А. д. поздняков, в.а. поздняков

А. Д. Поздняков, В.А. Поздняков

Алгоритмические методы

определения параметров РАДИОтехнических

СИгналов и цепей

Учебное пособие

Владимир 2006

УДК 621.396 + 681.518.3 П 47   Рецензенты:   Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой радиотехники и радиосистем Владимирского государственного университета О.Р. Никитин   Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики Владимирского государственного педагогического университета В.Г. Рау Поздняков А.Д., Поздняков В.А. П47 Алгоритмические методы определения параметров радиотехнических сигналов и цепей / Владим. гос. ун-т. - Владимир. - 2006. - 108 с. ISBN   Рассмотрены вычислительные методы оценки параметров радиосигналов и цепей во временной и в частотной области; представлены данные компьютерного моделирования, позволяющие определить области рационального использования каждого метода. Предназначено для подготовки студентов в области проектирования компьютерных испытательных систем различного назначения: внешних и встроенных, универсальных и специализированных, технологических и эксплуатационных. Рекомендуется для студентов всех форм обучения направления «Радиотехника». Табл. 6. Ил. 114. Библиогр. 9 назв.   УДК 621.396 + 681.518.3   ISBN Владимирский государственный университет, 2006

Предисловие

Определяющим фактором гибкости производства радиоаппаратуры (РА) становится разработка автоматизированных систем контроля, испытаний и мониторинга (СКИМ) [5], позволяющих: повысить производительность, сократить стоимость и время разработки тестирующего оборудования, уменьшить затраты на создание и эксплуатацию систем контроля. Похожие задачи возникают не только в сфере производства, но также при создании исследовательских систем контроля, испытаний и мониторинга (СКИМ), используемых на этапе проектирования РА, а также на этапе эксплуатации при проведении комплексных испытаний и организации длительного мониторинга параметров сигналов и характеристик сложных технических объектов.

Снижение стоимости испытаний, а также уменьшение времени разработки специализированных СКИМ – это ключевые задачи, от решения которых зависят производственные затраты, время внедрения продукции на рынок сбыта и, в конечном итоге, прибыль. Стратегия унификации и гибкости определяет путь развития СКИМ, используемых на всех стадиях жизненного цикла РА, в том числе в процессе проектирования (исследовательский этап), производства (технологический этап) и эксплуатации (пользовательский этап).

Производителю сегодня нужны такие СКИМ, которые могут гибко изменять свои возможности в соответствии с совершенствованием выпускаемой продукции, т.е. они должны быть адаптивными, перепрограммируемыми, наращиваемыми и при этом недорогие. Однако сформулированные требования по своей сути являются противоречивыми. Обеспечение многофункциональности предполагает использование большого числа элементов, выполняющих разные процедуры аппаратной обработки сигналов, а обеспечение малых затрат предполагает использование узкой номенклатуры функциональных модулей. Разрешить данное противоречие можно путем использования в составе СКИМ серийных, не требующих доработки аппаратных средств, а также специального программного обеспечения, модульного по структуре и легко адаптируемого к конкретной задаче.

Современные принципы построения автоматизированных СКИМ предполагают использование персональных компьютеров (ПК), модульных архитектур и стандартных интерфейсов [5-7]. Компьютерные технологии позволяют с наименьшими затратами обеспечить высокое качество, точность и достоверность результатов испытаний [1-3,9]. Распространение компьютерных СКИМ определяется большой вычислительной мощностью ПК, наличием развитого периферийного оборудования, удобством интегрирования систем в локальные сети, относительно невысокой стоимостью основного оборудования, разнообразием программ обработки данных и документирования. Кла­виатура и экран ПК, простота интегрирования с другими внешними устройствами и системами, предоставляют значительно более широкие возможности пользователю по сравнению с теми, которые могут дать автономные приборы. Вычислительная мощь ПК позволяет подвергать собранные с его помощью данные практически любой, даже очень сложной обработке. Такой подход позволяет ограничиться минимальными затратами. Он соответствует современным задачам технологического контроля и испытаний, непрерывного эксплуатационного мониторинга, потребностям научных лабораторий в проведении длительных экспериментальных исследований, нуждам образовательного процесса по техническим специальностям.

