Моделирование психических процессов и поведения

Математические моделив психологии. В математической психологии принято вы­делять два направления:- математические модели и- математические методы. Мы нарушили эту традицию, так как считаем, что нет необходимости выделять отдель­но методы анализа данных психологичес­кого эксперимента. Они являются сред­ством построения моделей: классифика­ции, латентных структур, семантических пространств и др.

Для моделирования взаимодействий субъекта и среды используется аппарат исследования операций.Исследование операций (ИО) — одна из дисциплин, способствующих развитию общей теории систем в смысле построения когнитив­ных моделей механизмов функциониро­вания этих систем. Поэтому в основе на­шей типологии моделей лежат методы ИО, используемые для из разработки.

Математические модели в психоло­гии по методам исследования операций в основном можно разделить на:

• детерминированные— теория гра­фов, геометрическое моделирова­ние, логико-математическое моде­лирование;

• стохастические— вероятностные, теории игр, теории полезности, ди­намическое программирование.

Детерминированные модели

Логико-математическое моделирование Модели рефлексии. Единственной к насто­ящему времени удачной общей моделью рефлексивного поведения является «фор­мула человека» В. Лефевра [19911. Модель обладает большой прогностической силой. В теории рефлексивных процессов Ле­февра предполагается, что субъект живет в мире, в котором существуют два полю­са: позитивный и негативный. Субъекту соответствуют четыре переменные: значе­ния Х,,х₂, х₃, х, [0,1].х, — это мера давле­ния мира, склоняющего субъекта выбрать

положительный полюс; х, — субъективная оценка давления мира в сторону позитив­ного полюса; х₃ — мера интенции субъек­та выбрать положительный полюс; X! — мера готовности субъекта выбрать поло­жительный полюс. Если X, = 1, то субъект готов выбрать положительный полюс, если X, = 0, — то отрицательный.

Теоретической моделью субъекта явля­ется формальный оператор X, =f(x_r x^, х₃). Чтобы определить конкретный вид функ­ции, Лефевр формулирует три аксиомы.

1. Аксиома свободы воли означает, что если мир плох (х, = 0) и восприни­мается субъектом как таковой (х₂ = 0), то любая субъективная интенция превра­щается в объективную готовность:

2. Аксиома незлонамеренности утверж­дает, что если мир подталкивает субъекта к совершению хорошего поступка (х, = 1), то тот всегда совершает хороший поступок: X, = 1 при любых х₂ и х₃.

3. Аксиома доверчивости утверждает, что если субъект видит мир идеальным (х₂ = 1), то он готов совершить действие по требованию мира.

Если функция Дх_р х₂, х₃) линейна по каждой из переменных и выполнены все аксиомы, то

Модель Лефевра позволяет выявить роль «золотого сечения» в задачах выбо­ра, объяснить различие в результатах пси­хофизических опытов с категориальной и магнитудной стимуляцией.

Модель В. Лефевра стала основой со­здания классической модели выбора Брэдли—Терри— Льюса. При некоторых дополнительных предположениях модель Лефевра объясняет естественную генера­цию музыкальных интервалов и ряд дру­гих результатов.

В. Крылов (1994), анализируя проблему единственности, формулирует некоторые аксиомы, приводящие к появлению других

механизмов рефлексивного поведения че­ловека, позволяющих моделировать фено­мены, описанные Э.Берном (1992): исклю­чительность родителя, взрослого, ребенка, предрассудки, бредовые идеи и т. д.

Модели теории графов и геометрическое моделирование К данному типу относится моделирование психологических структур и процессов. Например, восприятие можно моделиро­вать с помощью построения субъективных пространств; при разработке теории лич­ности используются модели классифика­ции и реконструируются семантические пространства и т. д. Эти модели строятся на основе применения методов многомер­ного шкалирования и кластерного анализа. Входными данными в эти методы являют­ся матрицы близостей.

Для подсчета матрицы расстояния не­обходимо выбрать метрику или метод вы­числения расстояния между объектами в многомерном пространстве. Наиболее часто используются следующие метрики: Евклида:

Исходный этап для применения МШ (многомерное шкалирование) и КА (клас­терный анализ) — это вычисление рассто­яний между строками или столбцами.

