Топологические характеристики электрических цепей

К числу основных геометрических понятий из топологии в теории электрических цепей используются: ветвь, узел, контур, граф.

Ветвь – участок электрической цепи, представляющий собой один элемент или последовательное соединение нескольких элементов, через которые протекает один и тот же ток-участок цепи, соединяющий 2 узла.

Узел электрической цепи – место соединения не менее трех ветвей; на схеме узел обозначается точкой.

Контур электрической цепи – это любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.

Максимальное число искомых токов равно числу ветвей.

На рис. изображена электрическая цепь с 4 узлами, 6 ветвями и несколькими контурами.

Топологические свойства линейной электрической цепи изучаются с помощью графа. Граф цепи – это такое изображение ее схемы, на котором все узлы заменены точками, а ветви – линиями (рис. 1.7, б). Узел графа – точка соединения трех и более ветвей. Ветвь графа – это ветвь схемы цепи, вырожденная в линию; она образуется лишь из ветвей цепи, содержащих такие элементы, как R, L и C; но ветвь цепи, содержащая лишь идеальные источники энергии, не образуют ветви на графе. Особенности учета источников энергии при построении графа таковы: перед построением графа цепи каждый идеальный источник тока заменяются разрывом его ветви, т. к. внутреннее сопротивление r = ¥ , а идеальный источник ЭДС – коротким замыканием его зажимов, т. к. его внутреннее сопротивление r = 0(рис. 1.8).

Важным понятием в топологии цепей являются дерево и хорда (связь) графа. Дерево графа – любая совокупность ветвей графа, соединяющих все его узлы без образования контуров; разновидности деревьев графа (рис. 1.7, б) показаны на рис. 1.9 сплошными линиями; число ветвей в у дерева графа на единицу меньше числа соединяемых ими узлов у, т. е.

у – 1 = в, (1.12)

а так как при анализе цепи максимальное число искомых токов равно числу ветвей, то (1.12) позволяет по числу ветвей определить число независимых уравнений для узлов (первый закон Кирхгофа).

Хорда графа – ветвь графа, не принадлежащая его дереву; на рис. 1.9 хорды графа изображены пунктиром. При дополнении дерева графа хордой получается контур, но любой из этих контуров не может быть образован только из элементов других контуров и называется независимым контуром. Число независимых контуров равно числу хорд на графе. Цепь на рис. 1.7 имеет три независимых контура, хотя общее число контуров в этой цепи равно семи.

Преобразование треугольника сопротивлений в звезду и наоборот

Для эквивалентности преобразований таких схем необходимо соблюсти стандартное требование:

токи I₁, I₂, I₃ и напряжения U₁₂, U₂₃, U₃₁ в непреобразованной части цепи должны остаться неизменными, а это означает, что сопротивление между любой парой точек 1-2-3 в треугольнике и в звезде должны быть одинаковыми.

Если заданы сопротивления R₁₂, R₂₃, R₃₁ треугольника, то сопротивления каждого луча звезды: