Закономерности аннигиляции позитронов

Аннигиляцией называется акт взаимного уничтожения частицы и античастицы, хотя при этом никакого абсолютного уничтожения ни материи, ни энергии не происходит, а имеет место только взаимное превращение одних частиц в другие и переход одной формы энергии в другую. Поскольку позитроны были первыми обнаруженными античастицами, то естественно ожидать, что закономерности электронно-позитронной аннигиляции (ЭПА) являются наиболее изученными и в области понимания механизма аннигиляции достигнут определенный прогресс.

В силу указанных выше трех механизмов, процессы аннигиляции могут сопровождаться с испусканием одного, двух или трех гамма - квантов. Аннигиляция с излучением одного g - кванта на основе законов сохранения энергии и импульса происходит только в присутствии третьего тела, воспринимающего импульс отдачи. Сам однофотонной процесс происходит при аннигиляции позитрона с сильно связанным электроном ядра и только в этом случае это ядро может воспринимать импульс отдачи. В случае свободной аннигиляции с однофотонным излучением нарушается закон сохранения импульса. Только при двух- или трех фотонном излучении возможно сохранение этого закона. Расчеты показывают, что сечение однофотонного процесса оказываются сильно подавленным относительно двух фотонной аннигиляции в a⁶ раз. В принципе возможна и без фотонная аннигиляция, но вероятность этого явления еще более не значительна. Поэтому оба эти процесса при изучении аннгиляционных явлений не учитываются. В силу сохранения закона о зарядовой четности, позитрон, находящийся в синглетном состоянии (1S₀), распадается с излучением четного числа (обычно, двух) g - квантов. Позитрон, находящийся в триплетном состоянии (3S₁), аннигилирует с испусканием нечетного числа (обычно, трех) фотонов. Сечение образования двухквантового излучения для случая свободной аннигиляции было впервые обоснованно выведено Дираком и в дальнейшем нашло широкое обсуждение и развито в пионерских трудах Гольданского В.И., Берестецкого В.Б., Арифова П.У. [33] и описывается следующим выражением:

(5.7)

где ; b=v/c; c - скорость света; v - относительная скорость электрона и позитрона; r_о - классический радиус электрона. При значениях b<<1 выражение (5.7) упрощается:

(5.8)

Вероятность возникновения трехквантового процесса тесно связано с образованием позитрониевых состояний:

(5.9)

где t_о= 1.4·10^-7 c – время жизни свободного о-Ps; t_t, I_t-наблюдаемое время жизни о-Ps в данной среде и его интенсивность. Если положить I_t = I₂, t_t = t₂; P=4I₂/3, то уравнение (5.9) перепишется следующим образом:

(5.10)

Сечение 3g - процесса к сечению 2g - процесса относится как

(5.11)

где J_t, J_s - полные моменты триплетного и синглетного состояний. Таким образом, вероятность образования 3g - процесса более чем на два порядка ниже вероятности 2g - процесса. Увеличение количества аннигиляционного процесса на единицу сопровождается обязательным уменьшением его сечения в a- раз. Тем не менее пытливые умы человечества не оставляют надежды и продолжают попытки изучения распада e^--e⁺ - пары на три и даже на четыре g - кванта [134], а также рождения нейтральных частиц. Разумеется, характеристики позитронной аннигиляции со связанным в атоме электроном существенно отличаются от аналогичных параметров в свободном электронном газе и сечение 2g - процесса в этих условиях запишется как [18, 42]:

d_2g = Z_эф p c/v (5.12)

где Z_{эф –} эффективный заряд ядра. Его можно определить через волновые функции взаимодействующих частицы y_i и античастицы y_k:

(5.13)

Следует отметить, что знание строгих и точных значений волновых функций квантовых частиц позволяет правильно объяснить и корректно описать любые наблюдаемые явления в электронной структуре атомов среды, следовательно, соответствующие изменения свойств вещества. Кроме того, не лишним будет обратить внимание на то, что в конденсированной среде позитрон никогда не бывает свободным и свободным можно рассматривать аннигиляцию позитронов в чистом разряженном электронном газе, хотя подобного рода эксперименты еще никому не удавалось поставить.