В настоящее время опубликовано большое количество работ [8], освещающих различные теоретические и практические вопросы цифровой обработки сигналов (ЦОС). Значительный вклад в алгоритмизацию измерений, создание методов цифровой обработки информации и построение аппаратуры для оценки параметров сигналоввнесли творческие коллективы ряда высших учебных заведений и научно-исследовательских институтов, а также ученые: Арутюнов П.А., Голд Б., Гольденберг Л.М., Желбаков И. Н., Найденов А.И., Орнатский П.П., Попов В.С., Рабинер JI.Р., Трифонов А.П., Шафер Р.В., Шинаков Ю.С., Шувалов В.П., Уидроу Б., Чинков М.Я., Чмых М. К. и многие др.

Активно работающие в данной области зарубежные компании, такие как Hewlett-Packard, National Instruments, Tektronix, предлагают унифицированные комплексы аппаратно-программных средств для компоновки СКИМ требуемой конфигурации. Однако, эти средства очень дорогие и не всегда эффективные, к тому же для задач производства они должны быть сертифицированы в России.

Если разработчик решил сэкономить и самостоятельно создать СКИМ на базе имеющихся у него отечественных инструментальных средств, то он столкнется с проблемами, как на аппаратном, так и на программном уровне. Окажется, что приборы и интерфейсные платы работают неустойчиво, или не имеют нужных драйверов под выбранную операционную систему, а отечественных универсальных пакетов программных средств нет. Использовать готовые зарубежные программные продукты затруднительно, так как они не ориентированы на отечественные приборы, да и языковый барьер увеличивает сложности. Следовательно, рабочую программу и пользовательский интерфейс придется создавать самим, по шагам реализуя требуемые процедуры управления, типовые методики измерений параметров РА, операции снятия данных с приборов, процедуры их обработки и представления. На выполнение такой работы потребуется много времени и сил. К тому же, возможности создания собственных методов обработки и представления информации будут ограничены профессионализмом инженеров и программистов предприятия. Опыт показывает, что во многих случаях перечисленные сложности становятся непреодолимыми.

Преодолеть проблемы позволяют относительно недавно возникшие технологии виртуальных приборов (ВП). Для отечественных разработчиков СКИМ – это реальная альтернатива привычным приборно-модульным комплексам. Виртуальные СКИМ представляют собой гибкую совокупность аппаратно-программных средств, основой которых является ПК, обеспечивающий алгоритмические измерения, управление экспериментом, цифровую обработку данных, передачу и хранение информации. Суть нового подхода заключается в алгоритмизации измерений, при которых результат получается путем вычислений, т.е. на программном уровне при минимуме аппаратных средств. Основой СКИМ становится персональный компьютер (ПК), который дополняется аналоговыми и цифровыми адаптерами ввода-вывода.

В пособии приведены новые эффективные вычислительные алгоритмы оценки параметров радиосигналов и цепей, эффективно функционирующих в реальном времени и имеющих метрологические характеристики, достаточные для многих практических приложений. В основу книги положены конкретные научно-технические разработки, выполнявшиеся по заказам предприятий, а также лекции, которые читались в те­чение последних 3 года студентам Владимирского государственного университета. Главное и основное внимание об­ращено на описание методов и алгоритмов обработки данных, результатов математического моделирования и программно-аппаратной реализации.

Пособие предназначено для студентов и специалистов в области проектирования компьютерных контрольно-измерительных и испытательных систем различного назначения. Она может быть также полезна широкому кругу специалистов смежных областей, использующих методы цифровой обработки дискретизированных данных, а также преподавателям высших учебных заведений и колледжей, аспирантам и студентам.

E-mail: [email protected]

Глава 1. Методы алгоритмических измерений сигналов во временной области

Рис. 1.1.2. Погрешности нахождения СКЗ с применением коррекции

Рис. 1.1.3. График относительной погрешности для N=2048

Каждая точка графика из их общего числа более 2000 построена путем выполнения процедуры обработки конкретной реализации сигнала для заданного соотношения f/f_д. Каждая реализация содержит N точек, точность оценки которых определяется разрядностью АЦП и уровнем шумов. В этом случае погрешности в каждой точке графика можно рассматривать как инструментальные, обусловленные нелинейностью и шумами квантования АЦП.

