Устойчивость цифровых автоматических систем (ЦАС)

Запишем уравнение ЦАС, пользуясь дискретной передаточной функцией замкнутой системы

(4.21)

b₀=1; b₁= – 2 – d; b₂=1+ 2d; b₃= – d;

a₀=1; a₁= –(2 + d) – K₁a [(1+ d)(Tε –T₁) –T₁(1– d^ε)];

a₂=(1+ 2d) + K₁a [d(Tε –T₁–T) –T₁d^ε];

a₃= – d.

Уравнение системы будет иметь вид

(a₀Z³+a₁Z²+a₂Z+a₃)X(Z)=(b₀Z³+b₁Z²+b₂Z+b₃)G(Z). (4.22)

Для устойчивости системы необходимо, чтобы корни характеристического уравнения

a₀Z³+a₁Z²+a₂Z+a₃=0 (4.23)

находились на комплексной плоскости внутри окружности единичного радиуса.

Пример.

Рассмотрим устойчивость уже рассмотренной цифровой системы с параметрами:

– запаздывание τ=0.1Тс;

– период дискретизации Т=0.01с;

– постоянная времени непрерывной части Т₁=0.1с;

– постоянная времени интегратора Т₂=1с;

– коэффициент усиления К₁=10.

Вычислим:

a₀=1;

a₁= –(2 + d) – K₁a [(1+ d)(Tε –T₁) –T₁(1– d^ε)]=

= –(2+0.9) – 10·1[(1+0.9)(0.01·0.1– 0.1) – 0.1(1– 0.99)] =

= –2.9+10·(1.9·0.099+0.001) = –1.029;

a₂= (1+ 2d) + K₁a [d(Tε –T₁–T) –T₁d^ε]=

= (1+2·0.9)+10·1[0.9(0.01·0.1– 0.1– 0.01)– 0.1·0.99] =

= 2.8–10(0.9·0.109+0.099) = 2.791;

a₃= –d= – 0.9.

Характеристическое уравнение

Z³–1.029Z²+2.791Z– 0.9=0

Определим корни

Z₁=0.35;

Z₂=0.34+ j1.56;

Z₃=0.34– j1.56.

Видим, что комплексные корни Z₂ и Z₃ выходят за пределы единичной окружности на комплексной плоскости, значит, система неустойчива.

Для применения известных из линейной теории автоматического регулирования критериев устойчивости необходимо перейти к w–преобразованию, введя в уравнение (4.23) замену

(4.24)

После преобразований получим

Обозначим:

Получим новое характеристическое уравнение

A₀w³+A₁w²+A₂w+A₃=0. (4.25)

Пользуясь многочленом левой части уравнения (4.25) можно определить устойчивость ЦАС по критерию Гурвица или его следствиям. Для системы третьего порядка применим третье следствие, согласно которому для устойчивости системы достаточно выполнить условие

(4.26)

Пример.

Вычислим коэффициенты A_о, A₁, A₂, A₃ для уже рассмотренной системы.

Получили

Условие устойчивости не выполняется, значит, данная система неустойчива.

Для применения частотных критериев устойчивости следует воспользоваться импульсной передаточной функцией разомкнутой системы. Она ранее была получена через Z–преобразование.

(4.27)

Однако при использовании передаточной функции, записанной через Z–преобразование, нельзя применять известные частотные критерии устойчивости (Найквиста и логарифмический).

Перейдем к w–преобразованию, сделав замену

(4.28)

Получим

Передаточная функция разомкнутой системы приводится к виду

(4.29)

Ею можно пользоваться также как и передаточной функцией обыкновенных непрерывных линейных систем. Можно построить АФХ или ЛАХи, но необходимо помнить, что они справедливы до частот, определяемых условием ωT<<1 или ω<<1/T, где Т – период квантования, так как только при этом условии псевдочастота ω^* соответствует частоте ω.

По построенным частотным характеристикам (АФХ, ЛАХ) можно определить устойчивость ЦАС с использованием известных и указанных выше критериев.

Переходные процессы в ЦАС

Для построения переходного процесса в ЦАС можно воспользоваться дискретной передаточной функцией замкнутой системы. Для рассматриваемой ЦАС такие передаточные функции получены Ф(Z)_x и Ф(Z)_y.

Для выходных сигналов X(Z), Y(Z) можно записать

X(Z)=Ф(Z)_xG(Z); Y(Z)=Ф(Z)_yG(Z), (4.30)

где G(Z) – входное воздействие.

При построении переходной характеристики в качестве входного воздействия берут единичную функцию Z–преобразование для которой имеет вид

(4.31)

Домножая дискретные передаточные функции замкнутой системы на дискретную единичную функцию, получим дискретные переходные характеристики для сигнала рассогласования и выходного

(4.32)

Передаточная функция Ф(Z)_x была записана в виде

(4.33)

Для переходной характеристики по сигналу рассогласования получим

(4.34)

Раскладывая полученное выражение в ряд Лорана, получим значения выходного параметра X[nT] в дискретные моменты времени nT, где n=0,1,2,... . Для разложения выражения X(Z) в ряд Лорана достаточно поделить числитель на знаменатель в передаточной функции (4.34).

Ряд Лорана можно записать в виде

X(Z)=c₀+c₁Z^–1+c₂Z^–2+c₃Z^–3+... , (4.35)

где коэффициенты с₀, с₁, с₂, с₃, ... – значения переходной характеристики в моменты времени nT, где n=0, 1, 2, ...

c₀=X(n)|_n=0, c₁=X(n)|_n=1, c₂=X(n)|_n=2, … .

Пример.

Построим переходной процесс в рассматриваемой следящей системе, для которой вычислим

b₀=1; b₁= –(2+d)= –(2+0.9)= –2.9;

b₂=1+2d=1+2·0.9=2.8; b₃= –d= –0.9.

Коэффициенты а₀, а₁, а₂, а₃ вычислены ранее

а₀=1; a₁= –1.029; a₂=2.791; a₃= –0.9.

Импульсная передаточная функция запишется в виде

Разложим ее в ряд Лорана

Коэффициенты полученного ряда дадут значения x(t) в моменты времени nT, так как

X(Z)=X(0)+X(1)Z^–1+X(2)Z^–2+X(3)Z^–3+...

По точкам можно построить переходную характеристику, соединив их прямыми линиями.

Рис. 34

Ряд Лорана может быть достаточно большой, так что его вычисление следует производить, например, до уровня 5% от входного сигнала g(t) = 1.