Устойчивость импульсных систем

Для определения устойчивости можно воспользоваться известными в линейной теории критериями устойчивости, применив их к импульсным системам. Рассмотрим структурную схему импульсной системы (рис. 25).

Рис. 25

Входной сигнал G(Z), выходной Y(Z) и сигнал рассогласования X(Z) записаны с использованием Z–преобразования.

Известна передаточная функция разомкнутой системы W(Z), также записанная с использованием Z–преобразования (3.24).

Если импульсная система содержит простейший импульсный элемент и апериодическое звено первого порядка с интегратором, то передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

где

Для этой системы получена также передаточная функция замкнутой системы

По передаточной функции замкнутой системы можно записать уравнение системы

[Z²+(K₁T–K₁T₁+K₁T₁d–d–1)Z+(K₁T₁–K₁T₁d–K₁Td+d)]Y(Z) =

= K₁[(T–T₁+T₁d)Z+(T₁–T₁d–Td)]G(Z). (3.28)

Обозначим 1=а₀;

K₁T–K₁T₁+K₁T₁d–d–1=a₁;

K₁T₁–K₁T₁d–K₁Td+d=a₂;

K₁(T–T₁+T₁d)=b₀;

K₁(T₁–T₁d–Td)=b₁.

Перепишем уравнение в общем виде

(а₀Z²+a₁Z+a₂)Y(Z)=(b₀z+b₁) G(Z) (3.29)

Для определения устойчивости системы нужно решить характеристическое уравнение

а₀Z²+a₁Z+a₂=0. (3.30)

Известно, что корни характеристического уравнения Z1, Z2 можно представить на комплексной плоскости. Определим величины корней, при которых система будет устойчива.

Учитывая, что Z=e^pT, где p – оператор преобразования Лапласа, а для устойчивости системы по Ляпунову необходимо иметь отрицательные вещественные части корней характеристического уравнения системы, видим, что корни характеристического уравнения в области Z–преобразования должны лежать внутри единичной окружности.

Пусть имеем: Z₁=α+jβ;

Z₂=α–jβ.

Для устойчивости системы необходимо иметь

(3.31)

На комплексной плоскости корни лежат внутри единичной окружности (рис. 26).

Рис. 26

Если один из корней в области Z–преобразования будет расположен за пределами единичной окружности, то система станет неустойчивой.

При наличии корня │Z│=1 система будет находиться на границе устойчивости.

Определение: Импульсная система автоматического регулирования будет устойчива, если корни характеристического уравнения, записанного через Z–преобразование, будут лежать на комплексной плоскости внутри окружности единичного радиуса.

Пример.

Пусть в системе с простейшим импульсным элементом, апериодическими интегрирующими звеньями имеем: T₁=0.1c, K₁=10, T=0.01c.

Вычислим коэффициенты характеристического уравнения, записанного через Z–преобразование

а₀=1;

a₁=K₁T–K₁T₁+K₁T₁d–d–1=0.1–1+0.9–0.9–1=–1.9;

a₂=K₁T₁–K₁T₁d–K₁Td=1–0.9–0.09+0.9=0.91.

Характеристическое уравнение:

Z²–1.9Z+0.91=0;

Z₁=0.95+j0.087; Z₂=0.95–j0.87;

Данная система устойчива.

Применим модифицированное w–преобразование

к характеристическому уравнению, записанному через Z–преобразование.

а₀Z²+a₁Z+a₂=0.

После преобразований получим

(3.32)

Обозначим

А₀=(а₀–a₁+a₂)T²/4;

А₁=(a₀–a₂)T;

А₂=(а₀–a₁+a₂).

Получим новое характеристическое уравнение

А₀w²+А₁w+А₂=0. (3.33)

Определим корни w_1,2 полученного характеристического уравнения. По расположению корней w_1,2 можно судить об устойчивости системы, пользуясь известными из линейной теории автоматического регулирования теоремами Ляпунова.

Определение: Импульсная система автоматического регулирования будет устойчива, если корни характеристического уравнения, записанного через w–преобразования, будут лежать в левой полуплоскости комплексной плоскости.

Пример.

Рассмотрим устойчивость уже исследованной системы, используя w–преобразование. Для этой системы получили:

а₀=1;

a₁=–1.9;

a₂=0.91;

Т=0.01с.

Вычислим

А₀=(а₀–a₁+a₂)T²/4=(1+1.9+0.91)10^-4/4=0.95∙10^-4;

А₁=(a₀–a₂)T=(1–0.91)∙0.01=0.9∙10^-3;

А₂=(а₀–a₁+a₂)=1–1.9+0.91=0.01.

Характеристическое уравнение имеет вид

0.95∙10^-4w²+0.9∙10^-3w+0.01=0.

Вычислим корни уравнения

Видим, что вещественные части корней отрицательны –4.74<0, значит, система устойчива.

Пользуясь уравнением, записанным через w–преобразование, можно воспользоваться критериям Гурвица и Михайлова, а также следствиями из критерия Гурвица в обычных формулировках.

Для применения критерия Гурвица и его следствий рассмотрим характеристическое уравнение вида

А₀w²+А₁w+А₂=0.

Матрица строится из коэффициентов А₀, А₁, А₂ в виде

(3.34)

Для устойчивости системы необходимо, чтобы

А₀ > 0;

Δ₁=|А₁| > 0; (3.35)

Δ₂=А₁A₂ > 0.

Пример.

Для рассмотренной системы имеем А₀=0.95∙10^-4;

А₁=0.9∙10^-3;

А₂=0.01;

Δ₁=|0.9·10^-3|= 0.9·10^-3;

Δ₂=|0.9·10^-3|·0.01=0.9·10^-5.

Видим, что А₀=0.95·10^-4 > 0;

Δ₁=0.9·10^-3 > 0;

Δ₂=0.9·10^-5 > 0.

Значит, система устойчива.

В соответствии со 2–м следствием из критерия Гурвица для устойчивости системы достаточно в уравнении А₀w²+А₁w+А₂=0 иметь положительные коэффициенты. В рассмотренном примере это имеет место, значит система устойчива.

Для применения критерия Михайлова следует рассмотреть многочлен

D(jω^*)=A₀(jω^*)²+A₁(jω^*)+A₂=X(ω^*)+jY(ω^*).

Построить кривую Михайлова в координатах Х,Y и определить угол поворота вектора D(jω) при изменении псевдочастоты ω^* от 0 до ∞.

Аналогичным образом можно применить критерий Найквиста и логарифмический, построив АФХ или ЛАХи, как это указано в предыдущем параграфе.