Методика формирования навыков устных вычислений (на примере любого из действий в любом концентре)

Методика устных вычислений:

Программа по математике требует от учителя формировать у детей твердые навыки устных и письменных вычислений. Приемы на устные вычисления основаны на знании нумерации, свойств арифметических действий, связи между результатами и компонентами действий, а так же на знании изменения результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов.

Овладение навыками устных вычислений имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение. Они помогают усвоить многие вопросы теории арифметических действий, лучшему усвоению приемов письменных вычислений, так как последние включают в себя элементы устных вычислений. Практическое значение – быстрота и правильности вычислений необходима в жизни, особенно в тех случаях, когда письменно выполнить действия не представляется возможным. Устные вычисления способствуют развитию мышления учащихся, их сообразительности, математической зоркости и наблюдательности.

Виды упражнений для устных вычислений:

1. нахождение значения математических выражений. Предлагается в той или иной форме математическое выражение, требуется найти его значение. Эти упражнения имеют много вариантов (а. найдите разность чисел 100 и 9; б. найдите значение выражения с – k, если с = 100, а k = 9).

2. сравнение математических выражений.

3. решение уравнений.

4. решение задач.

Определение: Вычислительные умения – это развернутое осуществление развернутого арифметического действия, в котором каждая операция осознается и контролируется. Вычислительные умения предполагают усвоение вычислительного приема, как систему операций, выполнение которых позволяет найти результат арифметического действия.

Вычислительный навык характеризуется свернутым в значительной мере, автоматизированным выполнением действия с пропуском промежуточных результатов, при этом контроль переносится на конечный результат.

Таким образом, вычислительный навык, это полностью или частично автоматизированное выполнение действия.

В начальной школе большое внимание уделяется формированию у детей вычислительных навыков, как устных, так и письменных.

Рассмотрим характеристику устных вычислений:

1. промежуточный результат запоминается, а не записывается;

2. устные вычисления не имеют, как правило, строгого алгоритма;

3. устные вычисления входят в письменные;

Характеристика письменных вычислений;

промежуточный результата записывается, поэтому предлагается специальная форма записи – столбик (углом);
выполняется по строгому алгоритму;

В основе формирования навыков вычислений в начальной школе лежит теория поэтапного формирования умственных действий (Гальперин и Талызина). Бантова М.А. опираясь на эту теорию разработала теорию формирования вычислительных умений и навыков у учащихся начальных классов.

Бантова М.А. выделила три этапа формирования вычислительных умений и навыков:

I. этап – подготовка к введению вычислительного приема.

а) на этом этапе учащиеся усваивают каждую операцию, входящую в вычислительный прием (до уровня навыка);

б) кроме того, на этом этапе дети усваивают теоретическую основу вычислительного приема, если он дается в явном виде;

Пример: подготовка к введению вычислительного приема вида 9 + 5 (таблица сложения однозначных чисел с переходом через разряд).

9 + 5 = (9 + 1) + 4 = 10 + 4 = 14 (+)

1 4

Т.о. в этом вычислительном приеме можно выделить следующие операции:

1. вспомогательная операция – найду число, которое дополняет первое слагаемое до 10;

2. вспомогательная операция – 5 = 1 + 4;

3. основная операция – 9 + 1 + 10;

4. основная операция – 10 +4 =14;

Опишем подготовительный этап:

1. умение дополнять любое число до 10;

2. знание состава любого однозначного числа;

3. знание табличных случаев сложения со значением суммы 10;

4. умение решать примеры вида 10 + а;

Рассмотрим вторую часть подготовительной работы. Для этого выделим теоретическую основу данного вычислительного приема:

- сочетательное свойство сложения, в некоторых случаях – обобщенное свойство сложения, в некоторых случаях свойство прибавления суммы к числу.

Замечание: знание может применяться как в явном виде (если оно изучалось), так и не в явном виде.

Рассмотрим сочетательное свойство сложения: (а + в) + с = а + (в + с). При сложении соседних слагаемых можно заменять их суммой.

II. этап – знакомство с вычислительным приемом. На этом этапе учащиеся выделяют систему операций, которые надо выполнить чтобы найти ответ. На этом этапе вводится внешнее речевое проговаривание, при этом каждая операция выделяется, осознается и проговаривается (1 урок).

