Переменный шаг дискретизации входного сигнала

В ряде измерительных задач возникает необходимость вычисления СКЗ по массиву отсчетов с переменным периодом дискретизации. При этом применение без коррекции формулы (1.1.4) приведет к значительным погрешностям. Если обозначить f_i=u_i², воспользоваться известной формулой прямоугольников (1.1.2) и модернизировать ее для переменного шага, то для расчета СКЗ получим выражение [5]:

. (1.1.5)

Другой способ вычисления подынтегральной суммы - нахождение суммы параболических трапеций по формуле Симпсона, модифицированнойдля переменного шага дискретизации:

, (1.1.6)

где i – нечетное; j=N+[N-2ent(N/2)]-1; коэффициенты k_i, b_i , c_i k_j, b_j и c_j находятся по формулам:

,

,

, (1.1.7)

,

,

Коэффициенты, входящие в выражения для параболических трапеций, являются решением системы уравнений:

(1.1.8)

Для того чтобы подсчитать сумму ровно на одном периоде сигнала последнее значение функции принимается равным первомузначению (f_N+1=f₁), а время последнего значения принимается равным периоду сигнала плюс время первого значения (t_N+1= t₁+T_C).

Результаты компьютерного моделирования распределения погрешности вычисления СКЗ гармонического входного сигнала при суммировании по формуле Симпсона (средний график) представлены на рис. 1.1.6.

Было выбрано число точек N=128, каждая из которых расположена на оси времени с шагом 1/N. Далее каждая из N точек сдвигалась по нормальному закону распределения на случайную величину, лежащую в пределах половины дискрета (-0.5, 0.5).

Рис. 1.1.6. Гистограммы погрешности вычисления СКЗ синусоиды

Гистограммы были построены по результатам 10000 случайных положений точек, распределенных во времени по равномерному закону. Моделирование показало, что при использовании модернизированной формулы Симпсона (средний график) случайная погрешность на два порядка ниже, чем при использовании формулы прямоугольников (нижний график). Для дальнейшего уменьшения погрешности аппроксимации параболой можно использовать другой вариант нахождения суммы через криволинейные трапеции. При этом усредняются суммарные площади криволинейных трапеций протяженностью по оси времени в два дискрета со смещением на один дискрет. Выражение для расчета СКЗ будет иметь следующий вид:

,

где i=1, 2, 3…. ; коэффициенты k_i, b_i , c_i k_j, b_j и c_j находятся по формулам (1.1.7); коэффициенты k_l, b_l и c_l находятся по формулам:

,

, (1.1.9)

.

Результаты компьютерного моделирования распределения погрешности вычисления СКЗ гармонического входного сигнала при суммировании по четным и нечетным компонентам представлены на рис. 1.1.6 (верхний график). Полученные данные показывают, что погрешности уменьшились более чем на порядок. Для нахождения через криволинейные трапеции суммы на одном периоде сигнала последнее значение функции принимается равным первому значению (f_N+1=f₁ , f_N+2=f₂), а положение последнего значения принимается равным периоду сигнала, увеличенному на абсолютное время первого значения (t_N+1= t₁+T_C , t_N+2= t₂+T_C).

Данные математического моделирования погрешности для гармонического сигнала показывают явные преимущества метода нахождения суммы через криволинейные трапеции. Моделирование для пилообразного сигнала, гистограммы которого представлены на рис. 1.1.7, демонстрирует примерно одинаковые результаты для формул прямоугольников и Симпсона.

Однако для других форм сигналов метод расчета по прямоугольникам может быть более точным. Например, таким способом лучше представить импульсный сигнал в виде меандра. Результаты моделирования распределения погрешностей измерения СКЗ меандра при использовании формул прямоугольников и Симпсона показало явное преимущество первого метода, для которого среднеквадратическое отклонение (СКО) равно нулю, т.е. случайная погрешность отсутствует. При этом систематическая погрешность практически отсутствует (ее значение порядка 5*10^-17). В дальнейшем будем считать погрешность на уровне долей процентов (порядка 10^-3) вполне приемлемой, поскольку она удовлетворяет большинству практических измерительных задач.

Рис. 1.1.7. Гистограммы погрешности вычисления СКЗ пилы

Анализ показывает, что для входного сигнала типа меандр нахождение суммы по модернизированному методу Симпсона с суммированием по четным и нечетным компонентам приводит к уменьшению погрешности, хотя заметного улучшения нет. Систематическая погрешность для метода прямоугольников выше, но меньше разброс показаний (СКО). Как для меандра, так и для пилообразного сигнала применение метода Симпсона создает несимметричное распределение, максимум которого смещен относительно центра. Во всех расчетах учтены данные 10000 случайных результатов для N=128. Очевидно, что при увеличении числа отсчетов N погрешности будут уменьшаться.

Таким образом, вычислительные методы измерения СКЗ обеспечивают достаточные для реального применения точностные характеристики. Алгоритмы обработки массива данных определяются измерительной задачей и видом сигнала. Лучшие результаты для сигналов, аппроксимируемых прямоугольниками, дает модернизированная формула прямоугольников. Для плавных функций, типа гармонического сигнала, преимущество имеет модернизированная формула Симпсона.