Оценка среднеквадратического значения сигнала

Задача оценки среднеквадратического значения (СКЗ) может решаться не только на основе временного представления периодического сигнала, как было рассмотрено в главе 2, но и на основе его представления в частотной области с использованием преобразования Фурье. Рассмотрим особенности построения алгоритмов оценки СКЗ, исходя из предположения, что первая гармоника исследуемого сигнала по уровню превышает все остальные. Это позволит реализовать нахождение основной гармоники путем простого сравнения между собой спектральных линий. При необходимости алгоритм можно усложнить добавлением процедуры оценки высших и низших компонент в спектре для наиболее значимых составляющих, выделяемых по уровню.

Поскольку при применении временного окна происходит уменьшение энергии сигнала, то соответственно уменьшиться и величина СКЗ. В процессе обработки данных это необходимо учесть путем применения весового коэффициента.

Метод оценки СКЗ с использованием преобразования Фурье может быть реализован по схеме, приведенной на рис. 2.6.1.Сигнал поступает на входное устройство, представляющее собой усилитель-аттенюатор с регулируемым коэффициентом передачи. Затем сигнал поступает на вход аналого-цифрового преобразователя (АЦП).

В зависимости от уровня оцифрованного сигнала вычислитель задает требуемый коэффициент передачи входного устройства. Правильный выбор коэффициента передачи обеспечит более полное использование рабочего диапазона АЦП, что будет способствовать высокой точности оцифровки. В зависимости от значения частоты основной гармоники вычислитель выбирает частоту дискретизации f_д таким образом, чтобы сигнал на выходе АЦП находился в требуемом диапазоне частот. Массив оцифрованных данных u[i/f_д] поступают в модуль вычислителя, который реализует метод работы по Фурье. Найденное значение СКЗ отображается на индикаторе.

Рис. 2.6.1. Схема оценки СКЗ сигнала по методу Фурье

Как и для методов, рассмотренных в предыдущих параграфах данной главы, оценку СКЗ по методу Фурье на аппаратном уровне наиболее просто выполнить при использовании персонального компьютера, оснащенного платой расширения.

Приведем алгоритм оценки СКЗ по шагам:

1. С помощью АЦП получают массив u[i/f_д] в объеме N дискретных отсчетов сигнала. Частота дискретизации может быть скорректирована в процессе работы с полученными данными.

2. Накладывают на массив дискретных отсчетоввременное окно, например, окно Хемминга или Кайзера и получают взвешенный массив.

3. По взвешенному массиву данных вычисляют прямое преобразования Фурье, получая комплексный спектр S[if_д/N]=FFT(u₁[i/f_д]).

4. В спектре S[if_д/N] определяют номер M компоненты, амплитуда которой максимальна, считая ее первой гармоникой сигнала. Находят амплитуду и частоту первой гармоники.

5. Вычисляют СКЗ сигнала. В зависимости от поставленной задачи можно найти СКЗ1 (2.6.1) - только первой гармоники сигнала, СКЗ2 (2.6.2) - всех гармоник в рабочей полосе частот измерителя с учетом постоянной составляющей сигнала, СКЗ3 (2.6.3) - в заданной пользователем полосе пропускания:

а) ; (2.6.1)

б) ; (2.6.2)

в) , (2.6.3)

где u_i – амплитуды соответствующих спектральных компонент;

u₀ – постоянная составляющая сигнала;

N – число полученных дискретных отсчетов в массиве данных;

N1=round(Nf/f_д)- номер спектральной компоненты с разрешением по частоте f_д/N, соответствующий положению первой гармоники спектра сигнала;

d- целое число спектральных составляющих, учитывающее растекание основной гармоники на соседние;

H=round(Nf_H/f_д) -номер спектральной компоненты, соответствующий требуемой верхнейгранице полосы пропускания f_H;

L=round(Nf_L/f_д) - номер спектральной компоненты, соответствующий требуемой нижней границе полосы пропускания f_L;

k – весовой коэффициент, учитывающий влияние вида используемого временного окна на величину СКЗ сигнала.

Для окна Кайзера при b_k=12 экспериментально-расчетным путем было получено оптимальное значение весового коэффициента k=1.971309397.

