В свете свойств группы движений

Прежде всего, покажем как отношение пропорциональности на множестве пар отрезков может быть построено с опорой на теоремы Паппа и Дезарга в их аффинном варианте, а затем теорему Паппа докажем, используя специфическое положение осевых симметрий в группе движений. Сформулируем эти теоремы.

Теорема Паппа:Если тройки попарно противоположных точек А₁, А₂, А₃ и В₁, В₂ , В₃ шестивершинника А₁В₃А₂В₁А₃В₂ принадлежат прямым q и gсоответственно и при этом А₁В₂ ║ А₂В₁ и А₂В₃║ А₃В₂, то А₁В₃║А₃В₁ (см. рис.20, левая часть)

Рис.20

Теорема Дезарга:Если вершины двух треугольников АВС и А¢В¢С¢ попарно принадлежат трем пересекающимся в одной точке прямым a, b, c соответственно, то естьА и А¢ – прямой а, В и В¢ – прямойb и С и С¢– прямой с, и при этом АВ ║А¢В¢ и АС║А¢С¢, то ВС║В¢С¢ (рис.20, правая часть)

Отметим, что верны и обратные теоремы. Используем их при построении теории пропорциональности пар отрезков.

Определение:Упорядоченная пара отрезков аи bпропорциональна

упорядоченной паре отрезков cиd, если для отрезков ОА и ОВ, конгруэнтных соответственно отрезкам aиb,отложенным от вершины О неразвернутого угла Ðhk на сторонеh, и отрезков ОC и OD, конгруэнтных соответственно отрезкам cиd, отложенным на сторонеkназванного угла, прямые АС и BD параллельны.

Прежде всего следует убедиться в том, что пропорциональность пар

(a, b) и (c, d) не зависит от выбора Ðhk.

В случае, когда ОА @ ОС и OB @ OD, прямые АС и BD параллельны (рис.21)

h

B

A

m

O

C

D k

Рис.21

Пусть m – медиатриса АС, тогда m проходит через О и m ^ AC (1).Очевидно, что h k, а значит в следствие того, что OB @ OD и B D. Таким образом,m ^ BD (2). На основании (1) и (2) заключаем, что АС║BD.

Теперь пусть имеем два неравных неразвернутых угла Ðhk и Ðh¢k¢ с вершинами О и О¢. На лучах h и h¢ от их начал, точек О и О¢, откладываем отрезки ОА и OB, O¢A¢ и O¢B¢, равные соответственно данным отрезкам aиb.На лучах k и k¢ от О и О¢ точно так же откладываем отрезки ОС и OD и О¢С¢ и O¢D¢ равные соответственно данным отрезкам c и d(рис.22).

Рис. 22

Пусть АС ║ ВD. Требуется доказать, что А′С′ ║ В′D′.

Строим угол Ðh′k₁, конгруэнтный Ðhk и на k₁ откладываем отрезки О′С₁ и О′D₁ соответственно конгруэнтные с и d, а значит О′С′ и О′D′.

Тогда С₁С′║D₁D′ в силу рассмотренного выше случая.

Существует движение, отображающее Ðhk в угол Ðh′k₁, которое отобразит

А →А′, В→В′ и С→С₁ D→D₁. Параллельность прямых при движении сохраняется. Поэтому в следствии того, что АС║ВD и А′С₁║ В′D₁ . Треугольники А′С₁С′ и В′D₁D′ находятся в условиях теоремы Дезарга, а потому А′С′║В′D′.Что и требовалось доказать.

Итак, отношение пропорциональности пар (а, b) и (c, d) – внутреннее свойство самих пар. В этом смысле данное выше определение пропорциональности корректно.

Заметим, что отношение пропорциональности – отношение эквивалентности на множестве пар отрезков. Рефлексивность отношения в сущности доказана нами выше. Симметричность – следствие существования движения, отображающего Ðhk в угол Ðkh, транзитивность – следствие теоремы Дезарга (см. рис. 23). Здесь (а,b) пропорциональна (c,d), а (c,d) пропорциональна (m, n). В ∆АСМ и ∆BDN АС║ВD и CМ║DN. Отсюда AM║BN. Что и означает пропорциональность

(а, b) и (m, n).