Наиболее распространенной считает-

ся обычная евклидова метрика. Ее обоб­щение — метрика Минковского, частным случаем которой является манхэттеновс-кая метрика, или метрика сити-блок. Нормализованные евклидовы расстояния в большей степени подходят для пере­менных, измеренных в различных едини­цах или значительно отличающихся по величине. Манхэттеновская метрика, как правило, применяется для номинальных или качественных переменных.

Расстояния, вычисляемые на основе коэффициента корреляции отражают со­гласованность колебаний оценок в отли­чие от метрики Евклида, которая опреде­ляет в среднем сходные показатели.

Кластерный анализ (КА). КА позволя­ет строить систему классификации иссле­дованных объектов и переменных в виде «дерева» (дендрограммы) или же осуще­ствлять разбиение объектов на заданное число удаленных друг от друга классов.

Методы КА можно расклассифициро­вать на: внутренние (признаки классифи­кации равнозначны); внешние (существу­ет один главный признак, который опре­деляют по остальным). Внутренние мето­ды можно разделить на: иерархические (процедура классификации имеет древо­видную структуру); неиерархические.

Иерархические подразделяются на: агломеративные (объединяющие); дивизивные (разъединяющие). В психологии наи­более распространен иерархический дивизивный метод. Он позволяет строить «де­рево» классификации п объектов посред­ством их иерархического объединения в группы или кластеры на основе заданного критерия — минимума расстояния в про­странстве т переменных, описывающих объекты. Кроме того, с его помощью осу­ществляется разбиение некоторого мно­жества объектов на естественное число кластеров (заранее это число неизвестно). Графическое представление результа­тов дается в виде «дерева» иерархической кластеризации. По оси X — объекты, под­лежащие классификации (на одинаковом расстоянии друг от друга). По оси Y — расстояния, на которых происходит объе­динение объектов в кластеры. Для опре-деления естественного числа кластеров вводится оценка разбиения на классы, которую вычисляют по величине отно­шения средних внутрикластерных рас­стояний к межкластерным (А. Дрынков, Т. Савченко, 1980). Глобальный мини­мум оценки характеризует естественное число классов, а локальные — под- и над-структуры. Методы иерархического КА различаются по стратегии объединения, т. е. пересчета расстояний. Выделяются стратегии ближайшего соседа. При объе­динении /-го иу-го классов в класс к рас­стояние между новым классом к и любым другим классом h пересчитывается следу­ющим образом:

где ni, nj, nk — число объектов в классах i и к.

Первые две стратегии, за исключением последней, изменяют пространство (сужа­ют и растягивают). Поэтому если не удает­ся получить достаточно хорошего разбие­ния на классы с помощью третьей страте­гии, то используются первые две. При этом первая стратегия объединяет классы по близким границам, а вторая — по дальним.

Помимо разбиения на классы необхо­димо установить также объекты, через ко­торые классы связаны друг с другом (на­пример, социальной психологии при ис­следовании взаимоотношений в коллекти­вах). Это делается с помощью дендритно­го КА, который часто применяется совме­стно с иерархическим [Плюта, 1981]. Глав­ная роль в нем принадлежит дендриту — ломаной линии, которая не содержит зам­кнутых ломаных и в то же время соединя­ет любые два элемента. Предполагается по-

строение дендрита, у которого сумма длин связей минимальна. Сначала для каждого объекта находится ближайший, при этом образуются скопления первого порядка, которые затем также объединяются по ве­личине минимального расстояния до тех пор, пока не будет построен дендрит. Груп­пы объектов считаются вполне отделимы­ми, если длина дуги между ними d_ik > С_р, где С_р = С_ср + S; С_ср — средняя длина дуги; S — стандартное отклонение.

Дендриты могут иметь форму розетки, амебообразного следа, цепочки. При со­вместном использовании иерархического и дендритного КА распределение элемен­тов по классам осуществляется по перво­му методу, а взаимосвязи между ними ана­лизируются с помощью дендрита.

Наиболее эффективным является со­вместное использование иерархического КА и метода К-средних. В методе К-сред-них необходимо задать количество клас­сов, на которые предполагается множе­ство объектов. В алгоритме реализована итерационная процедура разбиения на классы. Первоначально выделяется К центров будущих классов, затем все остав­шиеся объекты распределяются по этим классам с постоянным накапливанием веса класса и изменением его центра при присоединении к нему нового объекта. Процесс считается завершенным, если при построении новых центров структура классификации не изменяется. В методе реализована также возможность построе­ния усредненных профилей классов и вы­явления значимых различий между пере­менными для различных классов.