Рис. 1.1.4. График относительной погрешности для N=4096

Рис. 1.1.5. График относительной погрешности для N=8192

Рис. 1.1.6. Гистограммы погрешности вычисления СКЗ синусоиды

Гистограммы были построены по результатам 10000 случайных положений точек, распределенных во времени по равномерному закону. Моделирование показало, что при использовании модернизированной формулы Симпсона (средний график) случайная погрешность на два порядка ниже, чем при использовании формулы прямоугольников (нижний график). Для дальнейшего уменьшения погрешности аппроксимации параболой можно использовать другой вариант нахождения суммы через криволинейные трапеции. При этом усредняются суммарные площади криволинейных трапеций протяженностью по оси времени в два дискрета со смещением на один дискрет. Выражение для расчета СКЗ будет иметь следующий вид:

,

где i=1, 2, 3…. ; коэффициенты k_i, b_i , c_i k_j, b_j и c_j находятся по формулам (1.1.7); коэффициенты k_l, b_l и c_l находятся по формулам:

,

, (1.1.9)

.

Результаты компьютерного моделирования распределения погрешности вычисления СКЗ гармонического входного сигнала при суммировании по четным и нечетным компонентам представлены на рис. 1.1.6 (верхний график). Полученные данные показывают, что погрешности уменьшились более чем на порядок. Для нахождения через криволинейные трапеции суммы на одном периоде сигнала последнее значение функции принимается равным первому значению (f_N+1=f₁ , f_N+2=f₂), а положение последнего значения принимается равным периоду сигнала, увеличенному на абсолютное время первого значения (t_N+1= t₁+T_C , t_N+2= t₂+T_C).

Данные математического моделирования погрешности для гармонического сигнала показывают явные преимущества метода нахождения суммы через криволинейные трапеции. Моделирование для пилообразного сигнала, гистограммы которого представлены на рис. 1.1.7, демонстрирует примерно одинаковые результаты для формул прямоугольников и Симпсона.

Однако для других форм сигналов метод расчета по прямоугольникам может быть более точным. Например, таким способом лучше представить импульсный сигнал в виде меандра. Результаты моделирования распределения погрешностей измерения СКЗ меандра при использовании формул прямоугольников и Симпсона показало явное преимущество первого метода, для которого среднеквадратическое отклонение (СКО) равно нулю, т.е. случайная погрешность отсутствует. При этом систематическая погрешность практически отсутствует (ее значение порядка 5*10^-17). В дальнейшем будем считать погрешность на уровне долей процентов (порядка 10^-3) вполне приемлемой, поскольку она удовлетворяет большинству практических измерительных задач.

Рис. 1.1.7. Гистограммы погрешности вычисления СКЗ пилы

Анализ показывает, что для входного сигнала типа меандр нахождение суммы по модернизированному методу Симпсона с суммированием по четным и нечетным компонентам приводит к уменьшению погрешности, хотя заметного улучшения нет. Систематическая погрешность для метода прямоугольников выше, но меньше разброс показаний (СКО). Как для меандра, так и для пилообразного сигнала применение метода Симпсона создает несимметричное распределение, максимум которого смещен относительно центра. Во всех расчетах учтены данные 10000 случайных результатов для N=128. Очевидно, что при увеличении числа отсчетов N погрешности будут уменьшаться.

Таким образом, вычислительные методы измерения СКЗ обеспечивают достаточные для реального применения точностные характеристики. Алгоритмы обработки массива данных определяются измерительной задачей и видом сигнала. Лучшие результаты для сигналов, аппроксимируемых прямоугольниками, дает модернизированная формула прямоугольников. Для плавных функций, типа гармонического сигнала, преимущество имеет модернизированная формула Симпсона.