Рис. 23

Введем для обозначения пропорциональности, как отношения эквивалентности, часто используемый в таком случае знак =, записывая при этом пару отрезков (а, b) в виде . Тогда запись представляет пропорциональность пар (а, b) и (c, d). Отметим теперь основные свойства пропорциональности пар отрезков.

Свойство 1.Если а @ bи с @ d ,то .

Это свойство с очевидностью вытекает из определения, если мы признаем за параллельные прямые совпадающие прямые.

Свойство 2.Если , то любой из отрезкова, b, с, dможет быть заменен ему конгруэнтным.

Свойство 3.Если и а @ b, то с @ d.

Отложив на сторонах углаÐhk соответствующим образом отрезки ОА, ОВ, ОС, ОD, мы получаем АС║BD. Так как точки А и В совпадают

(а @ b),то и прямые АС и BD совпадают. Поэтому совпадают и точки С и D, что и означает с @ d.

Свойство 4.Если , то .

В силу условия АС║BD для соответствующих отрезков ОА, ОВ и ОС, ОD.Отношение параллельности обладает свойством симметрии, поэтому BD║АС, т.е. пара отрезков ОВ, ОА пропорциональна паре ОD, ОС или .

Свойство 5.Если , то (перемена местами средних членов пропорции).

Рис. 24

Смотрите рисунок 24. По условию АС║BD. Пусть ОС₁@ с и ОВ₁ @ b. Шестивершинник САВ₁ ВDС₁, как несложно видеть, находится в условиях теоремы Паппа: СА ║ BD по условию, С₁С ║ В₁В, т.к. ОС₁ @ ОС и

ОВ₁ @ ОВ.

Следовательно: АВ₁║С₁ D, что и означает: .

Свойство 6. Если и а@с,тоb@d

Это свойство соответствует случаю, когда точки А и С, отвечающие отрезкам ОА и ОС, симметричны относительно прямой, содержащей биссектрису соответствующего угла Ðhk. В этом случае точки В и D, отвечающие отрезкам ОВ и ОD, так же симметричны, а потому ОВ@ОD,

т.е. b @ d.

Свойство 7.Если и , то .

Согласно свойству 5 из следует и а из следует .

По транзитивности , а отсюда по свойству 5 .

Свойство 8.Если , то .

Рис. 25

На сторонах угла Ðhk с вершиной О отложены отрезки ОА @ а,

ОВ @ b, (на стороне h). OC @ cи OD @ d(на стороне k) По условию АС║BD.

1. Через А проводим прямую параллельную k, через D – прямую, параллельную h. Точку пересечения этих прямых обозначим Р.

2. Через В проводим прямую, параллельную k, через С – прямую параллельную h. Точку пересечения этих прямых обозначим Q.

3. Докажем, что прямая РQ параллельна прямым АС и ВD. Точку пересечения BD и CQ обозначим L, а точку пересечения прямых АР и BD обозначим через М.

4. Рассмотрим треугольники ∆BLQ и ∆MDP. Нетрудно видеть, что они находятся в условиях теоремы Дезарга (в нашем ее представлении, эти треугольники находятся в условиях обратной теоремы), стороны треугольников попарно параллельны: BQ║AP, QL║PD и BL║MD.Значит, прямые соединяющие сходственные вершин В и М, L и D, Q и P принадлежат одному пучку. Но в этом пучке прямых ВМ, LD и QP, одна пара прямых – прямые параллельные, в нашем случае – это ВМ и LD (они совпадают). Следовательно, пучок прямых ВМ, LD и QP – пучок параллельных прямых, таким образом QP║BM, что то же самое QP║BD, а значит и QP║АС. Пусть QP пересекает h в точке А₁, а k в точке С₁.

5. Полученный выше результат означает, что пары отрезков (ОА_1, ОА) и (ОС₁,ОС) пропорциональны

6. Докажем, что ОА₁ @ а + b, а ОС₁ @ с + d.

