 переносим в следующий разряд. Следующий разряд единиц тысяч пуст, поэтому в разряд единиц тысяч ответа сразу записываем число 1. (никаких «точек» или цифр в данном случае над разрядом тысяч записывать не нужно, т.к. полученный результат вписывается в ответ сразу же, без предварительного сложения его с чем-либо)

В окончательном виде запись сложения «столбиком» выглядит так:

1 1

	6

· Назовите типичные ошибки, пути их предупреждения и преодоления.

Предупреждение типичных ошибок и их коррекция состоит в осуществлении:

а) систематического контроля и анализа ошибок, который позволяет вовремя обратить внимание на пробелы учеников и

б) организации целенаправленной индивидуальной работы, нацеленной на запоминание наиболее «проблемных» случаев вычислений и/или на развитие внимания и самоконтроля.

Типичные ошибки:

1) Забывают прибавить единицу, перешедшую из предыдущего разряда

Профилактике ошибок этого вида служит, собственно, требование надписывать цифру «1» в следующем старшем разряде. Кроме того, таким детям полезны упражнения на развитие внимания и самоконтроля.

2) Незнание табличного сложения.

контроль и анализ ошибок; организация целенаправленной индивидуальной работы, нацеленной на запоминание наиболее «проблемных» случаев вычислений.

3) Путают + и –

В случае, когда ребенок путает + и –, в индивидуальной работе целесообразно использовать задания на развитие внимательности и самоконтроля.

· Продумайте домашнее задание по данной теме.

Решить аналогичные примеры

Для «слабых»: с одним переходом через разряд

Для «сильных»: примеры со звездочками (в слагаемых *4* + 5*5 = 967)

Организация домашних заданий в начальной школе.

Какой вариант, на Ваш взгляд, более удачен?

1 вариант.

Домашняя работа по математике содействует вооружению учащихся умением самостоятельно овладевать знаниями, дает возможность учителю и родителям быть в курсе успехов школьника, помогает организовать свободное время детей дома, содействует воспитанию у них ценных качеств: трудолюбия, организованности, дисциплинированности, аккуратности.

Руководство домашней учебной работой учитель осуществляет через инструктирование учащихся и через проверку выполненной работы. Важно, чтобы ученику была ясна цель домашнего задания, тогда он может с увлечением проделать неинтересную, но нужную работу. Ученику необходимо знать, что ему задано на дом и как он будет выполнять это задание. Поэтому, предлагая задания на дом, нужно обязательно говорить, что надо сделать, и разъяснять, как это делать, переходя от подробной инструкции к более краткой.

Для правильной организации домашней учебной работы детей необходимо тесное сотрудничество учителя с семьей ученика, а также с воспитателем группы продленного дня. Надо разъяснять родителям и воспитателям, как оказывать учащимся разумную помощь в выполнении домашних заданий.

Проблема задавания домашних заданий по математике в начальных классах требует особого внимания. Учителя не всегда используют возможности выполнения домашнего задания как форму организации учебной деятельности учащихся. По этой причине домашняя работа как форма обучения не играет той роли, которая ей отведена.

Домашняя работа как одна из форм организации учебной деятельности

Домашняя работа учащихся при обучении математике необходима. В ходе домашней работы закрепляются формируемые навыки, создаются условия для тренировки детей в самостоятельном применении приобретенных под руководством учителя знаний.

Однако, изучая опыт, приходится констатировать, что одним из типичнейших недостатков в постановке обучения математике в начальных классах школы является перегрузка учащихся домашними заданиями. Перегрузка эта проявляется в двух формах:

а) задания на дом оказываются чрезмерно большими по объему;

б) задания оказываются чрезмерно трудными для детей, не могут быть выполнены ими без посторонней помощи.

Объем домашних заданий не должен быть слишком большим. Установлены примерные нормы времени на выполнение домашних заданий учащимся по всем предметам во втором полугодии I класса до 1 часа ( по-моемому эти данные устарели, сейчас офицально задавать в 1 кл. нельзя, так? На практике-то задают во втором полугодии, но по факту нельзя. Или я ошибаюсь?), во II классе - до 1,5 ч.; в III классе – до 2 ч. В первом классе в первое полугодие домашние задания разрешается давать только по чтению, в субботу домашние задания в начальных классах давать запрещается.

Чтобы избежать такого положения, необходимо, систематически работая над развитием у детей умений, связанных с вполне самостоятельным выполнением учебных заданий, время от времени проверять, какие задания могут быть ими выполнены самостоятельно и за какое время. Эта задача не требует проведения специальных проверок. Важно только иметь в виду эту цель при проведении обычных повседневных самостоятельных работ на уроке, фиксируя время, затраченное на выполнение того или иного задания, отмечая задания, с которыми успешно справляются все дети. Предлагая задание на дом, учитель должен быть уверен, что оно посильно и что оно потребует в среднем около 20 мин. Поскольку умения и навыки, связанные с выполнением самостоятельной работы, развиваются постепенно, задания на дом могут предлагаться, только начиная с того момента, когда существуют необходимые для этого условия. Иначе, как это и сейчас еще довольно часто бывает, задания на дом оказываются заданиями не для учащихся, а для их родителей.

