Тема 5. СМЫСЛ ДЕЙСТВИЙ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

В основе разъяснения смысла действия сложения лежит определение суммы в количественной теории числа. А именно: суммой целых неотрицательных чисел а и b называется число элементов в объединении непересекающихся множеств А и B – таких, что a=n(A), b= п(В).

Возможность перевода этого определения на язык предметных действий по­зволяет организовать восприятие школьниками предметного смысла сложения, опираясь при этом на жизненный опыт детей, на их самостоятельную деятельность и учитывая психологические особенности данного возраста.

Наблюдая или выполняя предметные действия, суть которых сводится к объ­единению двух совокупностей предметов, ребята интерпретируют эти действия на числовом луче (графическая модель) и переводят их на язык математики, записы­вая числовые выражения или равенства (символическая модель).

Таким образом, для разъяснения действия сложения используются предмет­ные, вербальные, графические и символические модели, между которыми устанав­ливается соответствие.

Например, детям предлагается картинка, на которой Миша и Маша запускают рыбок в один аквариум, и дается задание: «Расскажи, что делают Миша и Маша».

Организуя деятельность учащихся с этой картинкой, педагог ориентируется на такую последовательность в работе:

• Дети разглядывают картинку, которая служит предметной моделью. Выполняют задание, выражая свои наблюдения в словах (вербальная мо­дель, соответствующая картинке)

Ответы учеников обычно выглядят так: «Запускают рыбок в один аквариум; за­пускают рыбок вместе в аквариум, объединяют рыбок; Миша запускает в аквари­ум 2 рыбок, Маша - 3». Ответы могут быть разными, важно, чтобы класс обратил внимание на то, сколько рыбок запускает в аквариум Миша, а сколько Маша, и что рыбки Миши и Маши объединяются вместе в одном аквариуме.

• Затем учитель обращает внимание первоклассников на записи под картин­ками (это числовые выражения) и предлагает им найти ту запись, которая, по их мнению, подойдет к картинке. Анализируя выражения и ориентируясь на числа, имеющиеся в них, дети находят подходящие (2+3 и 3+2).

Выясняется, чем похожи эти выражения (в каждом два числа и знак «+») и как можно прочитать их по-разному (2 плюс 3, к двум прибавить три, сложить числа 2 и 3). Дети упражняются в чтении выражений.

Помимо выражений к рассматриваемой картинке можно поставить в соот­ветствие определенное число. (Об этом ученики также могут догадаться, пересчи­тав предметы на ней.)

В результате проведенной работы дети записывают равенства, а также знако­мятся с названиями результата сложения и его компонентов.

После этого числовые равенства интерпретируются на числовом луче.

Можно условно выделить три вида ситуаций, связанных с операцией объеди­нения:

а) составление одного предметного множества из двух данных: такая ситуация рассмотрена выше;

б) увеличение данного предметного множества на несколько предметов. Указанием к выполнению предметных действий в этом случае может стать за­дание: «Покажи ...».

Например, учитель предлагает задание: «У Коли было 4 марки. Ему подарили еще 2. Покажи, сколько марок стало у Коли».

Дети выкладывают 4 марки (круга, квадрата, треугольника) и движением руки показывают, сколько марок было у Коли. Затем добавляют 2 марки. И движением руки показывают, сколько марок стало у Коли. Далее выясняется, как можно запи­сать выполненное предметное действие математическими знаками, используя для этой цели цифры, знаки «плюс» и «равно» (4+2=6). Целесообразно уже на этом эта­пе употреблять термины «выражение» и «равенство».

Ситуации вида б) фактически можно свести к ситуациям вида а), рассматривая марки, которые были у Коли, как одно предметное множество, а марки, которые ему подарили, как другое предметное множество.

Для разъяснения смысла сложения можно также опираться на представления детей о соотношении целого и его частей. В данной ситуации все марки Коли (це­лое) будут состоять из двух частей: марки, которые у него «были», и марки, которые ему «подарили».

Обозначая части их числовыми значениями, дети получают выражение (4+2), или целое, значение которого равно 6 (4+2=6).

в) увеличение на несколько предметов множества, равночисленного дан­ному:

В этом случае деятельность учащихся можно так же, как при увеличении данного множества предметов, организовать с помощью задания «Покажи...»

Например: «На одной тарелке 5 яблок, а на другой на 3 яблока больше. Покажи, сколько яблок на второй тарелке».

В процессе выполнения предметных действий, соответствующих ситуаци­ям вида в), у школьников формируется понятие «больше на...» («увеличить на...»), представления о котором связаны с построением совокупности, равночисленной данной («взять столько же»), и ее увеличением на несколько предметов («и еще»), то есть объединяются совокупности «столько же» и «еще».

Задание 1. Продумайте необходимые предметные действия и объясните, почему приведенные ниже ситуации можно использовать при формировании у уча­щихся представлений о смысле действия сложения.

