Методика преподавания, или поиграем в математику

Эту главу читатель, не занятый в сфере образования, может смело пропустить. Она будет больше интересна учителям и отчасти родителям, задумывающимся об образовании их чад. Если вы все же наберетесь терпения и прочитаете её до конца, то будете иметь более-менее полное представление о том, чем американцы занимаются в школе.

Моя собственная дочь по прибытии в Америку пошла в седьмой класс в Johnston Middle School. Это одна из лучших школ. А по математике она была определена в так называемый Advanced Placement (сокращенно АР) класс. Считается, что АР классы для одаренных и увлеченных детей, где предмет преподается по более углубленной программе, нежели в обычном классе. Я очень внимательно следил за её учебной программой. Так вот, то, чем они занимались на уроке математики, было таким примитивом, что я даже не стану утомлять читателя подробностями. Это примерно уровень третьего-четвертого класса российской школы. И это в сильном классе. А что же там делается в обычных?

Более-менее нормальная математика начинается в восьмом классе. Я не оговорился — не алгебра и геометрия, а именно математика, так как никакой алгеброй там ещё не пахнет. Одна из моих российских коллег — Катерина — как раз ведет математику в восьмом классе в Fondren Middle School. По её словам я могу достаточно объективно судить о том, что там делается.

Год начинается с изучения отрицательных чисел, и решаются примеры на уровне:

5 + (–8) = ?

Причем сидят ученики на этом очень долго, так как их воображение отказывается воспринимать отрицательные числа. Как говорит сама Катя, у них нет чувства чисел. Наиболее сложное для них — вычесть отрицательное число:

5 – (–3) = ?

Или сложить два отрицательных:

–5 + (–3) = ?

Решая последний пример, они получают либо 2, либо –2, но только не –8.

После этого начинается изучение дробей и действий с дробями. Наиболее сложным заданием по этой теме является пример типа нижеследующего:

(5*1/3)-(2*5/6) = ?

Справляются с этим заданием не более 30 процентов учащихся.

Следующий этап — уравнения. Самые простейшие, типа

25х = 100

Что интересно, они решают такие уравнения не так, как в России. Я сам неоднократно наблюдал это. Мы, чтобы найти х, делим 100 на 25, что кажется нам вполне логичным. Ведь х в 25 раз меньше, чем 100. Американцы делают это гораздо круче. Чтобы найти х, они делят обе части уравнения на 25. В результате слева остается х, а справа 4.

Круто, правда? Это может показаться очень грамотным с математической точки зрения, но совершенно не способствует пониманию учениками сути производимых действий. Они не успевают осознать, что х в 25 раз меньше 100, механически выполняя показанные учителем операции.

Следующий этап — проценты. Около месяца восьмиклассники учатся рассчитывать, сколько процентов составляет, например, 15 от 60. Причем опять-таки делают это чисто механически. Они не делят 15 на 60, чтобы осознать, что 15 составляет одну четверть от 60. Большинство из них и поделить-то это не могут без калькулятора. Просто механически выполняют операции по данному учителем шаблону.

Будучи практически ориентированными, на математике они учатся строить разные графики. Нет, не функции, которые даются не ранее девятого класса. Просто учатся откладывать точки с экспериментальными данными на оси координат. Наиболее сложным является построение так называемого Circle Graph — круга, где процентное содержание составляющих компонент представлено в виде сегментов. Для выполнения этого задания им нужно рассчитать, сколько градусов будет каждый сегмент, путем умножения процентной доли на 360 градусов. Несмотря на очевидную простоту, далеко не все восьмиклассники справляются с этим заданием.

Вся вышеперечисленная программа рассчитана на полгода. Апофеозом этого курса является решение следующего уравнения:

5 (х + 3) – 7 = 3х + 12

Но это, по словам Кати, уже является для них высшим пилотажем, и справляются с этим заданием не более 10 процентов её учеников.

По словам другого нашего общего коллеги — Камиля Сафина, преподающего математику в Fonville Middle School, ни один из его учеников даже при наличии в руках калькулятора не способен ответить на вопрос — сколько яблок можно купить на восемь долларов, если стоимость одного яблока 1 доллар 53 цента. Если бы одно яблоко стоило два доллара, то есть цифры делились без остатка, то ученики знали бы ответ. А вот реальный вопрос с реальными цифрами вводит их в полнейший ступор.

Закончив таким образом обучение в Middle School, ученики переходят в High School, где ещё раз выясняется, что математики они не знают.

Могу поклясться чем угодно, что более половины моих учеников в девятом классе Westbury High School не могли выполнить простейшее действие типа

47 + (–68) = ?

Что касается математики, то программа High School не сильно отличается от программы Middle School. Теоретически самым верхом в обязательной программе по математике являются логарифмы и решение квадратных уравнений. На практике же большинство школ и учителей либо полностью отказываются от логарифмов, либо просто формально объясняют, что это такое.