а) CQ @ OB @ b из параллелограмма OBQC

b) CQ @ AA₁ из параллелограмма ACQA₁

Из а) и b) следует АА₁@b

Точно также, рассматривая параллелограммы OAPD и CAPС₁, заключаем СС₁ @ d.

Но ОА₁@ОА+АА₁, а ОС₁=ОС+СС₁, что и приводит нас к результату:

ОА₁@а + b и ОС₁= с + d.

6. Теперь рассматриваем пары (ОА₁, ОА) и (ОС₁,ОС). Так как А₁С₁ это и есть прямая PQ, а PQ║АС, то пары (ОА₁,ОА) и (ОС₁,ОС) пропорциональны. Это и означает, что .

Замечание.1.Если рассматривать числовые пропорции, представляющие равенства двух числовых отношений, то для числовых пропорций выполняются все те свойства, которые мы получили для пропорциональности пар отрезков. Таким образом, пропорциональность, как отношение на множестве пар элементов тех или иных множеств (множеств отрезков, множеств чисел) характеризуется перечисленными выше свойствами 1-8.

2. Традиционная теория пропорций, берущая свое начало в работе французского математика XVIII – XIX в.в. А.Лежандра «Элементы геометрии», базируется на понятии числовой пропорции, к которой мы переходим, заменяя отрезок его длиной. Как видим, базовые результаты этой теории (свойства пропорций) полностью совпадают с результатами приведенного выше геометрического построения пропорциональности отрезков.

3. Арифметическое определение пропорциональности отрезков в геометрии не может быть использовано непосредственно. Поэтому рассматривается теорема «о пропорциональных отрезках отложенных на сторонах угла». Эта теорема фактически заменяет арифметическое определение пропорций его геометрическим эквивалентом, каковым и является рассмотренное нами геометрическое определение пропорциональности.

4. При геометрическом определении пропорций обнаруживается фундаментальная роль теорем Паппа и Дезарга. Показав, что эти теоремы можно доказать, используя свойства группы движений, мы отчетливо увидим значение последних для евклидовой геометрии в целом.

Перейдем к доказательству теорем Паппа и Дезарга на основе свойств группы движений плоскости. Начнем с построения счисления симметрий, которое и позволит нам доказать указанные выше теоремы. Будем рассматривать отображения множества движений плоскости на себя, которые определим, используя алгебру движений плоскости.

Отображение Dна себя определим функционально: всякому d из множества D ставим в соответствие d¢, которое определяется по формуле

d¢=d₀ ◦d ◦ d^-1₀ , где d₀ –некоторое фиксированное движение из D.

Нетрудно убедиться в том, что всякое такое отображение D ® D при фиксированном d₀ есть взаимно однозначное отображение. Более того, это отображение сохраняет групповую структуру D, а потому является автоморфизмом этой группы.

Будем обозначать образ элемента d группы Dпри ее автоморфизме, определенном фиксированным d₀, в степенном виде: т.е. .

Такое обозначение оправдывается следующими свойствами этих отображений:

1. = d₂ ◦ (d₁ ◦ d ◦ d₁^-1) ◦ d₂^-1= (d₂ ◦ d₁) ◦ d ◦ (d₂ ◦ d₁)^-1 =

2. (d₂ ◦ d₁)^d = d ◦ (d₂ ◦ d₁) ◦ d^-1= (d ◦ d₂ ◦ d^-1) ◦ (d ◦ d₁ ◦ d^-1) = d₂ ^d ◦ d₁^d

3. (d^-1) = d₁◦ d^-1 ◦ d₁^-1 = (d₁ ◦ d ◦ d₁^-1)^-1 =

Пусть А - неподвижная точка d. d₀ задает автоморфизм D и .

d₀ (А) обозначим А₀. Имеем: А₀ А А А₀, то есть

А₀ А₀. Иначе говоря, если для d есть инвариантная точка, то ее образ при d₀ является инвариантной точкой для d¢. Верно и обратное: если

А₀ – неподвижная точка для некоторого d¢ , то ее прообраз А при движении d₀, задающем автоморфизмD, есть неподвижная точка для движения d.

