Функция Бесселя полуцелого порядка

Функция Бесселя целочисленного порядка не сводится к элементарным функциям. Функция полуцелого порядка выражается через тригонометрическую функцию.

1. Используем представление в виде ряда

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.9)

При Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

С учетом

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

находим

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Сумма является разложением косинуса, в результате

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.53)

2. Из (8.42)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

при m = –1/2

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

получаем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.54а)

3. Из (8.37)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

при m = 1/2

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

тогда

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.54б)

4. Из (8.43)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

при Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

с учетом (8.53)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

находим

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.55)

5. Из (8.41)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

при Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

с учетом (8.54а)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

получаем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.56)

Нули Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

k – порядковый номер нуля. Числовые расчеты для первых нулей дают:

x0,1 = 3,0, x0,2 = 6,2;

x1,1 = 4,4, x1,2 = 7,7;

x2,1 = 5,7, x2,2 = 9,0.

Графики

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Сферическая функция Бесселя

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru (8.57)

Функция Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru описывает в сферических координатах радиальную зависимость волны с орбитальным моментом l и с волновым числом k.

Набор Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru при Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru образует ортонормированный базис с непрерывным спектром Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Радиальная зависимость волны

Волна в сферических координатах является решением уравнения Гельмгольца

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

с оператором Лапласа

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , (7.6)

где Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru – оператор квадрата момента импульса.

Переменные r и (q, j) в уравнении разделены, ищем решение в виде произведения независимых функций

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

где Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru – сферическая функция. Решение подставляем в уравнение и учитываем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (7.20)

Получаем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Заменяем Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Сравниваем с уравнением Ломмеля

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

получаем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Общее решение (8.4)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

получает вид

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Конечность решения при Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru с учетом (8.11)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

требует Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , тогда

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Радиальная зависимость волны с орбитальным моментом l и с волновым числом k описывается сферической функцией Бесселя.

Дифференциальное уравнение

Уравнения для Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru и Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru совпадают, тогда выполняется

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.58)

Явный вид функции

Используем (8.57)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

и (8.55)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

после замены Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Находим

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

В результате сферическая функция Бесселя

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.59)

Свойство четности

Из (8.59) получаем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.61)

Функции низших порядков

Из (8.59) получаем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.62)

Предел x ® ¥

Используем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru (8.12а)

находим

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.63)

Из

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru (8.57)

получаем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.64)

Предел x ® 0

Из

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , (8.11)

при Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Подставляем в (8.57)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

получаем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.65)

Условия ортонормированности Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

1. Используем (8.48)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

при Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . Из (8.57)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

выражаем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

получаем условие ортонормированности

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.66)

2. При Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru не нулевой вклад в (8.66) дает только Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , используя Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , находим

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.67)

Доказательство:

Обе стороны (8.67) умножаем на Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , где Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , и интегрируем по интервалу Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . В левой стороне меняем порядок интегрирований и используем (8.66)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Правая сторона дает тот же результат

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

где учтено

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

3. Из

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , (8.67)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru (8.62)

следует

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.68)

Рекуррентные соотношения

1. Подставляем (8.57)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

в (8.37)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

при Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . Получаем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.70)

2. Подставляем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

в (8.36)

  Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

при Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . Получаем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Из (8.70) выражаем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

подставляем в последнее равенство, и получаем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.71)

3. Выполняются соотношения

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , (8.72)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , (8.73)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , (8.74)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.75)

Функция Эйри первого рода

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Описывает:

– дифракцию волн,

– состояние квантовой частицы в однородном поле,

– состояние частицы в треугольной потенциальной яме,

– состояние частицы вблизи точки поворота классического движения.

Функцию ввел английский астроном Эйри в 1838 г. при исследовании дифракции света.

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Сэр Джордж Биддель Эйри (1801–1892)

Директор Гринвичской обсерватории, президент Лондонского королевского общества. Разработал теорию дифракции света на объективе телескопа. Центральное светлое пятно в центре картины дифракции на круглом отверстии называется «диск Эйри».

Уравнение Эйри

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru (8.76)

Функция Эйри является частным решением (8.76).

Связь с функцией Бесселя

Сравниваем (8.76) с уравнением Ломмеля

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

находим

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Общее решение

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.77)

Мнимый аргумент усложняет анализ, ищем другой путь решения.

В области отрицательного аргумента Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru уравнение (8.76) получает вид

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.78)

Совпадает с уравнением Ломмеля с параметрами

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Получаем общее решение

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.79)

Функция Эйри первого рода

Является частным решением (8.79) с коэффициентами Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.80)

Условия нормировки

При малом аргументе учитываем (8.11)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

из (8.80) находим

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

первое слагаемое дает нуль. Нормировка

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.81)

Интегральная нормировка

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru (8.82)

следует из (8.84). Выполняется

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.82а)

Доказательство (8.82а):

При Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru используем (8.80) и заменяем Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

где

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.14).

Интегральное представление

Получим функцию Эйри положительного аргумента путем решения уравнения Эйри Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru методом Фурье-преобразования.

Используем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , (1.35)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (1.37)

Преобразование

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

дает дифференциальное уравнение первого порядка

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Разделяем переменные

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

интегрируем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Выполняем обратное преобразование Фурье с заменой Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Подставляем Фурье-образ

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru.

Находим с, вычисляя интеграл при Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru :

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

(практическое занятие по теме «Г-функция»).

