Частотная характеристика ЛС с постоянными параметрами
Для описания ЛС в частотной области удобно использовать специальный класс входных последовательностей.
x(n)=e^(-jωn) , -∞<n<∞
Если такая последовательность поступает на вход ЛС с импульсной характеристикой h(n), то выходная последовательность y(n) будет иметь вид :
∞
y(n)=∑h(m)·e^[jω(n-m)]= e^(jωn)·H(e^(jω))
m=-∞
Т.о., для выбранного класса x(n), отклик совпадает с входной последова-тельностью с точностью до комплексного множителя H(e^(jω)). Именно он служит частотной характеристикой системы:
∞
H(e^(jω))=∑h(m)·e^(-jωm) – частотная характеристика системы с
m=-∞ постоянными параметрами.
h(m) – импульсная характеристика, при замене её на x(m) , получим :
∞
Х(e^(jω))=∑х(m)·e^(-jωm) – получили комплексный спектр входной
m=-∞ последовательности.
∞
y(n)= ∑x(n)h(n-m)– выходная характеристика.
m=0
Y(e^(jω))= Х(e^(jω))· H(e^(jω)) – в частотной области спектр выходной последовательности определяется произведением частотной характеристики на спектр входной последовательности.
Частотная характеристика линейной системы
С постоянными параметрами (ЛПП) 1-порядка
Пусть y(n)=x(n)+Ky(n-1) – разностное уравнение.
По отношению к полному разностному уравнению не хватает слагаемого, которое x(n-1) = 0
Вводим начальное условие : y(-1)=0.
Отсчеты появляются после того, как появляется выходная последовательность.
Kⁿ , n≥0
h(n)= – импульсная характеристика
0 , n<0
Частотная характеристика :
∞ ∞
H(e^(jω))= ∑ Kⁿ ·e^(-jωn)= ∑ Kⁿ ·e^(-jωn)=[1+ K·e^(-jω)+K²· e^(-2jω)+…]=
n=-∞ n=0
=[(1- K·e^(-jω))/ (1- K·e^(-jω))] ∙ [ ] = [1/(1- K·e^(-jω))] · [1- K·e^(-jω)+ K·e^(-jω)-
-K²· e^(-2jω)+ K²· e^(-2jω)+ …]= 1/(1- K·e^(-jω))
Þ H(e^(jω))= 1/(1- K·e^(-jω)) – частотная характеристика
Модуль : ÷ H(e^(jω))÷=[(1+K²-2Kcosω)½] ‾ ¹
 |
Это АЧХ фильтра нижних частот :
В нуле – max
π – min ; 2π – max
Графики частотной характеристики ЛПП 2-порядка позволяют сделать вывод, что подобная система является цифровым резонатором.
Дискретный ряд Фурье
Т.к. частотная характеристика дискретной системы является периодической функцией аргумента ω , то соотношение между частотной и импульсной характеристиками можно рассмотреть как разложение частотной характеристики в ряд Фурье, где коэффициентами разложения являются отсчеты импульсной характеристики:
∞
H(e^(jω))=∑h(n)·e^(-jωn)
n =-∞
Тогда, в соответствии с теорией рядов Фурье, отсчеты импульсной характеристики м.б. в свою очередь выражены через частотную характеристикусистемы :
π
h(n)=1/2π ∙∫ H(e^(jω))∙ e^(jωn)dω
-π
Т.о. импульсная и частотная характеристики связаны между собой парой преобразования Фурье.
Из последнего соотношения следует, что отсчеты импульсной характеристики м.б. получены в виде супер-позиции комплексных экспонент с амплитудами, определяемыми модулем частотной характеристики.
Пара преобразований Фурье справедлива для любой последовательности с конечной суммой элементов, т.о., расширяя круг представлений, можно для произвольной входной последовательности записать :
π
x(n)= 1/2π ∙∫ X(e^(jω))∙ e^(jωn)dω ,
-π
где, в свою очередь, комплексный спектр входной последовательности, в общем случае, определяется суммой в бесконечных пределах произведений :
∞
X(e^(jω))=∑х(n)·e^(-jωn) – комплексный спектр входной последовательности.
n =-∞
Отклик системы на входную последовательность м.б. записан след. обр.:
π
у(n)= 1/2π ∙∫ X(e^(jω))∙H(e^(jω))∙e^(jωn)dω ,
-π
где Y(e^(jω))= Х(e^(jω))·H(e^(jω))
Т.о. и для дискретных последовательностей отклик системы, описываемый свёрткой во временной области, соответствует произведению спектра на частотную характеристику в частотной области.
Частотная характеристика представляет собой отклик на ограниченный класс входных последовательностей вида e^(jωn), где аргумент ω определяется на интервале [0;2π].