Отсюда следует, что количество неподвижных точек плоскости относительно d и d¢ одно и тоже, более того, если d представлено произведением осевых симметрий, то и d¢ оказывается представленным произведением такого же числа осевых симметрий как и d , причем оси этих симметрий расположены по тому же типу, что и оси симметрий в представлении d. Это позволяет заключить, что вид движения при автоморфизме D сохраняется. В частности, автоморфизм D переводит осевую симметрию s_а в осевую симметрию _, центральную симметрию s_А в центральную симметрию , где а₀=d₀ (а) и А₀=d₀(А).

Между множеством прямых плоскости и множеством ее осевых симметрий устанавливается взаимно однозначное соответствие s_а « а, точно также и между множеством центральных симметрий плоскости и множеством точек плоскости – взаимно однозначное соответствие s_А « А. Поэтому верны следующие соотношения:

1. d(А)=В тогда и только тогда, когда s_А^d =s_В;

2. d(а)= b тогда и только тогда, когда s_а^d = s_b.

Соотношения 1. и 2. позволяют выразить некоторые основные отношения между точками и прямыми на языке алгебраических отношений между осевыми и центральными симметриями. Для удобства в дальнейшем обзоре счисления симметрий будем обозначать осевые и центральные симметрии так же, как обозначают прямые и точки, т.е. малыми и большими буквами латинского алфавита, например, а и А. Покажем примеры перевода некоторых отношений между точками и прямыми на язык алгебры центральных и осевых симметрий.

1. «Точка А принадлежит прямой а» эквивалентно любому из соотношений: а^А = а, или А^а = А. Так как а^А = а означает

А ◦ а◦ А^-1 = а , то получаем

А ◦ а= а◦ А. Иначе говоря, «А принадлежит прямой а» на языке алгебры автоморфизмов D означает, что имеет место коммутативность для осевой и центральной симметрий, т.е. равенство А ◦ а= а◦ А.

2. а^b эквивалентно а^b = аили b^a = b. Отсюда а◦ b= b◦ а при а¹b. Иначе говоря, коммутативность умножения осевых симметрий при различии их осей означает ортогональность соответствующих прямых.

3. Равенство В◦А=C◦D при различных А, В, С и D означает, что АВСD – параллелограмм. Иначе говоря, оно имеет место тогда и только тогда, когда АВСD – параллелограмм.

Итак, А,В,С,D – последовательные вершины параллелограмма, τ – параллельный перенос, отображающий А в B. Тогда D C. Из условия следует, что t ◦А◦t^-1=В. Отсюда получаем А◦В= (t ◦ t)^-1. Точно так же для точек D и С получаем D ◦ C=(t ◦ t)^-1 . Оба равенства легко приводятся к виду В◦А= t◦t и С ◦D=t◦t. Отсюда В◦А= С ◦D.

Обратное доказывается в обратном порядке с опорой на тот факт, что для любых центральных симметрий А и В В ◦ А – параллельный перенос, а для всякого параллельного переноса t¢ найдется такой параллельный перенос t, что t¢=t ◦ t.

4. «Прямые а, b и с принадлежат одному пучку» тогда и только тогда, когда а ◦ b ◦ с = d (т.е. осевая симметрия).

5. «Точки А, В и С коллинеарны» эквивалентно (А ◦В ◦ С)²= 1.

Ограничившись этими примерами, перейдем к доказательству теоремы Паппа. Сначала рассмотрим три утверждения, играющие, как мы увидим, вспомогательную роль для доказательства этой теоремы, естественно их назвать по этой причине леммами.

Лемма 1: Если АВСD – параллелограмм и прямые а,b,с и d проходят

через вершины А, В, С и D этого параллелограмма, причем а║b║с║d , то а ◦ b= d ◦ с.

Рис.26

По условию: А ◦ а = а ◦ А (1)

В ◦ b = b ◦ В (2)

С ◦ с = с ◦ С (3)

D ◦ d = d ◦ D (4)

Перемножим почленно равенства (1), (2), и (3).