Рис. 1.2.3. Устройство несинхронизированного стробирования

Интерфейс программы восстановления двух периодов сигнала представлена на рис. 1.2.4. На графиках использована кусочно-линейная аппроксимация между получаемыми точками: вверху – точками, считываемыми последовательно; внизу – точками, временное положение которых восстановлено. Исходные данные для моделирования были выбраны следующие: частота сигнала 500 МГц(T_S=0.002 мкс); M=6883; N=14 (для наглядности графического представления N выбрано малым). Тогда

=0.983285714 мкс;

F_д=1/T_д=1.0169984 МГц.

Допустим, что такую частоту дискретизации физически задать невозможно и ближайшая физически реализуемая частота 1.017 МГц. В этом случае при увеличенном времени восстановления в периоде сигнала будет не 14 точек, а 14 групп точек. Табл. 1.2.1 поясняет, как осуществляется перестановка точек при восстановлении только одного периода сигнала.

Таблица 1.2.1

Время отсчета до (мкс) и после (нс) перестановки
До	После	До	После	До	После	До	После
0,983	1,284	7,866	0,274	14,749	1,263	21,632	0,252
1,967	0,569	8,850	1,558	15,733	0,547	22,616	1,537
2,950	1,853	9,833	0,842	16,716	1,831	23,599	0,822
3,933	1,137	10,816	0,126	17,699	1,116
4,916	0,421	11,799	1,410	18,682	0,401	И так далее
5,900	1,706	12,783	0,695	19,667	1,684
6,883	0,989	13,766	1,979	20,649	0,967

В таблице на рис. 1.2.4 представлен пересчет местоположения каждой точки стробирования в две точки восстановленного сигнала (задали два периода). Граф-схема компьютерного алгоритма несинхронизированного стробирования приведена на рис. 1.2.5. Экспериментальная проверка способа показала, что его работоспособность в значительной степени определяется точностью измерения рабочей частоты.

Рис. 1.2.4. Модель восстановления двух периодов

Реальный интерес представляет анализ погрешностей измерения СКЗ при несинхронизируемом стробировании входного сигнала, когда эквивалентный шаг восстановленного сигнала является переменным.

Оценка СКЗ сигнала

В качестве конкретного примера рассмотрим случай определения СКЗ при несинхронизированном стробировании в 128 точках высокочастотного сигнала, частота которого 500 МГц (период 2 нс). Пусть частота стробирующих цифровых отсчетов мгновенных значений входного сигнала может варьироваться в диапазоне от 1,5 до 2,0 МГц. Результаты моделирования основных характеристик преобразования и возникающих при этом погрешностей представлены на рис. 1.2.6 - 1.2.7.

Рис. 1.2.5. Алгоритм несинхронизированного стробирования

На рис. 1.2.6 представлен случай гармонического входного сигнала, частота которого известна с точностью до 8 знака. Расчет погрешностей осуществлен для 100 точек частоты. При изменении частоты сигнала в пределах 6 знака возникает методическая погрешность, значение которой без корректировки частоты дискретизации при использовании формулы прямоугольников достигает 3*10^-5. Если использовать обычную формулу Симпсона, то погрешность вычислений достигает 1,5*10^-6, а для модернизированной формулы она не более 2,5*10^-10.

Рис. 1.2.6. Моделирование погрешностей вычисления СКЗ

Рис. 1.2.8. Пилообразный сигнал

Рис. 1.2.9. Меандр

Таким образом, способ несинхронизированного стробирования позволяет существенно расширить диапазон рабочих частот и упростить аппаратную часть измерительных преобразователей путем передачи компьютеру функции восстановления сигнала. Несинхронизированное стробирование может совмещаться с преобразованием Фурье, что позволяет проводить спектральный анализ сигналов. Моделирование показало, что при оценке СКЗ и преобразовании Фурье могут использоваться методы прямоугольников и Симсона, из которых пользователь может сделать выбор в зависимости от измерительной задачи.