Таким образом, двухфотонная аннигиляции является наиболее вероятным процессом, поэтому не удивительно, что все основные исследования, посвященные изучению свойств конденсированных состояний, выполнены опираясь именно на это явление. Сохранение момента и энергии пары без начального импульса возможно лишь в том случае, если они уносятся возникающими при аннигиляции g-квантами, которые при этом распространяются в противоположные стороны строго антиколлинеарно. Если центр масс электрон - позитронной пары, находящейся в начале координат, движется со скоростью v с компонентами u_x, u_у, u_z, то возникающие аннигиляционные излучения разлетаются под таким углом, чтобы выполнялось соотношение сохранения момента (рис. 5.2):

2m_oc·sinθ_x =2m_oθ_x

2m_oc·sinθ_у =2m_oθ_у

2m_oc·sinθ_z =2m_oθ_z (5.14)

Рис. 5.2 Разложение вектора скорости центра масс е^-–е⁺ - пары на компоненты

Если аннигилирующая пара находится в системе центра масс в состоянии покоя (v=0), то в лабораторной системе два фотона излучались бы строго в противоположные стороны при sinq =0. В результате взаимодействия с электронами и фононами cреды, позитрон полностью термолизуется и по существу находится в состоянии покоя. Однако этого нельзя утверждать об электроне, другом непосредственном участнике процесса аннигиляции. Следовательно, вектор v представляет только скорость электрона. Распределение энергии между двумя фотонами должно в точности соответствовать массе покоя аннигилирующей пары. Нетрудно показать, если свободному электрону соответствует энергия в 1 эВ, то угол отклонения фотонов от коллинеарности в лабораторной системе составит q =2 мрад. Ввиду малости угла можно принять sinq »q и для плоскости X0Z, в которой обычно производятся все процессы измерений при условии, что , можно написать:

(5.15)

При этом поперечная компонента импульса P_z приводит к отклонению фотонов от коллинеарности в плоскости X0Z. Движение центра масс аннигилирующей пары импульсом P_x вдоль направления распространения фотонов обуславливает дополнительный сдвиг энергии на величину , вызванный эффектом Допплера:

или, (5.16)

где Dn-изменение частоты g - квантов. Исходя из этого могут быть предложены два новых ядерно-физических метода исследования структуры твердых тел с использованием явления ЭПА: измерения углового распределения аннигиляционных фотонов (УРАФ) и доплеровского уширения аннигиляционной линии (ДУАЛ). Первый из этих методов преследует цель получения информации о функции распределения электронов в импульсном пространстве. Для экспериментально измеряемого спектра угловой корреляции в приближении Стюарта справедливо выражение:

(5.17)

где n(P) - функция распределения электронов по импульсам; А - константа, определяемая параметрами установки.

Эту задачу решают с целью получения функции плотности импульсного распределения центра масс электрон - позитронной пары r (P). Решение ее в общем виде представляет достаточно трудную задачу, не имеющей практического значения. Однако при определенных допущениях, связанных с геометрией опыта, ее можно значительно упростить. Для этого полагают, что длина регистрирующего аннигиляционные фотоны детекторов должна быть много меньше его ширины (d) и существенно меньше расстояния (L) от источника позитронов до детектора. Эти обстоятельства соответствуют так называемой длинно - щелевой геометрии опыта, схематически изображенной на рис. 5.3.

а)	б)
Рис. 5.3 Сечение поверхности Ферми для газа свободных электронов (а) и схема линейно-щелевой геометрии с разложением импульса е--е+ -пары на компоненты (б)

Тогда для граничного значения импульса P_о (для металлов это импульс Ферми P_F) в пределе имеем следующее соотношение:

P_o/(2m_oc) << L/2 (5.18)

В этих условиях уравнение (1.17) приводится к виду:

(5.19)

Различные аспекты восстановления импульсного распределения аннигилирующих электрон-позитронных пар из кривых УРАФ достаточно подробно анализируются в трудах. Методы численного решения и пути практического использования этого соотношения будут обсуждаться в дальнейшем.

Определяемый соотношением (5.16) дополнительный доплеровский сдвиг аннигиляционного фотона с E_о = 511 кэВ, вызванной продольной компонентой с импульса P_x , с достаточной точностью можно оценить по формуле:

DE/E_о=P_х/P_о (5.20)

где P_о = 2m_оc - суммарный импульс e^--e⁺-пары в системе центра масс.