Важен вопрос о содержании заданий для самостоятельной работы учащихся при обучении математике.

Это могут быть задания всех тех видов, которые и в классе выполняются детьми в ходе самостоятельной работы: вычисления, сравнение выражений, решение уравнений, задания геометрического содержания (в частности, работы по вырезыванию каких-либо геометрических фигур, составлению геометрических орнаментов и пр.), это могут быть и текстовые задачи и др. Однако предлагаться они должны после соответствующей подготовки в классе.

В связи с этим возникает вопрос о том, в какой связи с материалом урока должны находиться задания для домашней работы детей. Этот вопрос следует решать в каждом конкретном случае по-разному. Пусть, например, на уроке рассмотрен новый, но относительно легкий вычислительный прием, причем на уроке учителю удалось обеспечить закрепление введенного приема. Учитель убедился, что дети поняли новый материал и могут справиться с аналогичными упражнениями самостоятельно. В этом случае вполне целесообразным будет ввести в домашнее задание упражнения именно того вида, которые разбирались на самом уроке. Домашняя работа учащихся будет естественным логическим продолжением работы, проведенной на уроке, и послужит закреплению приобретенных на нем знаний. Проверка этой работы на следующем уроке создаст условия для развития, совершенствования приобретенных знаний на основе применения их в несколько измененных условиях, на упражнениях новых видов.

Иное дело, если на уроке рассматривалось впервые какое-то новое, относительно трудное для восприятия детей понятие, правило, задача, для усвоения которых требуется длительная работа под руководством учителя. В этом случае, включив сразу же новый материал в упражнения для домашней работы детей, учитель допустил бы ошибку. Оказавшись недостаточно подготовленными к сознательному выполнению задания, дети либо выполнят его формально, либо обратятся за помощью к старшим. Помощь родителей в таких случаях нередко может оказаться не только не полезной, но даже вредной, если их пояснения не совпадут с тем подходом, который был избран учителем. Очевидно, в случае, когда новый материал еще не может быть включен в домашнее, содержанием этого задания должны стать упражнения из пройденного ранее. Отбирая упражнения для домашней работы, в этом случае особенно важно подумать, что из ранее пройденного может особенно понадобиться на следующем уроке (или на ближайших уроках), что может послужить основой для лучшего понимания рассматриваемых в данное время вопросов. В этой связи можно говорить о необходимости при составлении тематического плана планировать домашнюю работу детей.

Проверка домашней работы детей необходимо всегда, но формы ее осуществления могут быть весьма различны, и решение этого вопроса также требует учета конкретного содержания проверяемой работы, той цели, которую она преследовала.

Так, если домашняя работа детей не было органически связана с материалом предыдущего урока и не связана непосредственно с задачами данного урока, то коллективная проверка ее в классе могла бы только отвлечь внимание детей от главного. В таких случаях целесообразно ограничиться проверкой фактического выполнения задания учащимися (с помощью беглого просмотра тетрадей на уроке), а правильность выполнения заданных упражнений проверить во внеурочное время.

Если же домашняя работа детей была построена на материале, представляющим интерес в свете целей данного урока, то ее проверку можно использовать в качестве своего рода мостика между тем, что говорилось на предыдущем уроке, и тем, чему будет посвящен данный урок. В таких случаях часто бывает полезным не только проверить, скажем, правильность полученных ответов, но и прослушать объяснения выполненных действий, решения задач и т.п. при проверке домашнего задания в этом случае часто должны звучать вопросы вида: «Почему?», «Как рассуждал?», «Что узнал?», «Как проверил правильность решения?» и т.п.

Довольно часто используется выборочная проверка домашней работы детей, при которой проверяется только самое важное, особенно то, что может помочь перейти к материалу данного урока.

Если домашнее задание связано органически с той частью урока, которая была посвящена закреплению и совершенствованию приобретенных ранее знаний, то оно предлагается после этого этапа урока. Наконец, если задание для домашней работы не связано с материалом данного урока, но связано с материалом предыдущего, то оно может быть предложено в начале урока. То же относится и к проверке домашней работы – ее место определяется возможностью установления связи между вопросами, рассматривавшимися при выполнении домашнего задания, и теми, которые служат предметом рассмотрения на данном уроке.

Проверка домашней работы учащихся может сочетаться с текущей проверкой знаний учащихся. В этом случае устные ответы на вопросы, позволяющие выяснить сознательность выполнения учеником работы, выполнение задания, аналогичного тому, которое предлагалось на дом, могут служить хорошим материалом для оценки уровня усвоения материала учеником.