Рис. 1.3.1. Структурная схема измерения частоты с помощью АЦП

Когда интервал дискретизации значительно меньше периода сигнала (Т_д T_с), можно выбрать достаточно большое время измерения kT_с и определить неизвестную частоту методом дискретного счета: f_с=1/T_с (N+1/2)/(Т_дk). При этом целое число периодов сигнала k может быть найдено алгоритмически с учетом выбранного уровня измерения путем подсчета периодов сигнала в интервале kT_с, а максимальнаяотносительнаяметодическая погрешность квантования по модулю будет достигать значения Т_д/(2kT_с). Например, для kT_с=1с и Т_д=10мкс получим погрешность на уровне 10^-5, что не удовлетворяет многим измерительным задачам. Значение Т_д=10мксбыло взято как наиболее часто используемый период дискретизации в недорогих АЦП (f_д=100кГц). В условиях наложения внешних помех и влияния собственных шумов АЦП результирующая погрешность может дополнительно увеличиться. К тому же время счета 1с очень большое.

Рис. 1.3.2. Получение мгновенных отсчетов при одноуровневой интерполяции

Если вместо обычного счетчика использовать АЦП, можно в процессе обработки данных учесть информацию о мгновенных значениях сигнала в каждой точке и за счет этого повысить помехозащищенность, быстродействие и точность измерений. Для этого предлагается [5]: во-первых - использовать интерполяцию, например, линейную, между ближайшими отсчетами; во-вторых - усреднять результаты по совокупности измерений частоты, выполненных на нескольких уровнях начального и конечного монотонных интервалов, признанных пригодными для вычислений. Для линейной интерполяции между точками (t_N0, U_N0) и (t_N1, U_N1) интервал времени kТ_c, равный целому числу k периодов сигнала T_c, можно вычислить по формуле:

(1.3.1)

где N=ent(kT_д/T_с)– целое число отсчетов (остаток отбрасывается) мгновенных значений сигнала, укладывающихся в интервале времени kT_д; U₀– мгновенное значение из массива дискретных данных, полученных на начальном участке изменения сигнала, удовлетворяющего требованиям монотонности; U_N0 и U_N1- ближайшие к U₀ соответственно снизу и сверху мгновенные значения, выбранные из массива дискретных данных, полученных на конечном монотонном участке сигнала.

Формула (1.3.1) может быть использована для измерения частоты (f_с=1/T_с)с помощью ПК в том случае, если в процессе получения мгновенных значений не было заметного влияния помех и шумов АЦП. Когда помехами и шумами пренебречь нельзя, то следует провести измерение частоты на нескольких уровнях, как показано на рис. 1.3.3, и затем усреднить результаты. Заметим, что при современных вычислительных возможностях ПК время, затрачиваемое на обработку данных, составит лишь незначительную долю от времени оцифровки нескольких периодов низкочастотного сигнала.

Предварительную обработку массива данных следует осуществлять для поиска монотонных участков изменения периодического сигнала на передних и задних его «фронтах». В простейшем случае можно сравнивать пошаговое приращение или убывание отсчетов мгновенных значений.

В общем случае для произвольного m-ого уровня интерполяции, где mпринимает значения от 0 до р-1, что означает р точек дискретизации на начальном участке функции и р+1 точка на конечном участке, формула (1.3.1) будет иметь вид:

(1.3.2)

Среднее значение для q уровней измерения и усреднения можно найти по формуле:

Рис. 1.3.3. Получение массива отсчетов при многоуровневой интерполяции

Усреднять результаты измерения частоты на нескольких уровнях можно с использованием всей совокупности данных или по совокупности только независимых отсчетов, когда каждое значение используется в вычислениях только один раз. В последнем случае на начальном участке сигнала надо взять отсчеты через один, а на конечном - все. Возьмем для усреднения q уровней интерполяции в точках, соответствующих моментам времени t₀, t₂, … t_p-1. Текущее значение m=0, 2, 4 … 2(q-1). При этом p=2q и среднее значение периода сигнала будет вычисляться по формуле:

(1.3.3)

Оценим погрешность измерения периода в зависимости от погрешностей мгновенных значений, обусловленных шумами и помехами. При этом инструментальную погрешность из-за нестабильности кварцевого генератора АЦП учитывать пока не будем, так как нас интересуют предельные возможности рассматриваемого метода многоуровневой интерполяции. Поскольку измерения косвенные, то значение среднеквадратического отклонения (СКО) оценки периода сигнала s находится через частные производные функции по всем учитываемым аргументам [5]. Для упрощения записи введем обозначения:

; ;

; .