Многомерное шкалирование (МШ). Од­ним из количественных методов изучения психических явлений и процессов, адек­ватно отражающих их системный характер, признан метод МШ. С его помощью ана­лизируются попарные различия D^ между элементами i и j, в результате чего строит­ся геометрический образ системы. Элемен­ты системы изображаются точками моде­лирующего пространства, а связям между элементами соответствуют расстояниям d_r между i и j. Метод МШ разрабатывал­ся в работах У. Торгерсона, Р. Шепарда, К. Кумбса, Д. Краскала, Ф. Янга, В. Крылова и др.

Модели МШ можно расклассифици­ровать по двум основаниям.

По типу данных, полученных в экспе­рименте: прямое субъективное шкалирова­ние (задана одна матрица близостей D.); модель предпочтений (задана матрица бли­зостей D_r и матрица предпочтений); мо­дель индивидуального шкалирования (за­дано несколько матриц близостей). По процедуре реализации метода: метричес­кое шкалирование (расстояния в реконст­руированном пространстве &_} пропорцио­нальны различиям D_if полученным в экс­перименте); неметрическое шкалирование (данные D_r монотонно связаны с расстоя­ниями d_fj в пространстве Минковского).

Метод Шепарда-Краскала позволяет вычислять показатель стресса, т. е. невяз­ку между исходными и вычисленными различиями между объектами:

где <L — расстояния между объектами, вычисленные в процедуре МШ; D~— ис­ходные различия.

Шкалирование в псевдоевклидовом пространстве (не выполняется аксиома неравенства треугольника). В методе Кры­лова величина расстояния между объекта­ми определяется по формуле

где Е принимает значение 1 для евкли-дового пространства и —1 — для псевдо-евклидового. Функция стресса для этих пространств вычисляется и выбирается наименьшая.

Нечеткое шкалирование (данные описаны «нечеткими» психолингвисти­ческими шкалами) (Крылов, Головина):

Совместное использование МШ и КА позволяет провести анализ данных, более адекватный, чем дает применение каждо­го метода в отдельности. При больших вы­борках необходимо сначала выделить под­группы с помощью КА, а затем с помощью МШ реконструировать пространство всей группы и каждой подгруппы в отдельнос­ти (при необходимости). На основании обобщенного опыта было обнаружено, что при КА маленькие классы адекватны дан­ным, часто являясь осмысленными группа­ми, а большие — нет. И наоборот, неболь­шие изменения в данных могут стать при­чиной существенных изменений в локаль­ном взаимном расположении точек, полу­ченных с помощью М Ш. В то же время об­щее расположение точек внутри конфигу­рации является содержательным (см. рабо­ты Граева, Суппеса).

Стохастические модели .Вероятностные модели

Модели с латентными переменными. Мо­дели с латентными переменными являют­ся важным классом вероятностных моде­лей. Они основаны на предположении о том, что наблюдаемые, измеряемые теста­ми переменные могут быть объяснены с помощью так называемых латентных, более глубинных переменных, которые невоз­можно измерить непосредственно, однако можно оценить их значение косвенно. К методам латентных переменных относятся конфирматорный и эксплора-торный фак­торный анализ, регрессионный анализ, од-нофакторный анализ, методы латентных структур. МакДоналд предложил обобщен­ную модель латентных структур.

Цель создания моделей с латентными переменными — объяснение наблюдае­мых переменных и взаимосвязей между ними с помощью латентных переменных. При заданном значении наблюдаемых переменных требуется сконструировать множество латентных переменных и функцию, которая достаточно хорошо аппроксимировала бы наблюдаемые пе­ременные, а в конечном счете — плот-

ность вероятности наблюдаемой пере­менной.

В факторном анализе основной ак­цент делается на моделировании значе­ний наблюдаемых переменных, их корре­ляциях, ковариациях, а в методах латен­тно-структурного анализа — на модели­ровании распределения вероятности на­блюдаемых переменных.

Модели факторного анализа (ФА). Ра­бота Пирсона (1901) — первая, которая была посвящена методу главных компо­нент. Большой вклад при разработке тес­та на интеллект внесли К. Спирмен (1927, 1946), Л. Терстон (1947, 1951), а при раз­работке теории личности — Р. Кеттел (1947,1951)иГ.Айзенк.