С учетом соотношения, показывающего, что произвольные последовательности являются суперпозицией таких экспонент, такой способ представления является важным средством описания отклика системы на ”почти” любые входные последовательности.
…………………………………………………………………………………………
Примечание :
Для того, чтобы выразить спектральный состав последовательности x(nT) в единицах частоты, необходимо ввести в рассмотрение конкретный интервал дискретизации Т.
Тогда соотношения между частотной и импульсной характеристиками будут выглядеть следующим образом :
∞
H(e^(jωТ))=∑h(nТ)·e^(-jωnТ)
n =-∞
π/Т
h(nT)= 1/2π ∙∫ H(e^(jωT))∙e^(jωnT)dω .
-π/T
Функция H(e^(jωT)) периодична по частоте ω с периодом 2π/Т.
После этого, круговая частота ω имеет привычную размерность [рад/с] , после чего она м.б. выражена в единицах циклической частоты, если заменить
ω на 2π/f.
…………………………………………………………………………………………
 |
Для действительных последовательностей и частотная характеристика, и
частотный спектр, обладают свойством симметрии.
На всех 3-х рисунках : верхний спектр – спектр непрерывной последовательности,
нижний спектр – спектр дискретной последовательности.
1) Ширина спектра непрерывного сигнала полностью соответствует главному лепестку периодического спектра дискретного сигнала (по методу спектрального разложения).
Интервал дискретизации и интервал наблюдения определимы однозначно и правильно;
2) Спектр непрерывного сигнала уже главного лепестка, соответствующего этому непрерывн. сигналу, спектра непрерывной дискретной последовательности
Частота дискретизации и интервал наблюдения избыточны. Цифровая система спектрального анализа во 2-м случае выполняет ряд лишних вычислительных операций;
3) Спектр непрер. сигнала шире главного лепестка дискретного сигнала. В результате 3-го случая, ВЧ-составляющие спектра непрерывного сигнала попали в область более низких частот в спектре дискретной последов-ти.
Такое смещение спектральных составляющих из одного диапазона частот в другой называется наложением спектров. В большинстве случаев это является следствием выбора избыточно низкой частоты дискретизации (Т велико).
Полученную т.о. последовательность называют представлением непрерывного колебания с наложением.
Неправильно выбранные интервалы дискретизации могут привести к искажению спектрального состава, кот. соответствуют 2) и 3) случаям (нелинейные искажения).
2.5. Z – преобразование
При анализе и синтезе дискретных и ЦУ-в, одним из полезных методов представления последов-ти является так называемое Z – преобразование.
Для последов-ти x(n), заданной для всех -∞ < n < ∞ , Z – преобразование определяется как :
∞
X(n)=∑x(n)z‾ ⁿ
n=-∞
Т.е. конечной или бесконечной последов-ти отсчетных значений некоторого сигнала ставится в соответствие сумма ряда по отрицательным степеням комплексной переменной Z . Если эта сумма существует, то она и является
Z – преобразованием последовательности.
Смысл введения такого математического объекта связан с тем, что свойства последов-тей м.б. использованы методами мат. анализа их Z – преобразований.
Примеры :
1) 1, n=0
x(n)= – единичный импульс
0, n≠0 (в дискретных системах нет δ-функции)
Сумма ряда по отрицат. степеням комплексной переменной равна :
X(z)=1/z˚=1
Þ Z – преобразование единичного импульса как конечная сумма ∞-го ряда
сходится на всей компл. плоскости в результате того, что единичный импульс является последов-тью конечной длины.
2) 1, n≥0
x(n)=
0, n<0
X(z) = [z°+zˉ¹+zˉ²+…+zˉºº] = ((1-zˉ¹)/(1-zˉ¹))·[ ] = 1/(1-zˉ¹) = z/(z-1) , z≠1
Если |z| >1 , то функция сходится. Особая (·)-ка Z – преобразования единичного скачка – при z =1.
Из этого примера следует, что если число слагаемых ∞-но велико, то возникает необходимость исследовать сходимость ряда, определяющего его
Z – преобразование. При этом, в области сходимости, сумма ряда представляет собой аналитическую функцию комплексной переменной z , не имеющую ни полюсов, ни существенно особых точек.
Применително к Z – преобразованию единичного скачка, ∞-ый ряд сходится при любых z в кольце |z| >1. На границе области аналитичности , т.е. где z =1, эта функция имеет единственный полюс.
3) Z – преобразование простой экспоненциальной последовательности:
aⁿ , n≥0
x(n)= X(z) = z / (z-а). Область аналитичности : |z| >а
0 , n<0