При введении вычислительного приема выделяют следующие шаги:

1. целеполагание (завершение сообщением темы, выделением темы или вопросом, на который надо ответить).

Содержание шага – тему может сообщить и сам учитель, но гораздо эффективнее использовать проблемное изложение. Мы будем рассматривать варианты создания проблемных ситуаций.

а) учащимся предлагается выражения на карточках, среди которых встречается новый случай. Новые случаи учитель выделяет в отдельную группу. Затем задается вопрос «Почему вам было трудно решить эти примеры, чем они отличаются от других?» После анализа дети формулируют либо тему урока, либо вопрос на который они будут отвечать;

1+5 4+2 9+5 7+2 7+6 8+8 5+3

? ? ?

б) на доске выражения, их надо разбить на две группы, потом анализ, потом выход на тему;

в) детям предлагается каждому индивидуально решить примеры, там где они сомневаются или затрудняются надо поставить вопросительные знаки. Затем в процессе фронтального (группового) обсуждения выделяются выражения, которые вызвали затруднения;

г) дети все решили и сами учителю объяснили;

д) на доске много выражений, и среди них только одно на новое знание;

2. введение приема с использованием материальной модели (не всегда может реализоваться).

После постановки темы или вопроса можно идти двумя путями:

1) подводящий диалог

2) побуждающий диалог

Мы рассмотрим подводящий диалог. Учитель предлагает сначала с использованием предметных моделей (палочки, пучки палочек) решить этот пример. Сначала добавим один, получится десяток, потом прибавляем оставшиеся четыре.

3. использование знаковой модели

- попробуем это записать. Что мы сделали сначала?

- добавили 1 до 10……………………………………….

Длинная развернутая запись.

4. внешнее речевое проговаривание. Учитель дает полное проговаривание с выделением всех операций.

5. первичное закрепление. Ученики выполняют действие по образцу, полностью проговаривают все операции внешней речи.

III. этап – закрепление приемов и формирование вычислительного навыка.

1. на этом этапе происходит интероризация выполняемых действий. Бантова М.А. выделяет несколько шагов в этом процессе:

- первый шаг – частичное свертывание выполняемых операций – ученик про себя проговаривает вспомогательные операции, а вслух проговаривает основные.

- второй шаг – стадия полного свертывания выполняемых операций – ученик про себя проговаривает основные операции, а вслух называет ответ.

- третий шаг – стадия предельного свертывания – ученик сразу называет ответ (как правило в табличных случаях).

2. для формирования навыка необходимо выполнить большое количество упражнений. В методике выделяют прямой и косвенный пути формирования ЗУНов.

Мы рассмотрим их характеристику по Аргинской И.И.

Прямой путь формирования ЗУНов заключается в использовании большого количества упражнений или заданий, предусматривающих формирование ЗУНов по математике, которые выполняются на основе заданного образца или данного в готовом виде алгоритма решения. Т.о. основным видом деятельности детей является репродуктивная деятельность.

В отношении вычислительных навыков этот путь состоит в выполнении большого числа однотипных тренировочных упражнений, основная и осознаваемая цель которого – формирование вычислительных навыков; основное задание звучит так: «Реши примеры».

При таком пути основное внимание уделяется таким показателям навыков как правильность и автоматизм.

Пример: реши примеры

8-3 4+3 6+1 7+2

5+4 7-2 9-4 3+6

Косвенный путь – во главу угла ставит продвижение в развитии школьника, что требует продуктивной деятельности детей, использование их творческого потенциала при выполнении задания.

В отношении вычислительных навыков реализация этого пути предполагает включение заданий вычислительного характера в другие виды заданий, которые напрямую целевой установкой не связаны с формированием вычислительных навыков.

Однако, в процессе их выполнения ученики выполняют достаточное число вычислений. В процессе таких заданий учащиеся осознают необходимость применения определенных теоретических знаний, у них развивается мышление и другие психические процессы.

При таком подходе основное внимание (особенно в начале) уделяется формированию таких показателей навыков как осознанность и правильность.

Этот путь более длительный, чем прямой.

