Международная и российская оценки

РЕЙТИНГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

МЕЖДУНАРОДНАЯ И РОССИЙСКАЯ ОЦЕНКИ

Число баллов	Оценка
международная	российская
90–100     80–89   70–79   60–69   50–59	97–100 93–96 90–92 87–89	A+ A A– B+	Отлично
84–86 80–83 77–79 74–76	B B– C+ C	Хорошо
70–73 66–69 63–65 60–62 50–59	C– D+ D D– E	Удовл.
25–49 0–24	25–49 0–24	FX F	Неуд.

Группа РН (коллоквиум, экзамен)

Итоговое число баллов складывается из баллов, получаемых за каждый вид деятельности.

№	Вид деятельности	Число баллов
1.     2.   3.   4.   5.	Активность на занятиях (выставляется в конце 5-ой, 10-ой и 15-ой недели)   Посещаемость лекций   Индивидуальное задание 1   Индивидуальное задание 2   Индивидуальное задание 3	(0–2) + (0–2) + (0–2)= 0–6   0–6   5–10   5–10   5–10
5.	Коллоквиум	Всего не более 40
6.	Экзамен: постановка задачи и качественный анализ результата + количественное обоснование результата + дополнительные вопросы по теме билета	Всего не более 60     0–20   0–10   0–10

Всего не более 100

Если после сдачи трех инд. работ и коллоквиума набрано менее 50 баллов, то для получения оценки удовлетворительно сдается укороченный экзамен, оцениваемый в (0–19) баллов.

Группы РМ и РМС (коллоквиум, зачет)

№	Вид деятельности	Число баллов
1.   2.   3.   4.   5.   6.	Активность на практических занятиях (выставляется в конце 5-ой, 10-ой и 15-ой недели)   Посещаемость лекций   Индивидуальное задание 1   Индивидуальное задание 2   Индивидуальное задание 3   Коллоквиум	(0–7) + (0–7) + (0–7)= 0–21   0–15   8–15   8–15   8–15

Всего не более 100

Группы РП и РЭ (зачет)

№	Вид деятельности	Число баллов
1.   2.   3.   4.   5.	Активность на практических занятиях (выставляется в конце 5-ой, 10-ой и 15-ой недели)   Посещаемость лекций   Индивидуальное задание 1   Индивидуальное задание 2   Индивидуальное задание 3	(0–7) + (0–7) + (0–7)= 0–21   0–20   10–20   10–20   10–20

Всего не более 100

КОЛЛОКВИУМ

1. Преобразование Фурье прямое и обратное. Свертка. Теоремы о свертке и умножении функций. Теорема о частотной полосе.
2. Дельта-функция. Определение, фильтрующее свойство, интегральное представление. Выражение для сложного аргумента. Фурье-образ.
3. Прямоугольная функция и ее Фурье-образ.
4. Гамма-функция. Определение, рекуррентное соотношение. Значения Г(1/2), Г(1), Г(2), Г(n +1). Формула Стирлинга.
5. Гармонический осциллятор. Уравнение, решение, условие ортонормированности. Уровни энергии осциллятора.
6. Сферическая функция. Определение, квантовые числа. Зависимость функции от углов сферической системы координат. Условие ортонормированности.
7. Функция Бесселя первого рода. Уравнение. Условие нормировки. Поведение при и . Условие ортонормированности на интервале (0, ∞).

ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ

,

Моделирует точечное возмущение единичной величины. Множество

, ,

образует ортонормированный бесконечномерный базис. является обобщенной функцией

(2.1)

, . (2.2)

Функция четная

,

,

.

Свойства

Фильтрующее свойство

Для гладкой функции из (2.1) получаем

. (2.3)

При :

,

. (2.4)

Выполняем :

, . (2.5)

Ортонормированность базиса

В (2.5) полагаем: , , тогда

. (2.7)

Масштабное преобразование аргумента

,

, (2.8)

Доказательство:

Интегрируем по интервалу , где , произведение дельта функции с гладкой функцией . Заменяем переменную , используем фильтрующее свойство и сравниваем исходное и конечное выражения

.