Сравниваем с условием нормировки

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , (8.81)

находим

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Функция Эйри выражена через интеграл Эйри

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , (8.83)

Фурье-образ функции Эйри

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.84)

Из (8.84) при Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru получаем условие нормировки

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.82)

Предел Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

При Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru из (8.80) и (8.12а)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

получаем колебательный характер функции

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .(8.85)

Первые нули Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru :

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Наибольший максимум Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ; Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Предел Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Интеграл Эйри

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru (8.83)

при Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ruвычисляем методом Лапласа. Записываем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

При больших x разлагаем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

в ряд Тейлора около точки экстремума Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , и ограничиваемся первыми тремя членами ряда

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Положение экстремума

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

где знак Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru выбран из условия, что экстремум соответствует максимуму, т. е. вторая производная отрицательна. Получаем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

в результате

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Из (8.83) находим

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

где сделана замена

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

В полосе (0, Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ) отсутствуют полюсы подынтегральной функции. Поэтому сдвиг линии интегрирования в комплексной плоскости к вещественной оси не изменяет интеграла

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

где использовано

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (П.2.7).

В результате получаем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.87)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Преобразования Ганкеля и Фурье–Бесселя

Преобразование Ганкеля является разложением радиальной функции Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru состояния с проекцией орбитального момента Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru на ось z по базису функций Бесселя Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru с непрерывным спектром Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Преобразование Фурье–Бесселя является разложением функции в полярных координатах Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru по базису цилиндрических функций и по базису функций с определенной проекцией орбитального момента. Преобразование Фурье–Бесселя является обобщением преобразования Ганкеля.

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Герман Ганкель (1839–1873)

Немецкий математик разрабатывал теорию цилиндрических функций и кватернионов.

Преобразование Фурье в полярных координатах

1. Используем двумерное преобразование Фурье в декартовых координатах

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

2. Переходим к полярным координатам

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

путем замен

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Получаем преобразование Фурье в полярных координатах

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , (8.91)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.92)

3. Разлагаем f(r,j) по базису Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru собственных функций проекции орбитального момента Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.93)

Подставляем (8.93) в (8.92)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

4. Заменяем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Интеграл по углу выражается через функцию Бесселя

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Использовано

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

и представление Зоммерфельда

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.18)

5. Выражение (8.92) получает вид

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.94)

Преобразование Ганкеля

Преобразование Ганкеля прямое Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ruи обратное Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru порядка m для радиальной функции Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru определяем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru, (8.95)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru, (8.96)

где

r и k – взаимно сопряженные переменные, Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru – безразмерная;

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru – радиальное распределение с угловой зависимостью Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ;

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru – образ Ганкеля с угловой зависимостью Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Преобразование является разложением радиальной функции по ортонормированному базису Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru с непрерывным спектром Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . Преобразование ввел Герман Ганкель, опубликовано в 1875 г.

Интегральная теорема

Действия прямого (8.95) и обратного (8.96) преобразований Ганкеля восстанавливают исходную функцию

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru. (8.97)

Доказательство:

В (8.97) меняем порядок интегрирований

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

где использована ортонормированность

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.48)

Теорема о парах функций

Если для Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru образом является Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , то для Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru образом является Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Доказательство:

Преобразования симметричны – прямое (8.95) и обратное (8.96) преобразования

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru, Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru,

переходят друг в друга при замене Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru и Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Замена Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru дает теорему.

Масштабное преобразование аргумента Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Выполняется

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru. (8.98)

Доказательство:

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

где сделана замена Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru и использовано сравнение с (8.95).

Теорема Парсеваля

Скалярное произведение функций равно скалярному произведению их образов

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru, Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.99)

Доказательство:

В интеграл (8.99) подставляем

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,(8.96)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Меняем порядок интегрирований и используем ортонормированность

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru (8.48)

в виде

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

тогда

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

где сделана замена Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru .

Марк-Антуан Парсеваль (1755–1836) – французский математик. Исследовал дифференциальные уравнения и функции комплексного переменного. Доказал «теорему Парсеваля» в 1799 г. Теорема выполняется для любого унитарного (сохраняющего скалярное произведение) преобразования – Фурье, Бесселя и других.

Преобразование Фурье–Бесселя

Преобразование Фурье в полярных координатах

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , (8.91)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.92)

Для угловой части функции Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru используем разложение по базису Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , (8.93)

для радиальной части – преобразование Ганкеля

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru, (8.96)

в результате

Аналогично для Фурье-образа

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , (8.94)

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru, (8.95)

находим

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.100б)

Формулы (8.100а) и (8.100б) являются разложениями функции и ее Фурье-образа, выраженных в полярных координатах, по функциям с определенной проекцией орбитального момента.

Радиальные части с одинаковым орбитальным моментом связаны между собой преобразованием Ганкеля

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru, Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru.

Преобразование Ганкеля нулевого порядка

Система с осевой симметрией описывается функцией Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , не зависящей от угла j. В разложении по углу

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , (8.93)

остается слагаемое Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru и преобразование Фурье–Бесселя

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru (8.100)

переходит в преобразование Ганкеля нулевого порядка

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru. (8.101)

Из (8.101) и из теоремы о парах функций для частных случаев получаем:

1) Кольцевая функция Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru радиусом a

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.102)

Образом Ганкеля для кольцевой функции является функция Бесселя нулевого порядка.

2) Кулоновская функция Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru с учетом условия нормировки

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , (8.14а)

дает

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.103)

Образом Ганкеля для кулоновской функции является кулоновская функция.

3) Постоянная

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , (8.104)

где использовано (8.49), (2.2), (8.13). Образ Ганкеля для постоянной выражается через дельта-функцию.

4) Круговая функция равна единице в круге радиусом a и нулю за его пределами

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru (8.105)

(от лат. circularis – «круговой»). Используя

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru (П.9.1)

при Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru , и теорему о парах функций, находим

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru ,

Функция Бесселя полуцелого порядка - student2.ru . (8.106)

Образ Ганкеля для круговой функции выражается через функцию Бесселя первого порядка.

Наши рекомендации