В изотропном импульсном пространстве все компоненты импульса равноценны P_x = P_z. Следовательно, продольный сдвиг энергии можно оценить через поперечную компоненту импульса . С учетом этих соотношений выражение (5.20) приводится к виду:

(5.21)

Здесь угол θ выражен в миллирадианах. Следовательно, изменению направления отклонения аннигиляционных фотонов в q = 1 мрад соответствует энергетический сдвиг DE = 255.5 эВ. Таким образом, оба экспериментальных метода позволяют получить равноценную информацию. Разумеется, энергетический сдвиг можно оценить путем измерения девиации частоты из соотношения (5.16), что в условиях g-квантов практически не реально. Поэтому для непосредственного определения сдвига DE обычно используют Ge(Li) - детектор, энергетическое разрешение у лучших образцов которого обычно не превышает 1 кэВ, что соответствует угловому разрешению 4 мрад. Именно это обстоятельство ограничивает возможности повсеместного применения этого метода, несмотря на определенное преимущество перед другим.

Анализируя процессы аннигиляции позитронов в идеально вырожденном газе электронов Ферми, нетрудно установить, что из себя представляет функция распределения n(P) в уравнении (1.17). Как уже было показано выше, при покоящемся позитроне импульс аннигиляционных фотонов определяется импульсом электрона. Последний для идеального газа электронов распределен равномерно по всей сфере Ферми. Измерение УРАФ сводится к выбору тонкого слоя сферы на расстоянии P_z от его центра, расположенного перпендикулярно этой компоненте импульса (рис. 1.3). Площадь этого круга пропорциональна и в приближении вырожденного идеального газа функция n(P) равна единице внутри сферы Ферми и нулю за ее пределами. Следовательно, интеграл (1.17) соответствует площади этого круга, определяемой вероятностью аннигиляции позитронов в интервале углов ¸ . Иначе говоря, спектр угловой корреляции N(q) представляет перевернутую параболу, которая обращается в нуль в точках пересечения кривой с осью абсцисс при q = q_F, соответствующих граничному импульсу Ферми P_F= m_оc·q_F. Подобная форма распределения аннигиляционного излучения характерна для некоторых простых металлов и полупроводниковых материалов (рис. 5.4).

Принято считать, что параболическая форма распределения вызвана именно электронами проводимости или валентными электронами, поведение которых близки к вырожденному электронному газу.

Рис. 5.4. Спектры УРАФ для Аl (точки экспериментальные, линии расчетные)

Данное распределение математически может быть описано уравнениями вида:

для (5.22)

или

для (5.23)

Оба распределения обращаются в нуль за пределами P_F и q_F соответственно. Но если сравнить теоретически рассчитанную кривую УРАФ для валентных электронов каждого отдельно взятого металла с экспериментально измеренной, можно легко установить достаточно заметное отличие их между собой, особенно за пределами центральной параболической части. Поэтому принято считать, что для любого исследуемого материала экспериментальные кривые УРАФ состоят по крайней мере из двух составляющих: центральной параболы и так называемого «хвоста», представляющего собой широкое угловое распределение фотонов. Параболическую составляющую спектра УРАФ в противовес широкой компоненте называют «узкой». Природа широкоугловой компоненты УРАФ связана взаимодействием валентных электронов с ионной решеткой, вследствие чего состояние последних не соответствует граничному импульсу P_F и оказывается «размазанной», а также аннигиляцией позитронов с внутренними электронами ионного остова, обладающими импульсом, значительно превышающим фермиевский. Благодаря туннельному эффекту некоторый промежуток времени жизни он может провести вблизи внешних электронных оболочек ионного остова. Вступив с электроном этой оболочки в связанное состояние, он может аннигилировать из этого состояния, что является причиной возникновения в спектре угловых распределений широкой компоненты, соответствующих импульсу электронов, отличных от валентных. Закономерности УРАФ в этом случае достаточно корректно описываются функцией Гаусса:

(5.24)

где q_g-параметр гауссианы и определяет глубину проникновения волновых функций позитрона в ионной остов. Параметр гауссианы определенным образом связан с расстоянием r_m, на котором перекрытие волновых функций позитрона и связанного в ионном остове электрона имеет максимальное значение:

(5.25)

Исходя из этого, общую кривую УРАФ для любого материала в первом приближении можно представить в виде:

Нормирующий множитель f(q) в этом уравнении принимает только следующие значения:

(5.27)