Здесь - изменение мгновенных значений сигнала в соседних отсчетах уровня m; - изменение мгновенных значений сигнала в начале и в конце интервала измерения на уровне m, причем в конце выбирается ближайший снизу отсчет.

Поскольку метод измерения косвенный, то необходимо найти частные производные функции по всем учитываемым аргументам, которые будут иметь вид:

Будем считать, что в начале и в конце оцифровки сигнала сохраняются основные его характеристики на всех уровнях измерения, т.е. в выбранном интервале времени функция близка к линейной.

Тогда: (1.3.4)

Примем также, что среднеквадратические отклонения оценки мгновенных значений всех отсчетов, обусловленные помехами и шумами АЦП, одинаковые и равны

,

где - составляющая, обусловленная конечной битностью АЦП; - составляющая, обусловленная внешними шумами и внутренними шумами АЦП. Тогда с учетом (1.3.4) формула для абсолютного значения СКО оценки периода сигнала будет иметь вид:

Относительную величину СКО можно представить в виде выражения:

Для получения численных значений СКО примем:

где b – коэффициент, лежащий в диапазоне от 0 до 1; s^_U– среднеквадратическое значение погрешности отсчета, приведенное к средней разнице соседних мгновенных значений. С учетом введенных обозначений

(1.3.5)

Рассмотрим поведение функции в интервале для N=10000. Характер поведения функции при увеличении или уменьшении N не изменится. Как следует из приведенного на рис. 1.3.4 графика, самый неблагоприятный случай будет при b=0 и b=1. При этом функция f(b) и соответственно СКО максимальны:

Результаты расчетов СКО по формуле (1.3.5) для наихудшего случая приведены на рис. 1.3.5 – 1.3.8. Графики представлены в логарифмическом масштабе. Из приведенных графиков следует, что увеличение числа уровней измерения способствует фильтрации случайной погрешности, которая уменьшается пропорционально , что и ожидалось. Для рассмотренного в начале параграфа примера дискретного счета в течение1 с при Т_д =10 мкс и N=10⁵погрешность находится на уровне 10^-5. С учетом внешних помех и шумов СКО будет порядка 2*10^-5.

Рис. 1.3.4. Поведение функции f(b) в диапазоне

Рис. 1.3.5. Зависимость СКО от N для

Оценим численные значения погрешностей для рассмотренного метода измерения на одном и 100 уровнях с последующей интерполяцией и вычислением частоты или периода. Для того же значения N=10⁵ выберем реальную разрядность АЦП 12 бит и ограничимся суммарными шумами . При этом будем считать, что учтены внешние помехи и шумы АЦП. Тогда получим минимальные значения СКО: для измерения на одном уровне; для измерения на 100 уровнях. Таким образом, случайная погрешность при измерении на одном уровне уменьшается на порядок, а при выборе 100 уровней – еще на порядок. Используя АЦП большей разрядности и методы цифровой фильтрации данных, можно дополнительно повысить точность оценки частоты сигнала. Для увеличения количества уровней в два раза нужно осуществлять оцифровку, как при возрастании, так и при убывании функции.

Рис. 1.3.6. Зависимость СКО от N для q=50

Рис. 1.3.7. Зависимость СКО от для N=10000

Можно также взять все отсчеты мгновенных значений сигнала на начальном участке функции, тогда для формулы (1.3.3) количество уровней q (m=0, 1, 2, … q-1; p=q) дополнительно возрастет в два раза. В этом случае все промежуточные отсчеты конечного участка будут использоваться в вычислениях дважды. Моделирование показало, что применение всей базы данных начальных отсчетов дополнительно уменьшает СКО примерно в раз. На рис. 1.3.9 приведена гистограмма распределения погрешности, построенная по данным 1000-кратной оценки частоты методом интерполирования и усреднения результатов дискретизации периодического сигнала на 50 уровнях для N=100000 и . Отношение временного интервала считывания данных Т_д к периоду сигнала (T_с/T_д) в расчетах взяторавное 300, хотя оно лишь ограничивает число реализуемых уровней измерения и на точность не влияет. Необходимое число точек дискретизации можно получить даже на одном периоде сигнала.