Пример 1: реши примеры

8-3 4+3 6+1 7+2

5+4 7-2 9-4 3+6

а) выпиши в первый столбик выражения значение которых можешь найти по таблице сложения;

5+4

4+3

7+2

б) во второй столбик запиши выражения на вычитание, реши их, рядом запиши равенства из таблицы сложения, которые необходимы для вычитания

8-3 =5 5+3=8

7-2=5 5+2=7

9-4=5 5+4=9

в) в четвертый столбик запиши оставшиеся примеры, реши их и запиши ответ

6+1=7

3+6=9

Пример 2: к заданиям, относящимся к косвенному пути относят различные головоломки, закономерности, а так же деформированные примеры.

6 + . * . = 2 – восстановите пример (равенство).

3. На этом этапе необходимо реализовать индивидуальный и дифференцированный подход

В традиционной программе идет дифференциация по объему или по степени сложности.

В системе Аргинской это достигается за счет выбора детьми возможности использования таблицы, а так же за счет наличия заданий разного уровня внутри одного общего задания.

4. При изучении этой темы необходимо формировать у детей КОД, что связано с формированием самого действия контроля, формированием самоконтроля и самооценки. Формируя действия контроля необходимо учитывать, что контроль бывает: итоговый, пошаговый, предваряющий. В традиционной программе в основном итоговый.

Необходимо обращать внимание на уяснение того, что привело к ошибке, как надо действовать, чтобы ее не было.

Целесообразно выписывать те равенства в которых были допущены ошибки.

Рассмотрим некоторые приемы организации самоконтроля и самооценки:

а) решая примеры дома или в классе ученик рядышком ставит вопросительный знак (сомневаясь в ответе);

У: Где вы сомневались?

б) запиши в тетради только те примеры, в значении которых ты сомневаешься, реши их, используя любой способ. Если ты уверен во всех примерах, подойди ко мне, возьми карточки со сложными примерами.

5. Целесообразно использовать парную или групповую работу на этом этапе.

Вычислительный навык – высокая степень овладения вычислительными приемами. Приобрести вычислительные навыки – значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро.

Полноценный вычислительный навык характеризуется:

- правильность – ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, то есть правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием.

- осознанность – ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Это для ученика своего рода доказательство правильности выбора системы операций. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он решал пример и почему можно так решить.

- рациональность – ученик сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный прием, то есть выбирает те из возможных операций, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Разумеется, что это качество навыка может проявляться тогда, когда для данного случая существуют различные приемы нахождения результата, и ученик, используя различные знания, может сконструировать несколько приемов и выбрать более рациональный. Как видим, рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.

- обобщенность – ученик может применить прием вычисления к большому числу случаев, то есть он способен перенести прием, вычисления на новые случаи. Обобщенность так же, как и рациональность, теснейшим образом связана с осознанностью вычислительного навыка, поскольку общим для различных случаев вычисления будет прием, основа которого – одни и те же теоретические положения.

- автоматизм (свернутость) – ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбор системы операций.

7.2. Методика формирования навыков устных вычислений «+» «-»

В пределах 100

Вычислительный навык – это полностью или частично автоматизированное выражение действия.

В начальной школе большое внимание уделяется формированию вычислительного навыка как устного, так и письменного.

Характеристика устных вычислений: промежуточный результат записывается; не имеет строго алгоритма; входит в состав приёмов вычисления.

В основе формирования в.н. в начальной школе – теория поэтапного формирования умственных действий (Гальперин, Талызина). Бантова М.А. , опираясь на эту теорию, разработала теорию формирования в.у. и н. у детей нач.кл., она выделила 3 этапа формирования в.у. и н., которые мы рассмотрим непосредственно при введении в.п.

Вычислительный приём – это система операций, которую надо выполнить над числами, чтобы получить результат примера.

Задачи изучения темы: 1. Сформировать прочные, доведённые до автоматизма навыки +- в пределах данного концентра.

2. сформировать навык вне табличных вычислений в пределах данного концентра.

3. ввести необходимые теоретические знания.

4. формировать самоконтроль и самооценку.