А ◦ а ◦ В ◦ b ◦ C ◦ c= а ◦ А◦ b ◦ B ◦ c ◦ C (5)

Преобразуем в отдельности левую и правую части равенства (5), используя (2) и коммутативность умножения параллельных переносов:

А ◦ а ◦ В ◦ b ◦ C ◦ c= А ◦ (а ◦ b) ◦ (В ◦ C)◦ c = (А ◦ В ◦ C) ◦ (а ◦ b ◦ c). Точно так же получаем а ◦ А ◦ b ◦ В ◦ c ◦ C= (а ◦ b ◦ c) ◦ (А ◦ В ◦ C) .

Из условия «А, В, С, D - вершины параллелограмма» получаем

А ◦ В = D ◦ C, а отсюда А ◦ В ◦ C =D.

Из параллельности а, b и с получаем а ◦ b ◦ c=d₁

С учетом этих результатов равенство (5) предстает в виде D ◦ d₁ = d₁ ◦ D. Это означает, что D Î d₁, иначе d₁ проходит через D, но d₁ принадлежит пучку прямых а, b и с, а потому d₁║ а , d₁║b, d₁║ c, а это означает и параллельность прямых d₁ и d. Так как d₁ и d проходят через одну точку D, то d₁ = d. Таким образом, а ◦ b ◦ c = d.Отсюда а ◦ b= d ◦ c.

Лемма 2. Еслиd₁₁, d₁₂ , d₁₃ иd₂₁, d₂₂ ,d₂₃ -движения плоскости, причем восемь из девяти возможных произведений вида d_1i◦d_2j

(i, j = 1,2,3) являются осевыми симметриями, то и соответствующее девятое произведение – осевая симметрия.

Для удобства «осевая симметрия» в дальнейшем заменяется на «прямая». Представим все произведения d_1i◦d_2jв таблице 1.

	d21	d22	d23
d11	d11 ◦ d21	d11◦ d22	d11 ◦ d23
d12	d12 ◦d21	d12 ◦d22	d12 ◦ d23
d13	d13 ◦d21	d13 ◦d22	d13 ◦d23

Таблица 1

Пусть все элементы на пересечениях строк и столбцов таблицы кроме d₁₃ ◦d₂₃ являются прямыми. Тогда (d_1i◦d_2j )^-1= d_1i◦d_2jдля всех возможных значений i и j, кроме i = j = 3.

Запишем очевидные два ряда равенств

(d₁₁ ◦ d₂₁)^-1 ◦ (d₁₁◦ d₂₂) = (d₁₂ ◦ d₂₁)^-1◦ (d₁₂ ◦ d₂₂) = (d₁₃ ◦ d₂₁)^-1◦ (d₁₃ ◦ d₂₂)(1) и (d₁₁ ◦ d₂₁)^-1◦ (d₁₁◦ d₂₃) = (d₁₂◦ d₂₁)^-1◦ (d₁₂ ◦ d₂₃) (2)

Каждая скобка в равенствах (1) и (2) есть прямая. Каждое из равенств сводится к соотношению вида а ◦ b ◦ c = d. Это значит, что прямые, являющиеся «скобками» в равенстве (1), принадлежат одному пучку и точно так же для равенства (2). Эти два пучка имеют пару общих прямых (d₁₁ ◦ d₂₁)^-1и (d₁₂ ◦ d₂₁)^-1,а потому совпадают. Итак, все прямые d_1i◦d_2j,кромеd₁₃ ◦d₂₃ -прямые, принадлежащие одному пучку.

(d₁₃ ◦ d₂₁)^-1 ◦ (d₁₃◦ d₂₃) = (d₁₁ ◦ d₂₁)^-1◦ (d₁₁ ◦ d₂₃) ,отсюда

d₁₃ ◦ d₂₃= (d₁₃ ◦ d₂₁)◦(d₁₁ ◦ d₂₁)^-1 ◦ (d₁₁◦ d₂₃).

В правой части имеем, произведение трех прямых одного пучка. Это означает, что d₁₃ ◦ d₂₃ –прямая.

Лемма 3.Пусть прямая g пересекает стороны с₁ ,с₂ и с₃ треугольника С₁С₂С₃ в точках В₁, В₂ и В₃ соответственно, причем через точки В₁, В₂, С₁, С₂ , С₃ проведены параллельные между собой прямые b₁, b₂, а₁, а₂, а₃ так, что при этом а₁◦ а₂= b₂ ◦ b₁ . Тогда прямая b₃, для которой b₃ ◦ b₂ = а₂ ◦ а₃ проходит через В₃ (рис.27).

