Вычисление обратной матрицы по схеме Гаусса

Пусть – неособенная квадратная матрица. Тогда для нее существует обратная матрица . Обозначим через столбец номер обратной матрицы . По определению

Отсюда, для нахождения -того столбца обратной матрицы необходимо решить систему

(7.1)

Для нахождения всей матрицы необходимо решить систем вида (7.1) с одинаковыми левыми частями и различными правыми, состоящими из нулей и одной единицы в -й строке.

Таким образом, расширенная матрица имеет вид:

.

С помощью элементарных преобразований метода Гаусса её следует привести к виду

.

Пример 7.1. Методом Гаусса найти матрицу, обратную матрице . Используя найденную обратную матрицу, решить систему

Решение. Составим расширенную матрицу и выполним «прямой ход».

«Прямой ход» завершен. «Обратный ход» выполним также в матричном виде. Умножим третью строку на (–1) и прибавим ко второй строке. Затем вторую строку умножим на 2 и прибавим к первой строке.

.

«Обратный ход» завершен. Слева от черты стоит единичная матрица. Обратная матрица находится в правой части расширенной матрицы за вертикальной чертой. Таким образом,

. Решим теперь заданную систему в матричном виде по формуле (2.2):

.

Ответ:

Проверка. Подставим найденное решение в исходную систему

и вычислим левые части уравнений. Тогда имеем

Ранг матрицы

Ранг матрицы является одним из основных понятий при исследовании систем уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений, содержащая уравнений и неизвестных

(8.1)

Матрица системы (8.1) имеет вид:

. (8.2)

В матрице (8.2) выделим произвольных строк и произвольных столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу. Определитель такой матрицы будем называть минором k-го порядка матрицы А.

Минором k-го порядка могут служить как элемент матрицы, так и любая квадратная матрица.

Перебирая значения , где – наименьшее из чисел и , мыможем вычислить все миноры матрицы .

Пример 8.1. Найти все миноры матрицы

. (8.3)

Решение. Вначале найдем все миноры первого порядка. Их ровно девять, и они совпадают с элементами матрицы:

1, 2, 1, 2, 4, 2, 1, 3, 1.

Миноры второго порядка образуются двумя произвольными строками и столбцами. Их тоже девять:

Наконец, минор третьего порядка – один, и он совпадает с определителем матрицы (8.3):

.

Рангом матрицы будем называть число, равное наибольшему порядку миноров, отличных от нуля.

Условимся обозначать ранг матрицы через или . Очевидно, что , где – наименьшее из чисел и .

Поскольку в примере 8.1 минор третьего порядка оказался равным нулю и нашлись миноры второго порядка, отличные от нуля, можно сделать вывод, что ранг матрицы (8.3) равен 2, то есть

Пример 8.2. Найти ранг матрицы

. (8.4)

Решение. Матрица имеет ненулевые миноры первого порядка, поскольку элементы матрицы не равны нулю.

Вычислим миноры второго порядка:

а затем минор третьего порядка:

.

Из определения ранга матрицы следует, что матрица (8.4) имеет ранг равный единице, потому что обратились в нуль все миноры второго и третьего порядка.

Пример 8.3. Найти ранг матрицы

.

Решение. Матрица имеет только нулевые миноры первого и второго порядка, из чего следует, что .

Если ранг матрицы равен r, то все миноры порядка больше r равны нулю и есть хотя бы один минор порядка r, отличный от нуля.

Вычисление ранга матрицы по определению, то есть через вычисление всех соответствующих миноров, является процессом весьма трудоемким. Поэтому рассмотрим другой способ вычисления ранга, основанный на элементарных преобразованиях матриц.

К элементарным преобразованиям относятся следующие действия:

1) замена местами строк и столбцов матрицы;

2) умножение строки (столбца) на любое число, отличное от нуля;

3) прибавление к любой строке (столбцу) почленно любой другой строки (столбца).

Можно доказать, что указанные элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Первое и второе утверждения – очевидны. Третье – доказывается на основании свойств 4 и 5 определителя.

Для вычисления ранга матрицы (8.2) воспользуемся цепочкой элементарных преобразований и приведём матрицу к виду

(8.5)

В матрице (8.5) на главной диагонали стоят ненулевые элементы . Элементы матрицы левее главной диагонали и под ней равны нулю. При таком представлении матрицы мы можем утверждать, что её ранг равен .

Итак, , то есть ранг равен числу ненулевых элементов, стоящих на главной диагонали.

Пример 8.4. Найти ранг матрицы

.

Решение. Для вычисления ранга матрицы достаточно воспользоваться «прямым ходом» метода Гаусса. Разделим первую строку на 2. Затем умножим первую строку на (–6) и прибавим ко второй строке. Умножим первую строку на (–10) и прибавим к третьей строке.

Разделим вторую строку на (–6), а третью – на 4. Получим

Вычтем из третьей строки вторую.

Поменяем местами второй и третий столбец.

.

Из последнего выражения матрицы, содержащего две ненулевые строки с соответствующими ненулевыми элементами на главной диагонали, заключаем, что ранг матрицы равен двум. В приведённом примере мы пользовались методом Гаусса, но на последнем шаге производили элементарные преобразования не только над строками, но и столбцами.