Анализ различных подходов к изучению темы:

Различия в программах:

- +-изучаются раздельно

- имеются различия в отдельных вводимых приёмах вычислений, что обуславливается различными теоретическими знаниями (Н. 12-5=(12-2)-3=10-3=7 или 12-5=(10-5)+2=7 или 12-5=7, т.к. 12=5+7)

(т.о. вычитание суммы из числа, вычитание числа из суммы, опора на таблицу сложения, метод подбора)

- различия в используемых моделях

- различия в вводимых таблицах(вводятся разные таблицы в различном порядке: на «-» не вводится (Аргинская), по частям, сразу вся таблица)

- различия в методике введения таблиц (различные знания для введения таблиц: «-»Аргинская на основе таблицы «+»)

- использование прямого или косвенного (Аргинская) пути формирования навыка

Методика изучения устных случаев вычитания в пределах 100 по программе Петерсон.

Порядок изучения темы: - разрядный состав двузначного числа; табличные случаи -+ (40+20, 50-30)

- прибавление числа к сумме (34+20 34+2 26+4)

- вычитание числа из суммы (48-30 48-3 30-6)

- прибавление суммы к числу (47+5)

- вычитание суммы из числа (42-25)

- прибавление суммы к числу; вычитание суммы из числа (40+16 40-16)

- прибавление суммы к числу; вычитание суммы из числа (45+12 45-12)

1 класс с.82 введение приёма «12-7» тема в учебнике звучит «Таблица сложения»

Целеполагание Решение примера на модели Запись способа решения примера(знаковая модель «длинный пример») Внешнеречевое проговаривание Анализ вида примера с распространением его на новые случаи Закрепление

12-7 - Быстро дайте ответ. Кто не смог быстро? Как умеете? (по таблице) Если нет таблицы + и вы её забыли? Какой возникает вопрос? (можно ли без ТС быстро решать примеры такого вида?) Сегодня познакомимся с новым способом решения. - Как предложите? (по модели) 12 – это и : -десяток и две единицы 7 – это :::. – семь единиц 12 – 7 = : - :::.= - - ::.= :::::-::.= ::. -Как удобно вычесть сначала? - Что обозначает , почему : обвела 2 раза? -Что получили? (в уменьшаемом треугольник, а в вычитаемом 5 единиц) - Дальше как вычесть? (треугольник – это 1 десяток- это 10 единиц, из 10 единиц – 5 единиц получим 5 единиц) - Как вычисляли? Запишите числами. А как в учебнике?12-7=10-5=5 2 5 7 представили в виде чисел 2 и 5. Почему 2? (удобно вычесть до 10) - Какой вопрос ставили в начале урока? Можно ответить на этот вопрос? - Опираясь на нашу запись, кто может рассказать как мы решали пример? (мы вычитали количество единиц, получив круглое, затем из круглого вычли другое число). Сформулируйте тему урока. Сравните мою тему со своей. - Какие примеры вы можете решить, используя такой способ решения? 14-3 Этот пример подойдёт? Почему? Составьте свои примеры с вычитанием до 10 (единиц) Проговариваем по цепочке, к каждому примеру делаем длинную запись.

Общие вопросы методики обучения алгоритмам письменных вычислений. Формирование письменных вычислительных навыков учащихся.

Вычисления разбиваются на устные и письменные.

Характеристика ПВ:

1. промежуточные результаты записываются, поэтому появляется специальная форма записи;

2. они выполняются по определенному алгоритму;

3. в своем составе они содержат устные вычисления;

4. начинают вычисления кроме деления с единиц низших разрядов;

5. основное внимание при формировании навыков ПВ уделяется введению усвоения алгоритмов;

Под алгоритмом в математике понимается точное понятное предписание о том, какие действия и в каком порядке надо выполнить, чтобы решить любую из данного класса однотипных задач.

Свойства алгоритмов:

1. детерминированность;

2. дискретность;

3. понятность;

4. результативность;

5. массовость;

Алгоритмы могут предназначаться как исполнителю – человеку, так и исполнителю – машине.

