Трубы при ламинарном течении

Рассмотрим течение вязкой жидкости, смачивающей стенки, по горизонтальной трубе постоянного сечения, т.е. ламинарное течение (рис. 4.8). Т.к. жидкость смачивающая, то слой молекул, прилегающих к стенке трубы, прилипает к ней и остается неподвижным. Следующий слой молекул под действием силы давления смещается относительно стенок. Но, т.к. движению молекул противодействуют силы внутреннего трения, скорость смещения этого следующего слоя невелика. Каждый последующий слой, смещаясь относительно предыдущего слоя, движется по отношению к стенке трубы с постоянновозрастающей скоростью.Наибольшее значение скорость имеет в центре трубы.

Распределение скорости по сечению трубы носит параболический характер:

,

Рис. 4.8

где радиус трубы, радиус рассматриваемого слоя,

коэффициент вязкости жидкости, длина трубы, и – давление в начале и конце трубы, соответственно.

Наибольшее значение скорость имеет в центре трубы:

, .

Градиент скорости, наоборот максимален в пристеночной части трубы:

.

Течение реальной жидкости

по горизонтальной трубе постоянного сечения.

Закон Гагена-Пуазейля.

При течении жидкости по горизонтальной трубе постоянного сечения (рис. 4.9) потенциальная энергия её частиц расходуется на работу по преодолению внутреннего трения. Поэтому статическое давление вдоль трубы постепенно падает. Для того чтобы обеспечить течение жидкости, необходимо в начале трубы создать давление, превышающее падение давления вдоль всей трубы.

Рис. 4.9

Из рисунка видим, что давление в трубе постоянного сечения понижается равномерно. Если соединить уровни жидкости в манометрических трубках, установленных вдоль трубы, то получится прямая линия. Если её продлить до основного сосуда, то она разделит высоту столба жидкости на две части: и . Высота соответствует начальному статическому давлению, а высота – гидродинамическому давлению, обеспечивающему скорость течения жидкости. Крутизна этой кривой (тангенс угла наклона) характеризует продольный градиент давления:

. . Градиент давления показывает, на сколько изменяется давление при изменении длины трубы на единицу.

Скорость течения жидкости определяется по формуле (4.11), но ламинарный характер течения определяется средней скоростью.

Пуазейль опытным путем установил, что средняя скорость течения жидкости по горизонтальной трубе постоянного сечения определяется как

– закон Пуазейля.

Количество жидкости, протекающей через поперечное сечение за время Δt,

.

При , определяется формулой (4.12), а .

Следовательно,

закон Гагена-Пуазейля.

Введем величину и назовем её гидравлическим сопротивлением. Тогда закон Гагена-Пуазейля запишется как

.