Рис. 27

Запишем условия теоремы на языке счисления симметрий:

1. а₁ ◦ а₂ = b₂◦ b₁ , а₂ ◦ а₃ = b₃ ◦ b₂;

2. с₁ ◦ а₃ ◦ с₂, с₂ ◦ а₁ ◦ с₃ , с₃ ◦ а₂ ◦ с₁ – прямые,

3. с₁ ◦ b₁ ◦ g, с₂ ◦ b₂ ◦ g - прямые.

Обратимся к двум тройкам движений с₁ ◦ b₁, c₂ ◦ b₂, c₃ ◦ b₃ и

b₁◦ a₂ ◦ c₃, b₂ ◦ a₃ ◦ c₁, g. В силу равенств 1. b₁ ◦ a₂ = b₂ ◦ a₁ и b₂ ◦ a₃ = b₃ ◦ a₂ (меняем при этом в каждом равенстве порядок сомножителей).

Поэтому b₁ ◦ a₂ ◦ c₃ = b₂ ◦ a₁ ◦ c₃ и b₂ ◦ a₃ ◦ c₁ = b₃ ◦ a₂ ◦ c₁.

Составим таблицу произведений двух троек движений: с₁◦ b₁, c₂ ◦ b₂,

c₃ ◦ b₃ и b₁ ◦ a₂ ◦ c₃, b₂ ◦ a₃ ◦ c₁, g.

	b1 ◦ a2 ◦ c3	b2 ◦ a3 ◦ c1	g
с1◦ b1	c1 ◦a2 ◦ c3	(b1◦ b2 ◦ a3)	c1 ◦ b1◦ g
c2 ◦ b2	c2 ◦ a1 ◦c3	c2 ◦ a3 ◦ c1	c2 ◦ b2 ◦ g
c3 ◦ b3	(b3◦ b2 ◦ a1)	с3 ◦ a2 ◦ c1	c3 ◦ b3 ◦ g

Таблица 2

В силу условия 2. с₁ ◦ а₂ ◦ с₃, с₂ ◦ а₁ ◦ с₃, с₂ ◦ а₃ ◦ с₂, с₃ ◦ а₂ ◦ с₁ – прямые. По условию леммы а₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃ – прямые, принадлежащие одному пучку. Поэтому b₁ ◦ b₂ ◦ a₃ и b₃ ◦ b₂ ◦ a₁являются прямыми, а значит (b₁ ◦ b₂ ◦ a₃) и (b₃◦ b₂ ◦ a₁) – прямые. В таблице 2. содержатся еще две прямые c₁ ◦ b₁◦ g и c₂ ◦ b₂ ◦ g в силу условия 3. Таким образом, восемь движений из девяти, содержащихся в таблице 2 есть прямые. В силу леммы 2 девятое движение

c₃ ◦ b₃ ◦ g – прямая, а это значит, что прямые с₃, g, b₃ принадлежат одному пучку, который определяется прямыми c₃ и g. Но c₃ и g по условию имеют общую точку B₃. Значит, b₃ проходит через В₃.

Теорема Паппа(аффинный вариант): Если две тройки точек А₁, А₂, А₃ и В₁, В₂, В₃, являющихся попарно противоположными вершинами шестиугольника А₁В₃А₂В₁А₃В₂, принадлежат двум прямым и при этом А₁В₂ ║ А₂В₁ и А₂В₃ ║ А₃В₂, то и А₁В₃ ║ А₃В₁.

Рис.28

1. Обозначим прямые, на которых лежат А₁, А₂, А₃ и В₁, В₂, В₃ буквами q и g соответственно.

2. Через В₂ проведем прямую с₂ параллельно прямой q. Она пересекает А₂В₃ в точке С₁, а прямую А₂В₁ в точке С₃. Четырехугольники А₁В₂С₃А₂ и А₂С₁В₂А₃ – параллелограммы по условию теоремы и по построению прямой с₂.