Известны различные способы записи алгоритмов:

1. словесные

2. с помощью формулы

3. табличное

4. на языке блок-схем

5. на алгоритмическом языке

Алгоритмы ПВ могут быть записаны с помощью словесной записи или на языке блок-схемы. В зависимости от порядка выполнения действий различают следующие виды алгоритмичных процессов:

· линейные;

· разветвляющиеся;

· циклические;

Рассмотрим в качестве примера один из алгоритмов письменных вычислений: сложение двузначных чисел

Блок-схема (см. тетрадь 04.02.08 л№9)

Видим, что рассматриваемый нами алгоритм является разветвляющимся, циклическим. Полная словесная формулировка даже для этого алгоритма будет достаточно большой, поэтому часто предлагают краткую формулировку:

· складываю единицы

· складываю десятки

Сущность каждой операции объясняется устно.

Таким образом, алгоритмы ПВ – это сложные алгоритмы, состоящих из большого количества шагов с учетом определенных условий.

8.2 вычисления разбиваются на устные и письменные. Характеристика письменных вычислений:

1. Промежуточные результаты записываются, поэтому появляется специальная форма записи «в столбик» (для деления «углом»);

2. Они выполняются по определенному алгоритму;

3. В своем составе они содержат устные вычисления;

4. Начинают выполнятся, кроме деления, с единиц низшего разряда.

Основное внимание при формировании письменных вычислений уделяется введению и усвоению алгоритмов. Под алгоритмом в математике понимается «точное понятное предписание о том, какие действия и в каком порядке нужно выполнить, чтобы решать любую из данного класса однотипных задач.

В начальных классах рассматриваются письменное умножение (III концентр), письменное деление (III концентр).

Виды алгоритмов письменного умножения.

Умножение на однозначное число	Умножение на многозначные числа
Умножение на разрядные числа	Умножение на двузначные числа	Умножение на трехзначные числа

Виды алгоритмов письменного деления.

Деление на однозначное число	Деление на многозначные числа
Деление на разрядные числа	Деление на двузначные числа	Деление на трехзначные числа

Рассмотрим более подробно один из видов алгоритмов письменного умножения: умножение трехзначных чисел на однозначное.

1) Задачи изучения темы:

А. Познакомить с новым вычислительным приемом.

Б. Сформировать умения и навыки связи с осознанным усвоением алгоритма по конкретному приему.

2) Анализ различных подходов к изучению темы.

По программе Аргинской И.И. алгоритм письменного умножения на однозначные числа рассматриваются одновременно на множестве двузначных и трехзначных чисел. Это, по мнению автора, облегчает школьникам осознание общих положений, лежащих в основе этих операций. При умножении на однозначное число больше внимания уделяется к основным позициям:

- поразрядное выполнение операций;

- использование таблицы умножения при выполнении операций в любом разряде.

Алгоритмы дети составляют самостоятельно после выполнения соответствующих операций. Поиск этих алгоритмов проходит через анализ различных вариантов получения значения произведения.

По программе Петерсон Л.Г. в первый раз появляется письменной умножение при изучении темы умножение круглых чисел. Потом идет знакомство с умножением трехзначных на однозначное на основе знаний умножения двузначных чисел на однозначные. На одном уроке рассматриваются разные приемы умножение: умн. на однозначное число без перехода через разряд, умн. на однозначное число с переходом через разряд, умн. на однозначное число, когда I множитель содержит нули в середине и запись, которых оканчивается нулем.

3) рассмотрим методику изучения алгоритма письменного умножения на однозначное число по традиционной программе.

Задачи изучения темы:

· Познакомить с новым письменным приемом умножения на однозначное число.

· Сформировать умения и навыки умножения на однозначное число.

· Сформировать умения и навыки связи с осознанным усвоением алгоритма.

Теоретическая основа данного приема: свойства умножения суммы на число.

Порядок изучения темы.

№ урока	Учебник, стр.	Прием умножения (пример)	Название приема.
1.	3 кл. II ч. с. 79	* 2	Умн. трехзначного на однозначное без перехода через разряд
2.	С. 80	* 3	Умн. трехзначного на однозначное с переходом через разряд
* 4	Умн. двузначного на однозначное с двумя переходами через разряд
3.	С. 81	862 3383	Умн. однозначного на двузначные и трехзначные числа
4.	4 кл. Iч. с. 80	* 3	Умн. многозначных чисел на однозначное с переходом через разряд
5.	С. 81	* 6	Умн. многозначных чисел, содержащие нули в середине
6.	С.82	* 7	Умн. чисел, запись которых оканчивается нулями.