Входные данные, обрабатываемые ме­тодом ФА, — это корреляционная или ко­вариационная матрицы. Коэффициент корреляции — мера взаимодействия меж­ду двумя переменными х и у. В зависимо­сти от типа шкал можно выделить следу­ющие коэффициенты корреляции.

Если х, у измерены в шкале отноше­ний, то используется коэффициент кор­реляции Пирсона:

где х, у — средние выборочные по пере­менным х и у соответственно.

Если х, у — дихотомическая шкала, то используется коэффициент сопря­женности ф:

где р_х — относительное число, 1 по х и у; р_х — относительное число, 1 по х; q_x — от­носительное число, 0 по х; р_у — относи­тельное число, 1 по у; q_y — относительное число, 0 по у.

Если х, у — шкала порядка (ранги), то используется коэффициент корреляции Спирмена:

где х_; и у. — ранги i-ro объекта характе­ристик х и у.

Основная цель методов — выявление интегральных латентных факторов по наблюдаемым переменным, что означа­ет построение для данной корреляцион­ной матрицы К соответствующей матри­цы нагрузок А. Матрица А определяется численными методами, при этом коли­чество факторов не должно превышать количество наблюдаемых переменных. То есть соотношения между п наблюда­емыми переменными должны объяс­няться возможно меньшим числом ла­тентных факторов. Первый принцип, лежащий в основе классической модели ФА, — постулат о линейной независимо­сти между латентными характеристика­ми; второй — наблюдаемые переменные могут быть представлены как линейная комбинация некоторых латентных фак­торов. Ряд этих факторов является об­щим для нескольких переменных, дру­гие — специфические, связанные в ос­новном только с одной переменной.

В 1960-е гг. в связи с быстрым разви­тием методов ФА появилось огромное число различных методов. В дальнейшем проявляется тенденция к обобщениям: возникает нелинейный ФА, построение обобщающей модели с латентными пе­ременными, возникновение и развитие конфирматорного ФА.

Обобщенная математическая модель ФА в матричном виде — это К = AFA¹ + L², где А — матрица нагрузок, К — корреляци­онная матрица, L — матрица ошибок, F — единичная матрица факторов.

Основные этапы ФА: 1) сбор эмпири­ческих данных и подготовка корреляци­онной (ковариационной) матрицы; 2) вы­деление первоначальных (ортогональных) факторов; 3) вращение факторной струк­туры и содержательная интерпретация ре­зультатов ФА.

Второй этап — это прежде всего вы-бор метода ФА. Назовем наиболее ис­пользуемые из них в психологии.

Метод главных компонент. Его модель имеет вид K-L²=AA^T=VCV^T' где V — матрица собственных векторов, С — диагональная матрица собственных значений. То есть в данном методе по­иск решения идет в направлении вычис­ления собственных векторов (факторов), а собственные значения характеризуют дисперсию (разброс) по факторам.

Метод главных факторов. Для опреде­ления числа факторов используются раз­личные статистические критерии, при по­мощи которых проверяется гипотеза о не­значительности матрицы корреляцион­ных остатков.

Метод максимального правдоподобия (Д. Лоли), в отличие от предыдущего, ос­новывается не на предварительной оцен­ке общностей, а на априорном определе­нии числа общих факторов и в случае большой выборки позволяет получить статистический критерий значимости по­лученного факторного решения.

Метод минимальных остатков (Г. Хар­ман) основан на минимизации внедиаго-нальных элементов остаточной корреля­ционной матрицы; проводится предвари­тельный выбор числа факторов.

Альфа-факторный анализ был разрабо­тан специально для изучения психологи­ческих данных; выводы носят в основном психометрический, а не статистический ха­рактер; минимальное количество общих факторов оценивается по собственным зна­чениям и коэффициентам общности. Фак­торизация образов, в отличие от классичес­кого ФА, предполагает, что общность каж­дой переменной определяется как линей­ная регрессия всех остальных переменных. Перечисленные методы отличаются по способу поиска решения основного уравнения ФА. Выбор метода требует большого опыта работы. Однако некото­рые исследователи используют сразу не­сколько методов, выделенные же во всех методах факторы считают наиболее ус­тойчивыми.