3. Через точки С₁, С₃ и А₂ проводим прямые а₁, а₃ и а₂ параллельно прямой А₃В₁, которую еще обозначим b₁. Точно так же через В₂ и А₁ проводим прямые b₂ и b₃ параллельно b₁, то есть А₃В₁.

4. По лемме 1 а₁ ◦ а₂ = b₂ ◦ b₁ и a₂ ◦ a₃ = b₃ ◦ b₂. Обозначив С₁С₃ через с₂, С₁А₂ через с₃ и А₂С₃ через с₁, получаем: с₁ ◦ а₃ ◦ с₂, с₂ ◦ а₁ ◦ с₃, с₃ ◦ а₂ ◦ с₁, с₁ ◦ b₁ ◦ g и c₂ ◦ b₂ ◦ g – прямые.

Таким образом, треугольник С₁А₂С₃ и прямые g, a₁, a₂, а₃, b₁, b₂, b₃находятся в условиях леммы 3. Следовательно, b₃проходит через В₃, иначе говоря А₁В₃ и есть прямая b₃, которая по построению параллельна А₃B₁.

Итак, А₁В₃ ║ А₃В_1.

Теорема Паппа предстала следствием наличия у группы D системы инволютивных образующих, каковыми в случае двумерного пространства являются осевые симметрии.

Теорема Дезарга, ее выше сформулированный аффинный вариант, является следствием теоремы Паппа. Доказательство этой теоремы в такой форме позаимствуем у Д.Гильберта (см. Д.Гильберт «Основания геометрии»). Для удобства формулировку теоремы повторим.

Теорема Дезарга (аффинный вариант): Если вершины двух треугольников АВС и А¢В¢С¢ попарно принадлежат трем пересекающимся в одной точке прямым а, b, c соответственно, то есть А и А¢ –прямой а, В и В¢ прямой b, С и С¢ – прямой с, и при этом АВ ║ А¢В¢ и АС ║ А¢С¢, то ВС ║ В¢С¢.

Используем рисунок 29.

Рис.29

Рассмотрим случай: стороны АС и А¢С¢, АВ и А¢В¢ непараллельны

прямым b, c соответственно.

1. Через А проводим прямую, параллельную b, которая пересекает А¢С¢ в точке L, а прямую св точке М.

2. Прямые B¢L и АВ пересекаются в точке N.

3. Соединяем N c O и M.

4. К шестиугольнику ONALA¢B¢ применима теорема Паппа: NA║А¢В¢ (из АВ║А¢В¢) и AL║OB¢ (построение шага 1), а потому ON ║ A¢L, что тоже самое ON ║ A¢C¢.

5. Теперь применяя теорему Паппа к шестиугольникам ONMACB и ONMLC¢B¢ получаем MN║ CB для первого шестиугольника и MN║ C¢B¢ для второго шестиугольника. Отсюда по транзитивности отношения параллельности получаем CB ║ C¢B¢ или, что то же самое: ВС║ В¢С¢.

Общий вывод:Базовые для теории пропорций факты оказались следствиями свойства группы движений, состоящего в наличие у этой группы системы инволютивных образующих. Это значит, что группа D является базой теории подобия, составляющей большую часть геометрии Евклида.

Перейдем теперь к рассмотрению основ теории подобия в лице теории преобразований подобия.

Лекция 4

Преобразования подобия

Определение: Отображение множества всех точек пространства на себя, при котором произвольно взятые пары точек (А, В) и

(C, D) отображаются на такие пары (А¢, В¢) и (C¢, D¢), что (то есть пара отрезков (А¢В¢, АВ) пропорциональна паре отрезков (С¢D¢, CD), называется преобразованием подобия пространства.

Основное понятие, используемое в определении – «пропорциональность пар отрезков», поэтому следствия этого определения базируются, в первую очередь, на понятии о пропорциональности с точки зрения его основных свойств, а не самого определения пропорциональности. Это означает, что теория подобия не зависит от трактовки пропорциональности отрезков, а значит, в частности, и не является следствием понятия длины отрезка, как это представляется при сложившейся в педагогической практике традиции построения теории подобия. Мы можем использовать ту трактовку пропорциональности, которая представлена в нашей третьей лекции (чисто геометрическая), явно демонстрируя, с одной стороны, независимость теории подобия от понятия длины, а значит и от понятия числа, а с другой стороны, получая отчетливую картину связи теории подобия с группой движений плоскости ее свойствами, обнаруживая в явном виде фундаментальную роль движений пространства в евклидовой геометрии.