Когда я в конце учебного года спросил своих учеников одиннадцатого класса, чему равен десятичный логарифм ста, то лишь двое из восьмидесяти опрошенных дали правильный ответ. Это при том, что вопросу предшествовало краткое объяснение, что такое логарифм.

Научиться решать квадратные уравнения среди учеников обычных классов могут процентов 10—20. Как я уже упоминал ранее, таких предметов, как тригонометрия или дифференциальное исчисление, в обязательной программе не предусмотрено совсем.

Умножение вприсядку

Однако главное даже не в том, что американские ученики проходят, а в том, что они усваивают. Более половины учеников обычных классов не могут справиться даже с элементарными математическими заданиями, несмотря на то что проходили это неоднократно, начиная с класса шестого и кончая одиннадцатым. А это уже говорит о том, что дело здесь не только и не столько в программе, сколько в методике и методологии обучения.

Основной целью обучения на уровне начальной и средней школы не является выработка каких-либо навыков и умения мыслить. Задача — дать общее представление о материале, суть которого сразу же; после; написания контрольной работы благополучно забывается. Вместо скучного логического мышления ученикам даются игровые шаблоны-схемы, с помощью которых они должны решать те или иные примеры и задачи. Никакого понимания производимых действий при этом нет. Впоследствии для решения другого типа задач им даются другие шаблоны. Эти шаблоны наслаиваются один на другой. В результате в головах обучаемых невообразимая каша, представляющая собой какую-то смесь обрывочных знаний и отдельных кусков всех этих схем-шаблонов.

Например, каждый американский ученик с начальной школы знает поговорку Please Excuse My Dear Aunt Sally. Этот шаблон подсказывает порядок выполнения математических операций. Первое слово please начинается на ту же букву, что и parentheses — «скобки». Это означает: в первую очередь нужно делать то, что в скобках. Далее следует степень, потом умножение, деление, сложение и вычитание. Зазубрил эту поговорку — и никакой тебе скучной логики. При этом они не понимают, что умножение и деление имеют ту же силу. Если они видят пример:

6 ÷ 3 × 5 = ?

то сначала умножат 3 на 5, а потом разделят 6 на 15 и получат ответ 0,4 в строгом соответствии с шаблоном-поговоркой.

Думать же логически и разбираться в задаче они не приучены. Таких любимых нами в детстве задач, как «Из пункта А в пункт Б вышел поезд», в их учебной программе нет совсем. Я очень сомневаюсь, что даже американские ученики старших классов смогут решить такие задачи. Да им этого и не нужно.

Вместо логического мышления дети в школе обучаются играм и манипуляциям. Они на сравнительно короткий срок (как правило — до конца урока, в лучшем случае — до ближайшей контрольной) обучаются простым операциям-схемам, суть которых — что куда и как перенести или передвинуть. Вот, например, как их учат переводить метры в сантиметры.

Перед учениками шкала, на которой расположены приставки единиц измерения, начиная от меньших слева, заканчивая крупными справа: милли, санти, деци, один, дека, гекто, кило

Каждой единице соответствует ячейка. Таким образом, между метром и сантиметром две ячейки. Чтобы превратить, например, 5,372 метра в сантиметры, нужно перенести запятую на две ячейки. Теперь самое главное — нужно решить, в какую сторону переносить. Инструкция такова — все время переноси в сторону, обратную движению. По нашей шкале от метров к сантиметрам мы движемся справа налево, значит, запятую нужно перенести слева направо. Получаем 537,2 см. Осознать, что в метре 100 см и соответственно значение, выраженное в см, будет в сто раз больше, для них слишком сложно. Очень немногие могут понять это и использовать на практике.

Читатель мне не поверит, но большинство учеников 11-го класса постоянно путаются, переводя граммы в килограммы и наоборот. Если они перепутали, в какую сторону перенести запятую, то вполне могут написать:

34,5 г = 34500 кг

совершенно не смутившись полученным результатом.

Так они и переносят знаки слева направо и справа налево, не понимая смысла выполняемых операций. Учителя даже и не пытаются объяснить студентам, в чем их истинный смысл. Отчасти потому, что многие учителя в свое время сами обучались по подобным методикам.

Для лучшего усвоения материала учителей принуждают использовать «передовые методы обучения». Суть одного из них, на презентации которого мне пришлось побывать, заключается в том, что, совершая вышеописанное действие, ученики одновременно совершают физические движения. Они хлопают в ладоши, прыгают, трясут вытянутыми вверх руками и в одном случае (при делении), приседая, опускают вниз левую руку, а в другом — правую. Очень хорошо делать это все под музыку. Здорово? Здорово! Если бы не одно обстоятельство. Все это происходит не в детском саду и даже не в начальной школе. Такие методики навязываются на всевозможных тренингах учителям средней школы.