Упрощение аргумента

Если – корни функции , тогда

. (2.9)

Доказательство:

Функция отлична от нуля только вблизи точек , в этих точках она бесконечна.

Для нахождения веса, с которым входит бесконечность, интегрируем произведение с гладкой функцией по интервалу

,

В малой окрестности разлагаем в ряд Тейлора

,

и ограничиваемся первыми двумя слагаемыми

.

Используем (2.8)

,

тогда

.

Сравниваем подынтегральные функции и получаем (2.9).

Дифференцирование

Четность

,

,

,

.

Фильтрующее свойство

, , (2.10)

, (2.11)

,

. (2.13)

Доказательство (2.10):

Интегрируем (2.10) по частям

,

где

, ,

, ,

тогда

,

Свертка

. (2.14)

Использовано

и (2.13).

Интегральное представление

. (2.24)

Во втором и третьем равенствах использована замена аргумента и формула Эйлера

.

Дифференцируем (2.24)

. (2.25)

Доказательство первого равенства в (2.24):

,

.

Следовательно, .

Выражения в виде пределов

, (2.29)

, (2.30)

. (2.33)

Фурье-образ

,

, (2.35)

,

, (2.36)

,

. (2.37)

Доказательство:

Учитываем

,

фильтрующее свойство δ-функции и теоремы Фурье.

Гребенчатая функция

(2.53)

Моделирует неограниченную кристаллическую решетку, антенну и другие периодические структуры. При Фурье-преобразовании переходит в гребенчатую функцию.

Из (2.53) и

(2.8)

получаем

. (2.54)

Свойства

Функция четная

,

периодическая

,

период . Фильтрующее свойство дельта-функций дает

. (2.55)

Фурье-образ

Для периодической функции используем

, (1.47)

, (1.49)

Для гребенчатой функции с периодом получаем

,

где учтено фильтрующее свойство дельта-функции. Из (1.47) находим Фурье-образ

. (2.56)

При Фурье-преобразовании гребенчатая функция переходит сама в себя.

Из (2.56) по теореме Фурье о масштабном преобразовании аргумента

. (2.59)

Увеличение периода гребенчатой функции ( ) уменьшает период и увеличивает амплитуду ее спектра.

Ряд Фурье

Используем

, (1.48)

.

Для , получаем

. (2.57)

РЕЙТИНГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

МЕЖДУНАРОДНАЯ И РОССИЙСКАЯ ОЦЕНКИ

Число баллов	Оценка
международная	российская
90–100     80–89   70–79   60–69   50–59	97–100 93–96 90–92 87–89	A+ A A– B+	Отлично
84–86 80–83 77–79 74–76	B B– C+ C	Хорошо
70–73 66–69 63–65 60–62 50–59	C– D+ D D– E	Удовл.
25–49 0–24	25–49 0–24	FX F	Неуд.

Группа РН (коллоквиум, экзамен)

Итоговое число баллов складывается из баллов, получаемых за каждый вид деятельности.

№	Вид деятельности	Число баллов
1.     2.   3.   4.   5.	Активность на занятиях (выставляется в конце 5-ой, 10-ой и 15-ой недели)   Посещаемость лекций   Индивидуальное задание 1   Индивидуальное задание 2   Индивидуальное задание 3	(0–2) + (0–2) + (0–2)= 0–6   0–6   5–10   5–10   5–10
5.	Коллоквиум	Всего не более 40
6.	Экзамен: постановка задачи и качественный анализ результата + количественное обоснование результата + дополнительные вопросы по теме билета	Всего не более 60     0–20   0–10   0–10

Всего не более 100

Если после сдачи трех инд. работ и коллоквиума набрано менее 50 баллов, то для получения оценки удовлетворительно сдается укороченный экзамен, оцениваемый в (0–19) баллов.