Рассмотрим основные свойства подобий пространства:

Свойство 1.Если точка В лежит между точками А и С, то В¢ лежит между точками А¢и С¢.

Так как В лежит между А и С, то АС @ АВ+ВС. С другой стороны, , а значит (в силу свойства 5 пропорций). Отсюда по свойству 8 пропорций . Заменяем первый член пропорции АВ+ВС на АС получаем (1). по условию. Отсюда в силу свойства 5пропорций (2). Сопоставляя (1) и (2), получаем пропорцию , которая согласно свойствам 4 и 5 ведет к А¢С¢ @ А¢В¢ + В¢С¢. Эта конгруэнтность, в свою очередь, означает, что В¢ лежит между А¢ и С¢.

Свойство 2. Если В не лежит между А и С, то В¢ не лежит между А¢ и С¢.

Доказательство проводится методом от противного с использованием свойств пропорции так же, как это было сделано при доказательстве предыдущего свойства. Советуем читателю проделать это самостоятельно в качестве упражнения.

Ряд следующих свойств представляют собой следствия первых двух, поэтому будем называть их следствиями.

Следствие 1: Подобное преобразование пространства является взаимно однозначным отображением множества точек пространства на себя.

Доказательство опирается на признак принадлежности трех точек одной прямой и свойство 1.

Следствие 2:Образом прямой является прямая.

Пусть речь идет об образе прямой а.Возьмем на ней две различные точки А и В и пусть А′ и В′ – их образы. Существует прямая А′В′, которую обозначим а′. Теперь предстоит доказать: 1. образ каждой точки прямой а есть точка прямой а′ и 2. каждая точка прямой а′является образом точки прямой а.

Пусть М Îаи М → М′. Для точек А, М и В возможно одно из трех: М лежит между А и В, А лежит между М и В или В лежит между А и М. Для любого из этих случаев

М′ – точка, которая связана с А′ и В′ отношением «лежать между», апотому М′Î а′.

Точно также доказывается и обратное.

Следствие 3:Образом плоскости является плоскость.

Пусть речь идет о образе плоскости a. В этом случае отмечаем в a три точки А, В и С общего положения. Пусть А′, В′, С′ - их образы. Обозначим плоскость, проходящую через них через a′. Докажем, что a′ - образ плоскости a. Для этого доказываем: 1. образ любой точки М плоскости a принадлежит a′ и 2. любая точка плоскости a′ является образом точки плоскости a. Для точек принадлежащих прямым АВ, АС и ВС, А′В′, А′С′ и В′С′ утверждения справедливы в силу следствия 2. Пусть М не принадлежит ни АВ, ни АС, ни ВС, а М′ – образ точки М (рис.30).

Рис. 30

Прямая МС пересекает одну из прямых АВ, ВС или АС. Для определенности положим, что N – точка пересечения АВ и МС. Так как А′В′ образ прямой АВ, то N′ принадлежит А′В′. Так как М′С′ – образ прямой МС, то N′ принадлежит М′С′. Таким образом, N′ общая точка прямых А′В′ и М′С′. Точки N′и С′ принадлежат a′, значит М′ принадлежит a. Первое утверждение доказано, образ любой точки a есть точка a′.

Второе утверждение доказывается точно так же.

Следствие 4:Образом отрезка является отрезок.

Следствие 5:Образом луча является луч.

Следствие 6:Образом полуплоскости с граничной прямой аявляется полуплоскость с граничной прямойа¢.

Следствие 7:Образом полупространства с граничной плоскостью a является полупространство с граничной плоскость a′.

Эти следствия доказываются аналогично предыдущим с использованием отношений: «лежать между» для точек, «лежать по одну сторону от прямой», «лежать по одну сторону от плоскости». Предлагается провести эти