Третий этап — это «поворот» факторов в пространстве для достижения простой структуры, в которой каждая переменная характеризуется преобладающим влияни­ем какого-то одного фактора. Выделяются два класса вращения: ортогональное и ко­соугольное. К ортогональным методам от­носятся методы «Varymax» (Kaiser, 1958) — максимизируется разброс квадратов фак­торных нагрузок по каждому фактору в от­дельности, что приводит к увеличению больших нагрузок и уменьшению— ма­леньких. «Quartymax» — простая структура; в отличие от предыдущего метода форми­руется для всех факторов одновременно. В некоторых случаях важнее получить про­стую структуру, чем сохранить ортогональ­ность факторов. Для достижения этого ис­пользуются аналогичные методы косоу­гольного поворота: «Oblymin» и «Oblymax». Все описанные выше модели ФА отно­сятся к эксплораторному (поисковому) ФА. Настоящим переворотом в ФА было изобретение конфирматорного (подтверж­дающего) КФА. Основной принцип КФА: в качестве гипотезы формируется структу­ра ожидаемой матрицы факторных нагру­зок (весов), которая затем накладывается на заданную корреляционную матрицу. Гипотеза подвергается статистической проверке, и постепенно исследователь приходит к соответствующим экспери­ментальным данным матрице нагрузок, не прибегая к вращению факторов. Однако гипотеза должна основываться на серьез­ном анализе природы изучаемых пере­менных и лежащих в их основе факторов. Часто для этого проводится предваритель­но эксплораторный ФА. В качестве мате­матического аппарата в данной модели используется моделирование с помощью линейных структурных уравнений.

Данный подход предполагает априор­ное формулирование гипотез относи­тельно количества латентных и измеряе­мых переменных, а также их взаимосвя­зи. Можно выделить следующие этапы: • составляется диаграмма путей, пред­ставляющая собой графы, в которых присутствуют измеряемые и латент-ные переменные, соединенные

стрелками (направлены в сторону влияний);

• строятся системы уравнений мно-жественой регрессии; их количе­ство соответствует количеству за­висимых переменных;

• проверяется соответствие предло­женной модели (системы уравне­ний) эмпирическим данным;

• осуществляется перебор моделей на данных одной выборки.

Метод КФА позволяет оценить валид-ность тестов (конструктную, дискрими-нантную, конвергентную). Использова­ние множества индикаторов для каждого латентного конструкта дает возможность представить степень, с которой каждая переменная объясняет латентную пере­менную. Остаточная дисперсия обуслов­лена случайными флуктуациями. С по­мощью параметров измерительной моде­ли определяется внутренняя согласован­ность теста, по которой можно говорить об уровне надежности измерения. В про­грамме LISREL надежность измеряемых переменных представляется в виде мно­жественных корреляций этих перемен­ных с латентными конструктами (P. Bent-ler, 1982,1992; D. Cole, 1987). Моделиро­вание с помощью латентно-структурных уравнений позволяет также проводить анализ данных лонгитюдного исследова­ния с множественными индикаторами (K.Joreskog, 1979, 1988).

Модель латентных классов. Все моде­ли латентных структур предполагают ло­кальную независимость характеристик. То есть для данной латентной характери­стики наблюдаемые переменные незави­симы в смысле теории вероятностей.

В основе модели лежит формула Бэй-еса, которая связывает априорную веро­ятность с апостериорной.

Общая методология сводится к введе­нию в модель (в качестве исходных дан­ных) априорной плотности распределе­ния параметров и последующему нахож­дению по формуле Бэйеса (с учетом экс­периментальных данных) их апостериор­ной плотности распределения. Априорно задаются две латентные характеристики:

25 психология XXI века

количество классов (К) и соответствую­щее им относительное число испытуемых в классе — Р(к), а также параметр, позво­ляющий устанавливать степень вероят­ности определенного ответа на i-й вопрос при условии, что испытуемый относится к k-му классу — r(k). Априорное задание этих латентных характеристик соответ­ствует гипотезе исследователя либо зада­ется стандартными способами.

Вероятность появления i-ro профиля

По формуле Бэйеса вычисляется апо­стериорная (с учетом реальных профилей ответов испытуемых на вопросы теста) вероятность принадлежности к классу к при условии, что испытуемый имеет i-й паттерн ответов:

Для каждого класса строится наиболее вероятный профиль ответов его предста­вителей.

Данный метод полезен при адаптации существующих новых опросников и их разработке, а также для анализа результа­тов исследования (J. Rost, 1988; Т. Сав­ченко, 1995). При адаптации опросников метод латентно-структурного анализа (LSA) позволяет выделить вопросы теста, которые не соответствуют предложенной модели и подлежат замене или перефор­мулированию. Метод LSA используется также для проведения типологизации по множественному критерию.