Важно отметить, что постоянная составляющая не искажает спектр, поэтому СКЗ с ее учетом будет рассчитываться без ошибок. Диапазоны рабочих частот «а» и «б» приведены в табл. 2.2.1.

Результаты математического моделирования оценки СКЗ методом Фурье приведены в виде совокупности графиков на рис. 2.6.2 – 2.6.10. Моделирование проводилось при использовании окна Кайзера для b_k=12.

Оценка СКЗ первой гармоники сигнала

На рис. 2.6.2 – 2.6.6 приведены графики погрешности оценки СКЗ основной гармоники в зависимости от отношения частоты первой гармоники f к частоте дискретизации f_д в диапазоне частот от bf_д/N до f_д/2-bf_д/N для реальных значений N (2048 и 8192) и d=5.

При построении графиков 2.6.2 – 2.6.3 не учитывались шумы квантования, разрядность АЦП и другие факторы, т.е. считалось, что массив данных получен без погрешностей, поэтому приведенные результаты можно рассматривать как предельно достижимые возможности метода Фурье. Каждая точка графика из их общего числа более 2000 построена путем математического моделирования процедуры обработки конкретной реализации сигнала для заданного соотношения f/f_д в соответствии с приведенным выше алгоритмом. Каждая выборка содержит N точек, точность оценки которых определяется рабочей разрядностью компьютера. В этом случае погрешности в каждой точке графика можно рассматривать как методические, обусловленные алгоритмом обработки и конечной разрядностью вычислений.

Рис. 2.6.2. График относительной погрешности оценки СКЗ для N=2048

Рис. 2.6.3. График относительной погрешности оценки СКЗ для N=8192

График, приведенный на рис. 2.6.4, построен с учетом наличия второй гармоники в спектре сигнала. Он приведен для более узкой полосы частот и показывает, что точность оценки первой гармоники не изменилась (см. рис. 2.6.3), т.е. высшие составляющие в спектре сигнала не влияют на точность нахождения СКЗ первой гармоники.

Анализ показывает, что погрешности растут при приближении к границам полосы пропускания как снизу, так и сверху. Вблизи нижней границы рабочего диапазона частот рост погрешности обусловлен тем, что во временном интервале оцифровки укладывается малое число периодов сигнала. Вблизи верхней границы рабочего диапазона частот рост погрешности обусловлен тем, что на периоде основной частоты сигнала получается малое число дискретных отсчетов. Вместе с тем, в рабочей полосе частот погрешности не превышают значения 10^-8, т.е. потенциальные возможности метода очень высокие. Систематическая погрешность на уровне значения 6,35×10^-8 возникает из-за неточности определения весового коэффициента k=1.971309397, коррекция которого приведет к полному исключению смещения графика.

На рис. 2.6.5 – 2.6.6 приведены аналогичные графики относительной погрешности оценки СКЗ основной гармоники, учитывающие комплексное влияние разрядности АЦП, шумов квантования и наличие второй гармоники сигнала.

Рис. 2.6.4. График относительной погрешности оценки СКЗ первой гармоники при уровне второй гармоники 50% для N=8192

Рис. 2.6.5. График относительной погрешности для уровня второй гармоники 50% , N=8192, АЦП 12 бит, шумов±2 бита

Рис. 2.6.6. График относительной погрешности для уровня второй гармоники 50% , N=8192, АЦП 8 бит, шумов ±2 бита

Каждая точка графика построена путем математического моделирования процедуры обработки конкретной реализации сигнала для заданного соотношения f/f_д. Каждая реализация содержит N точек, точность оценки которых определяется разрядностью АЦП и уровнем шумов. В этом случае погрешности в каждой точке графика можно рассматривать как инструментальные, обусловленные шумами квантования и нелинейностью АЦП.

По сравнению с данными, приведенными выше, погрешности для 12-битного АЦП и шумов ±2 бита возросли на 5 порядков, однако остались на уровне вполне допустимых значений, не превышающих 0.01%. Применение 8-битного АЦП при том же уровне шумов увеличило погрешности более чем на порядок, хотя для многих практических задач это еще приемлемо.