Постоянные множители N_p(0), N_g(0) и N₀ в уравнении (5.26) определяют соответственно интенсивности параболы, гауссианы и уровень фона случайных совпадений, смысл которых будет выяснен в дальнейшем. Следует отметить, что выражение (5.26) для описания УРАФ носит полуэмпирический характер. Точное выражение для любой реальной системы требует знание истинного уравнения плотности импульсного распределения аннигилирующих пар r(p), которые не удается выразить в явном виде даже для простейшей одночастичной модели независимых частиц:

(5.28)

где - волновая функция позитрона; - волновая функция электрона, аннигилирующего из к-го состояния. Суммирование ведется по всевозможным состояниям аннигилирующих электронов. Таким образом, знание волновых функций электрона и позитрона позволяет рассчитать импульсное распределение (1.28), а значит и спектр УРАФ для любого материала. Но нахождение точных выражений волновых функции даже для простейшего одночастичного приближения представляет не простую задачу. Кроме углового распределения и доплеровского уширения аннигиляционной линии существуют и другие характеристики, описывающие закономерности явления ЭПА. Наиболее важнейшим среди них является скорость двухфотонной аннигиляции. Теория свободных электронов по зоммерфельду дает следующую зависимость скорости аннигиляции от безразмерной величины r_s, определяющей радиус сферы, содержащей один электрон:

(5.29)

Обратная величина скорости аннигиляции носит название времени жизни позитрона:

(5.30)

Из приведенных соотношений видно, что скорость аннигиляции, следовательно, и время жизни позитрона сильно зависят от электронной плотности. Хотя для реальных металлов значение r_s колеблется в пределах , время жизни для большинства из них составляет около (1.5 ¸2.0)·10^-10с. Несостоятельность теории Зоммерфельда в данном случае можно объяснить сильным кулоновским взаимодействием между электронами и позитронами. Поэтому при определении времени жизни позитрона важную роль играет не средняя плотность электронов, а электронная плотность непосредственно в местах локализации позитрона в кристалле. Подробный анализ этих ситуаций приведен в работе И.Я. Дехтяря. Более корректное значение скорости аннигиляции можно получить на основании одночастичной модели с привлечением плотности импульсного распределения электронов:

(5.31)

где r_о - классический радиус электрона. Используя выражение (1.28) для r(P), последнее соотношение можно привести к виду, более - менее приемлемому для практических целей:

(5.32)

где A -число атомов в 1 см³; Z_эф- эффективный заряд ядра.

В экспериментах по аннигиляции позитронов для измерения времени жизни необходимо обеспечить точную фиксацию начала распада радиоактивного ядра с рождением позитрона. Этому способствует возникновение g_я - кванта с возбужденного уровня ядра ²²Ne с E=1.28 МэВ через несколько пикосекунд вслед за вылетом позитрона из ядра ²²Na (см. рис. 37). Тогда экспериментально время жизни позитрона может быть определено как разность времени между вылетом g_я и одним из аннигиляционных фотонов g₁ или g₂. Логическая взаимосвязь всех трех рассмотренных методов позитронной аннигиляции - угловой корреляции, доплеровского уширения и времени жизни - схематически изображено на рис. 5.5.

Рис. 5.5. Схематическое представление различных методов ЭПА

Анализ возможности метода измерения времени жизни, его техническая реализация и практическое использование для решения конкретной задачи будут рассмотрены в следующих разделах настоящей работы.

В виду не значительного объема получаемой информации, исследования процессов, связанных с 3g - аннигиляцией в твердых телах, крайне ограниченны по сравнению с процессами 2g - аннигиляции. При достаточно сложной экспериментальной технике, в результате длительных измерений обычно получают соотношение скоростей 3g- и 2g - аннигиляции в изучаемом материале. Как было показано выше, для свободных, неполяризованных частиц отношение сечения этих процессов равно 1/372. В условиях глубокого вакуума соотношение случаев 3g- и 2g - аннигиляции соответствует отношению количества атомов орто - и парапозитрония. При образовании Ps в любых других средах (неметаллах) это соотношение изменяется в зависимости от условий, в которых происходит процесс аннигиляции. Поскольку все эти явления достаточно четко проявляются и в результатах временных распределений и, в определенной степени, в спектрах угловых корреляций, то особой необходимости в экспериментах с 3g - аннигиляцией обычно не возникает.