Группы РМ и РМС (коллоквиум, зачет)

№	Вид деятельности	Число баллов
1.   2.   3.   4.   5.   6.	Активность на практических занятиях (выставляется в конце 5-ой, 10-ой и 15-ой недели)   Посещаемость лекций   Индивидуальное задание 1   Индивидуальное задание 2   Индивидуальное задание 3   Коллоквиум	(0–7) + (0–7) + (0–7)= 0–21   0–15   8–15   8–15   8–15

Всего не более 100

Группы РП и РЭ (зачет)

№	Вид деятельности	Число баллов
1.   2.   3.   4.   5.	Активность на практических занятиях (выставляется в конце 5-ой, 10-ой и 15-ой недели)   Посещаемость лекций   Индивидуальное задание 1   Индивидуальное задание 2   Индивидуальное задание 3	(0–7) + (0–7) + (0–7)= 0–21   0–20   10–20   10–20   10–20

Всего не более 100

КОЛЛОКВИУМ

1. Преобразование Фурье прямое и обратное. Свертка. Теоремы о свертке и умножении функций. Теорема о частотной полосе.
2. Дельта-функция. Определение, фильтрующее свойство, интегральное представление. Выражение для сложного аргумента. Фурье-образ.
3. Прямоугольная функция и ее Фурье-образ.
4. Гамма-функция. Определение, рекуррентное соотношение. Значения Г(1/2), Г(1), Г(2), Г(n +1). Формула Стирлинга.
5. Гармонический осциллятор. Уравнение, решение, условие ортонормированности. Уровни энергии осциллятора.
6. Сферическая функция. Определение, квантовые числа. Зависимость функции от углов сферической системы координат. Условие ортонормированности.
7. Функция Бесселя первого рода. Уравнение. Условие нормировки. Поведение при и . Условие ортонормированности на интервале (0, ∞).

ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ

,

Моделирует точечное возмущение единичной величины. Множество

, ,

образует ортонормированный бесконечномерный базис. является обобщенной функцией

(2.1)

, . (2.2)

Функция четная

,

,

.

Свойства

Фильтрующее свойство

Для гладкой функции из (2.1) получаем

. (2.3)

При :

,

. (2.4)

Выполняем :

, . (2.5)

Ортонормированность базиса

В (2.5) полагаем: , , тогда

. (2.7)

Масштабное преобразование аргумента

,

, (2.8)

Доказательство:

Интегрируем по интервалу , где , произведение дельта функции с гладкой функцией . Заменяем переменную , используем фильтрующее свойство и сравниваем исходное и конечное выражения

.

Упрощение аргумента

Если – корни функции , тогда

. (2.9)

Доказательство:

Функция отлична от нуля только вблизи точек , в этих точках она бесконечна.

Для нахождения веса, с которым входит бесконечность, интегрируем произведение с гладкой функцией по интервалу

,

В малой окрестности разлагаем в ряд Тейлора

,

и ограничиваемся первыми двумя слагаемыми

.

Используем (2.8)

,

тогда

.

Сравниваем подынтегральные функции и получаем (2.9).

Дифференцирование

Четность

,

,

,

.

Фильтрующее свойство

, , (2.10)

, (2.11)

,

. (2.13)

Доказательство (2.10):

Интегрируем (2.10) по частям

,

где

, ,

, ,

тогда

,

Свертка

. (2.14)

Использовано

и (2.13).

Интегральное представление

. (2.24)

Во втором и третьем равенствах использована замена аргумента и формула Эйлера

.

Дифференцируем (2.24)

. (2.25)

Доказательство первого равенства в (2.24):

,

.

Следовательно, .

Выражения в виде пределов

, (2.29)

, (2.30)

. (2.33)

Фурье-образ

,

, (2.35)

,

, (2.36)

,

. (2.37)

Доказательство:

Учитываем

,

фильтрующее свойство δ-функции и теоремы Фурье.