Рис. 1.3.8. Зависимость СКО от для q=50

Вычисленное значение s =1.8*10^-7. На рис. 1.3.10 значение N взято на порядок меньше (10000) и соответственно увеличилась величина s=1.9*10^-6. На рис. 1.3.11 и 1.3.12 приведены аналогичные гистограммы для меньшего уровня суммарных шумов

Рис. 1.3.9. Гистограмма оценки частоты для N=100000,	Рис. 1.3.10. Гистограмма оценки частоты для N=10000,

Рис. 1.3.11. Гистограмма оценки частоты для N=100000,

Рис. 1.3.12. Гистограмма оценки частоты для N=10000,

Результаты моделирования хорошо согласуются с данными, представленными на рис. 1.3.5 – 1.3.8. Некоторые различия обусловлены тем, что значение функции f(b) в теоретических расчетах было взято в максимуме.

В целом, полученные результаты анализа и моделирования позволяют сделать вывод о целесообразности применения метода многоуровневого интерполирования и усреднения результатов в задачах оценки частоты при наличии внешних и внутренних шумов квантования. При этом могут решаться задачи повышения быстродействия, подавления шумов и повышения точности оценки частоты периодического сигнала.

Рис. 1.4.1. Структурная схема измерения сдвига фазы с помощью АЦП

а) б)

Рис. 1.4.2. Получение массива мгновенных отсчетов на выходе АЦП при одноуровневой и многоуровневой интерполяции

Для нахождения временного или фазового сдвига методом многоуровневого аналого-цифрового преобразования и интерполирования необходимо провести нормировку полученных данных, при которой каждый отсчет делится на среднеквадратическое значение (СКЗ) сигнала соответствующего канала. После выполнения процедуры нормировки всех значений в обоих каналах временная задержка между двумя идентичными по форме сигналами может определяться на любом уровне. На рис. 1.4.2а показан принцип определения временного сдвига t₀ между двумя идентичными по форме сигналами. При использовании линейной интерполяции между точками U₂₀ (момент времени t₂₀) и U₂₁ (момент времени t₂₁) задержку t₀ можно вычислить по формуле:

(1.4.1)

где D=ent(t₀/T_д)– целое число отсчетов (остаток отбрасывается) сигнала, укладывающихся в интервале времени t₀; U₁₀– минимальное мгновенное значение из массива дискретных данных, полученных на начальном участке первого сигнала; U₂₀ и U₂₁- ближайшие к U₁₀ соответственно снизу и сверху мгновенные значения, выбранные из массива дискретных данных, полученных для второго канала.

В общем случае для произвольного m-ого уровня (см. рис. 1.4.2б), где mпринимает значения от 0 до р, формула (1.4.1) преобразуется и будет иметь вид:

(1.4.2)

Среднее значение задержки можно найти по формуле:

(1.4.3)

где q=round(p/2) – количество уровней измерения, m=0,2,4…2(q-1).

Оценим погрешность измерения задержки в зависимости от погрешностей мгновенных значений, обусловленных шумами и помехами. При этом погрешность, типичную для метода дискретного счета и обусловленную нестабильностью кварцевого генератора АЦП, учитывать пока не будем, так как нас интересуют предельные возможности рассматриваемого метода многоуровневого аналого-цифрового преобразования и интерполирования. Поскольку метод измерения косвенный, то необходимо найти частные производные функции по всем учитываемым аргументам. Для упрощения записи введем обозначения:

; .

Здесь - разница между мгновенными значениями опорного и измерительного сигналов на уровне m; - приращение мгновенных значений опорного сигнала в соседних отсчетах уровня m для выбранного диапазона монотонного участка. Тогда частные производные будут иметь вид:

Для получения упрощенной математической модели будем считать, что на начальном и конечном участках изменения сигналов сохраняются их основные характеристики на близких уровнях измерения, т.е.:

Примем также, что СКО оценки мгновенных значен