Свойства разрешимости регулярных языков

В этом разделе мы сформируем важные вопросы, связанные с регулярными языками. Сначала нужно разобраться, что значит задать вопрос о некотором языке. Типичный язык бесконечен, поэтому бессмысленно предъявлять кому-нибудь цепочки этого языка и задавать вопрос, требующий проверки бесконечного множества цепочек. Гораздо разумнее использовать одно из конечных представлений языка, а именно: ДКА, НКА, ε- НКА или регулярное выражение.

Очевидно, что представленные таким образом языки будут регулярными. В действительности не существует способа представления абсолютно произвольных языков. В следующих главах предлагаются конечные методы описания более широких классов, чем класс регулярных языков, и можно будет рассматривать вопросы о языках из них. Однако алгоритмы разрешения многих вопросов о языках существуют только для класса регулярных языков. Эти же вопросы становятся “неразрешимыми” (не существует алгоритмов ответов на эти вопросы), если они поставлены с помощью более “выразительных” обозначений (используемых для выражения более широкого множества языков), чем представления, разработанные для регулярных языков.

Начнем изучение алгоритмов для вопросов о регулярных языках, рассмотрев способы, которыми одно представление языка преобразуется в другое. В частности, рассмотрим временную сложность алгоритмов, выполняющих преобразования. Затем рассмотрим три основных вопроса о языках.

1. Является ли описываемый язык пустым множеством?

2. Принадлежит ли некоторая цепочка w представленному языку?

3. Действительно ли два разных описания представляют один и тот же язык? (Этот вопрос часто называют “эквивалентностью” языков.)[2]

2.1 Преобразования различных представлений языков

Каждое из четырех представлений регулярных языков можно преобразовать в любое из остальных трех. На рис. 3.1 представлены переходы от одного представления к другому. Хотя существуют алгоритмы для любого из этих преобразований, иногда нас интересует не только осуществимость некоторого преобразования, но и время, необходимое для его выполнения. В частности, важно отличать алгоритмы, которые занимают экспоненциальное время (время как функция от размера входных данных) и, следовательно, могут быть выполнены только для входных данных сравнительно небольших размеров, от тех алгоритмов, время выполнения которых является линейной, квадратичной или полиномиальной с малой степенью функцией от размера входных данных. Последние алгоритмы “реалистичны”, так как их можно выполнить для гораздо более широкого класса экземпляров задачи. Рассмотрим временную сложность каждого из обсуждавшихся преобразований. [6]

Преобразование НКА в ДКА

Время выполнения преобразования НКА или ε-НКА в ДКА может быть экспоненциальной функцией от количества состояний НКА. Начнем с того, что вычисление ε-замыкания n состояний занимает время O(n3). Необходимо найти все дуги с меткой ε, ведущие от каждого из n состояний. Если есть n состояний, то может быть не более n2 дуг. Разумное использование системных ресурсов и хорошо спроектированные структуры данных гарантируют, что время исследования каждого состояния не превысит O(n2). В действительности для однократного вычисления всего ε-замыкания можно использовать такой алгоритм транзитивного замыкания, как алгоритм Уоршалла (Warshall)5.

После вычисления ε-замыкания можно перейти к синтезу ДКА с помощью конструкции подмножеств. Основное влияние на расход времени оказывает количество состояний ДКА, которое может равняться 2n. Для каждого состояния можно вычислить переходы за время O(n3), используя ε-замыкание и таблицу переходов НКА для каждого входного символа. Предположим, нужно вычислить δ({q1, q2, …, qk}, a) для ДКА. Из каждого состояния qi можно достичь не более n состояний вдоль путей с меткой ε, и каждое из этих состояний может иметь не более, чем n дуг с меткой a. Создав массив, проиндексированный состояниями, можно вычислить объединение не более n множеств, состоящих из не более, чем n состояний, за время, пропорциональное n2.

Таким способом для каждого состояния qi можно вычислить множество состояний, достижимых из qi вдоль пути с меткой a (возможно, включая дуги, отмеченные ε). Поскольку k ≤ n, то существует не более n таких состояний qi, и для каждого из них вычис-ление достижимых состояний занимает время O(n2). Таким образом, общее время вычисления достижимых состояний равно O(n3). Для объединения множеств достижимых состояний потребуется только O(n2) дополнительного времени, следовательно, вычисление одного перехода ДКА занимает время O(n3).

Заметим, что количество входных символов считается постоянным и не зависит от n. Таким образом, как в этой, так и в других оценках времени работы количество входных символов не рассматривается. Размер входного алфавита влияет только на постоянный коэффициент, скрытый в обозначении “О большого”.

Итак, время преобразования НКА в ДКА, включая ситуацию, когда НКА содержит ε-переходы, равно O(n32n). Конечно, на практике обычно число состояний, которые строятся, намного меньше 2n. Иногда их всего лишь n. Поэтому можно установить оценку времени работы равной O(n3s), где s — это число состояний, которые в действительности есть у ДКА.[4]

Преобразование ДКА в НКА

Это простое преобразование, занимающее время O(n) для ДКА с n состояниями. Все, что необходимо сделать, — изменить таблицу переходов для ДКА, заключив в скобки {} состояния, а также добавить столбец для ε, если нужно получить ε-НКА. Поскольку число входных символов (т.е. ширина таблицы переходов) считается постоянным, копирование и обработка таблицы занимает время O(n).[9]

Преобразование автомата в регулярное выражение

Каждом из n этапов (где n — число состояний ДКА) размер конструируемого регулярного выражения может увеличиться в четыре раза, так как каждое выражение строится из четырех выражений предыдущего цикла. Таким образом, простая запись n3 выражений может занять время O(n34n). Улучшенная конструкция из раздела 3.2.2 уменьшает постоянный коэффициент, но не влияет на экспоненциальность этой задачи (в наихудшем случае).[4]

Аналогичная конструкция требует такого же времени работы, если преобразуется НКА, или даже ε-НКА, но это здесь не доказывается. Однако использование конструкции для НКА имеет большое значение. Если сначала преобразовать НКА в ДКА, а затем ДКА — в регулярное выражение, то на это потребуется время O(n34n32n), которое является дважды экспоненциальным.

Преобразование регулярного выражения в автомат

Для преобразования регулярного выражения в ε-НКА потребуется линейное время. Необходимо эффективно проанализировать регулярное выражение, используя метод, занимающий время O(n) для регулярного выражения длины n6. В результате получим дерево с одним узлом для каждого символа регулярного выражения (хотя скобки в этом дереве не встречаются, поскольку они только управляют разбором выражения).

Полученное дерево заданного регулярного выражения можно обработать, конструируя ε-НКА для каждого узла. Правила преобразования регулярного выражения, представленные в разделе 3.2.3, никогда не добавляют более двух состояний и четырех дуг для каждого узла дерева выражения. Следовательно, как число состояний, так и число дуг результирующего ε-НКА равны O(n). Кроме того, работа по созданию этих элементов в каждом узле дерева анализа является постоянной при условии, что функция, обрабатывающая каждое поддерево, возвращает указатели в начальное и допускающие состояния этого автомата.

Приходим к выводу, что построение ε-НКА по регулярному выражению занимает время, линейно зависящее от размера выражения. Можно исключить ε-переходы из ε- НКА с n состояниями, преобразовав его в обычный НКА за время O(n3) и не увеличив числа состояний. Однако преобразование в ДКА может занять экспоненциальное время.[7]