А) С дерева сначала улетели 5 синиц, затем еще 3. Покажи, сколько синиц уле­тело с дерева.

Б) Маша съела утром 3 яблока, вечером еще 2. Покажи, сколько всего яблок съе­ла Маша.

В) У Коли было 4 марки, у Пети — на две марки больше. Покажи, сколько марок у Пети.

Г) С одного дерева улетели 5 синиц, с другого на 3 больше. Покажи, сколько си­ниц улетело со второго дерева.

Д) У Коли было 4 марки, у Пети — 2. Покажи, сколько марок было у них вместе.

Е) В гараже стояли грузовые и легковые машины. После того как З грузовые ма­шины уехали, осталось 4 легковых. Покажи, сколько всего машин стояло в гараже.

Задание 2 . Придумайте интересные ситуации, которые вы могли бы предло­жить детям для усвоения ими смысла действия сложения. Опишите, как они будут выполнять задания, опираясь на представления о соотношении целого и части.

При формировании у первоклассников представлений о вычитании можно условно ориентироваться на следующие предметные ситуации:

а) уменьшение данного предметного множества на несколько предметов (пред­меты, которые удаляются, зачеркиваются).

Рассмотрим конкретный пример: «У Маши было шесть шаров. Два она пода­рила Тане. Покажи шары, которые у нее остались». Дети рисуют 6 шаров, зачерки­вают 2 из них и показывают движением руки те шары, которые остались у Маши.

Для разъяснения смысла вычитания, так же как и сложения, можно использо­вать представления детей о соотношении целого и части. В этом случае шары, кото­рые были у Маши («целое»), состоят из двух частей: «шары, которые она подарила» и «шары, которые у нее остались».Часть всегда меньше целого, поэтому нахождение части связано с вычитани­ем. Обозначая целое и части их числовыми значениями, дети получают выражение (6-2) или равенство (6-2=4).

б) уменьшение множества, равночисленного данному, на несколько предметов.

В процессе выполнения предметных действий, соответствующих ситуациям б),у детей формируются представления о понятии «меньше на...» («уменьшить на...»), которые связаны с построением совокупности, равночисленной данной («взять столько же»), и ее уменьшением на несколько предметов («без»). В этом случае со­вокупность, обозначаемая термином «без», включается в совокупность, обознача­емую термином «столько же». Совокупность, полученная в результате вычитания, является дополнением совокупности, обозначаемой термином «без», до совокуп­ности предметов, обозначаемой термином «столько же».

Усвоение понятий «больше на...», «меньше на...» дается детям легче, если организовать их деятельность, используя предметные и символические модели. Приведем примеры возможных заданий.

Сравни картинки. Что изменилось слева направо? Что изменилось справа на­лево?

Что изменилось? Запиши ответ равенством.

• Что изменяется? Разгадай правило.

Выбери ряд числовых выражений, который соответствует данному рисунку:
8, 8-2, 6-2, 4-2 .9, 9-1, 8-1, 7-1 9, 9-2, 7-2, 5-2

в) сравнение двух предметных множеств, т. е. ответ на вопрос: «На сколько предметов в одном множестве больше (меньше), чем в другом?»

В процессе выполнения предметных действий у младших школьников форми­руется представление о вычитании как о действии, которое связано с уменьшением количества предметов.

При рассмотрении ситуации в) в практике обучения обычно учащимся предла­гается иллюстрация, по которой проводится следующая беседа:

Учитель задает вопрос:

- В каком ряду кругов больше? (Воп|5ее почти никогда не вызывает затрудне­ний.)

- На сколько в верхнем ряду предметов больше, чем в нижнем? (Вопрос также не вызывает затруднений, потому что дети ориентируются на количество предме­тов, оставшихся без пары.) Однако свой ответ первоклассники никак не связывают с выполнением вычитания, так как никаких действий с предметами они не выполняют. Для того чтобы ребята могли осознать связь вопроса: «На сколько больше (мень­ше)?» с вычитанием, нужно направить их деятельность на решение этой задачи. Опишем возможный вариант.

К доске вызываются два ученика. Каждому из них дается фланелеграф с кру­гами. У одного из мальчиков (Вити) 7 кругов, у другого (Коли) — 5 кругов. Ученики встают так, чтобы не видеть кругов на фланелеграфе друг у друга. Класс также не видит этих кругов. Учитель обращается к классу:

- Никто не знает, сколько кругов у каждого ученика на фланелеграфе, и не мо­жет пока ответить на вопрос, у кого их больше или меньше. Поступим так: мальчики, стоящие у доски, будут одновременно снимать по одному кругу. Может быть, вы­полнение этого действия поможет ответить на поставленный вопрос.

Дети приступают к выполнению задания. Наступает момент, когда один из уче­ников говорит:

- У меня нет больше кругов.

- А у тебя еще остались круги? — спрашивает учитель у другого. (Да.)
Учитель обращается к классу:

- Может быть, теперь кто-нибудь догадался, у кого кругов больше, у кого мень­ше?

- Как ты догадался? (У кого круги остались, у того больше.)

- А вот сколько кругов осталось, мы не знаем. Но я вам скажу, сколько кругов было у Вити. Может быть, тогда вы догадаетесь, какое нужно выполнить действие, чтобы ответить на вопрос: «На сколько больше кругов у Вити, чем у Коли?»

(Дети в раздумье...)

-Хорошо, давайте посчитаем, сколько кругов мне дал Коля, а сколько Витя.
(Одинаково. Коля — 5 и Витя — 5.)

-А если я вам скажу, что у Вити было 7 кругов. Тогда вы сможете ответить на вопрос: «Сколько кругов у него осталось?» или «На сколько у Вити кругов больше, чем у Коли?» (Нужно из 7 вычесть 5.)

В истинности ответа учащиеся могут убедиться, проанализировав рисунки.

Какие числовые равенства нужно записать, чтобы ответить на вопрос под каж­дой картинкой:

На сколько больше цыплят, На сколько больше черепах,

чем яиц? чем листочков?

В результате у первоклассников формируется представление о разностном сравнении чисел, которое можно обобщить в виде правила: «Чтобы узнать, на сколько одно число больше (меньше) другого, нужно из большего числа вычесть меньшее».

При сравнении совокупностей двух предметных множеств также можно опи­раться на представления детей о соотношении целого и части. Для этого необхо­димо обратить их внимание на то, что для ответа на вопрос: «На сколько больше ... (меньше)?» мы выделяем в большей совокупности такую часть предметов, которая равночисленна другой данной совокупности, и находим другую часть большей со­вокупности, т. е. выполняем вычитание.

Задание 3. Придумайте необходимые предметные действия и объясните, по­чему нижеприведенные ситуации можно использовать при формировании у детей представлений о смысле вычитания.

- В гараже стояло шесть машин. После того, как несколько машин выехало, осталось 2. Покажи, сколько машин выехало из гаража.

- Зайчику дали 5 морковок. Две он съел. Покажи, сколько морковок осталось у зайчика.

- В одной вазе 6 апельсинов, в другой на 2 меньше. Покажи, сколько апельси­нов во второй вазе.

- В одной коробке 10 карандашей, в другой 6. Покажи, на сколько карандашей в одной коробке больше (меньше), чем в другой.

Задание 4. Придумайте еще ситуации, которые вы могли бы предложить ученикам. При­ведите предполагаемые ответы детей и опишите их действия.

Для упражнений в переводе реальных ситуаций на язык математических знаков можно использовать также пары рисунков. Например:

В этом случае детям целесообразно предложить задание:

- Рассмотрите левую картинку. (Три цветочка.)

- А теперь скажите: что изменилось на правей картинке по сравнению с левой? Более коротко этот вопрос можно сформулировать так: «Что изменилось слева направо?» (Справа цветков больше. Слева 3 цветка, справа 5. Справа на 2 цветочка больше.)

Учитель предлагает детям записать это изменение на языке математики (3+2=5).

Затем можно взять пары картинок с разными предметами

В этом случае на вопрос: «Что изменилось слева направо?» дети могут отве­тить: «Слева телефоны, справа флажки», «Справа флажков больше, чем телефонов слева».

— А можно ли ответить на вопрос так: «Справа количество предметов на три больше, чем слева? — спрашивает учитель. — Давайте опишем изменения с точки зрения количества предметов».

Предлагая такое задание, учитель задает признак, по которому нужно проана­лизировать изменение, произошедшее при переходе от левой картинки к правой.

С этой же целью можно дать задание: «Пользуясь рисунком, вставьте числа в "окошки"».

При работе с этим рисунком знак «+» служит ориентиром для описания картин­ки: «Слева 3 гриба, справа — 1. Всего на рисунке 4 гриба». Названные числа рас­ставляют в «окошки», и получается равенство 3+1=4.

Возможно, некоторые дети опишут данную картинку иначе: «Справа один гриб, а слева на два больше». Тогда в «окошки» нужно вставить другие числа: 1+2=3.

Если к этому же рисунку предложена запись: - = , то описание картинки будет другим: «Слева три гриба, а справа на два гриба меньше». Математическая запись этого описания будет выглядеть так: 3-2=1.

Задание 5 . Найдите в учебниках математики для начальных классов иллю­страции, которыми можно воспользоваться при формировании у учащихся пред­ставлений о смысле действий сложения и вычитания. Составьте вопросы для беседы с детьми по этим иллюстрациям и приведите предполагаемые ответы. При­думайте ситуации с интересными сюжетами на все виды предметных действий для работы по этой теме.

Задание 6. Найдите в учебнике первого класса задания, при выполнении ко­торых дети соотносят:

предметные действия с математическими записями; математические записи с графическими моделями; вербальную модель с предметной;

вербальную модель с предметной и графической.