Оценка среднеквадратического значения сигнала методом интегрирования

По определению среднеквадратическое значение (СКЗ) сигнала u(t) с периодом T_с может быть представлено в виде следующего выражения:

. (1.1.1)

При дискретизации периодического сигнала с применением АЦП получаем массив отсчетов с постоянным или переменным шагом оцифровки. Рассмотрим некоторые типовые случаи.

Постоянный шаг дискретизации входного сигнала

В общем случае постоянный шаг оцифровки не является целой частью периода входного сигнала. Если в (1.1.1) заменить интеграл на сумму и вычислять ее приближенно по формуле прямоугольников [5], то для периода дискретизации T_д получим выражение:

. (1.1.2)

В дискретном виде формула (1.1.2) вычисления СКЗ может быть записана:

, (1.1.3)

где N = Т_с/T_д – количество точек, дискретизированных на одном периоде сигнала.

В практических задачах, когда частоту дискретизации нельзя изменить так, чтобы выполнялось условие NT_д=Т_с, вычисление СКЗ по формуле (1.1.3) приведет к возрастанию погрешности. Например, при T_д=1 мкс и Т_с=402,51 мкс получим Т_с/T_д=402,5. Для уменьшения погрешности можно модифицировать формулу (1.1.2) так, чтобы сумма находилась точно на одном периоде сигнала [5]. Для этого последний интервал суммирования приводится в строгое соответствие с известным периодом сигнала путем определения его по формуле: Dt_N= .

Если считать, что N=ent(Т_с/T_д) – целое число, полученное путем отбрасывания дробной части, тогда нецелый интервал суммирования Dt_N находится в диапазоне от 0 до T_д и значение СКЗ будет вычисляться по формуле:

. (1.1.4)

Результаты моделирования относительной погрешности вычисления СКЗ по формуле (1.1.3) представлены в виде графиков на рис. 1.1.1. График, приведенный на рис. 1.1.1а, построен для значения начальной фазы сигнала j₀=0, где погрешность максимальна, а на рис. 1.1.1б представлена зависимость погрешности от начальной фазы для отношения Т_с/T_д=403.49 близкого к наихудшей точке. Величина погрешности нахождения СКЗ по формуле (1.1.4) представлена на рис. 1.1.2. Ее максимальное значение не превосходит 4*10^-6. Сравнение показывает, что погрешность вычисления по формуле (1.1.4) на два порядка меньше погрешности оценки СКЗ по формуле (1.1.3).

а) j₀=0

б) Т_с/T_д=403.49

Рис. 1.1.1. Погрешности нахождения СКЗ синусоидального сигнала

График, приведенный на рис. 1.1.2а, построен для наихудшего значения начальной фазы сигнала j₀=0, а на рис. 1.1.2б приведена зависимость погрешности от начальной фазы для отношения Т_с/T_д=403.49 близкого к экстремальной точке.

Для определения влияния инструментальных средств на результаты оценки СКЗ было выполнено математическое моделирование для гармонического сигнала и АЦП, разрядность которого 12 бит, при уровне шумов квантования ±2 бита. Результаты моделирования представлены на рис. 1.1.3 – 1.1.5.

а) j₀=0

б) Т_с/T_д=403.49

Рис. 1.1.2. Погрешности нахождения СКЗ с применением коррекции

Рис. 1.1.3. График относительной погрешности для N=2048

Каждая точка графика из их общего числа более 2000 построена путем выполнения процедуры обработки конкретной реализации сигнала для заданного соотношения f/f_д. Каждая реализация содержит N точек, точность оценки которых определяется разрядностью АЦП и уровнем шумов. В этом случае погрешности в каждой точке графика можно рассматривать как инструментальные, обусловленные нелинейностью и шумами квантования АЦП.

Рис. 1.1.4. График относительной погрешности для N=4096

Рис. 1.1.5. График относительной погрешности для N=8192