Модели научения. Вероятностные моде­ли представляют самый широкий класс моделей в психологии. Модели такого типа существуют почти во всех ее разде­лах. Многие модели описаны в соответ­ствующих разделах данного руководства, здесь же приведены отдельные, наиболее характерные примеры.

Так, в моделях научения есть класс ве­роятностных моделей. Примером общей вероятностной модели процесса научения является модель, имеющая два подмноже­ства гипотез (К. Chow, J. Cotton, 1983; Ch. Brainerd, 1982). Согласно этим моделям, испытуемый выдвигает гипотезу из одно­го подмножества; в случае верного реше­ния в следующем испытании гипотеза выдвигается из этого же множества, а в случае неудачи — с вероятностью р проис­ходит выбор одного из двух подмножеств. Однако модели, имеющие три подмноже­ства гипотез, более адекватно отражают процесс идентификации понятий.

В качестве примера автоматной веро­ятностной модели можно привести разра-ботаннную А. Дрынковым (1985) модель, описывающую кривые научения и пред­ставляющую собой автомат-подкрепления со счетным множеством состояний.

Модели принятия решений

Теория принятия решений представляет собой набор понятий и семантических методов, позволяющих всесторонне ана­лизировать проблемы принятия решений в условиях неопределенности.

Можно выделить три основных подхо­да к построению моделей процесса приня­тия решения: теорию статистических ре­шений, теорию полезности и теорию игр. Эти теории нашли применение в психоло­гической практике. Теория принятия ре­шений моделирует поведение людей, ко­торые, принимая решение, действуют в соответствии с некоторыми аксиомами. В основе теории принятия решений лежит предположение о том, что выбор альтер­натив должен определяться двумя факто­рами: 1) представлениями лица, принима­ющего решение о вероятностях различных возможных исходов, которые могут иметь место при выборе того или иного вариан­та решения; 2) предпочтениями, отдавае­мыми различным исходам. Первое — субъективная вероятность, второе — ожи­даемая полезность.

Теория полезности. Основы современ­ной теории полезности были заложены А. Крамером и Д. Бернулли (1738), которые предположили, что для многих людей по­лезность богатства увеличивается с убыва­ющей скоростью по мере его роста. Лишь в 1931 г. философ и математик Ф. Рамсей построил систему аксиом для субъектив-

но ожидаемой полезности. Опираясь на его результаты, Л. Сэвидж (1964) ввел строгую систему аксиом для субъективно ожидаемой полезности, которая формиру­ется из аксиом предпочтения. Теория предпочтений основывается на отноше­нии нестрогого < «у не предпочтительнее, чем х» или строгого предпочтения < «х предпочтительнее, чем у» (G. Fishburn, 1972). В последних работах чаще использу­ется строгое предпочтение. Функция U на­зывается функцией полезности для отно­шения предпочтения > на X, если и(х) > и(у) для любых х и у, таких, что х > у.

В настоящее время модель Сэвиджа для субъективно ожидаемой полезности полу­чила наибольшее признание среди теорий принятия решений с риском: SEU = Р* U, где SEU — субъективно ожидаемая полез­ность исхода; U — полезность наступивше­го исхода; Р* — субъективная вероятность наступившего исхода. Субъективная веро­ятность — число, выражающее степень возможности данного события (по мнению субъекта).

С. Стивене и Е. Галантер (1957) полу­чили линейную функцию субъективной вероятности с искажениями на концах шкалы. Позже А. Тверски и Д. Канеман (1974) показали, что люди недооценивают низкие вероятности и переоценивают средние и высокие.

В теории максимизации принимают­ся аксиомы, комбинирующие субъектив­ную вероятность и полезность.

В теории принятия решений оценки ве­роятностей, полученные на основе сужде­ния одного лица, входят в сумму I (E) = 1, где Е| (i = 1,2... п) — полный набор взаимо­исключающих событий, и если она не рав­на единице, то меняются рассматриваемые оценки [Кеепеу, 1974]. Для оценки распре­деления вероятностей величин, имеющих большое количество значений, берется не­сколько точек функции распределения этой величины и находится кривая, оптимально проходящая через эти точки.

Если необходимо использовать уже имеющиеся данные совместно с экспер­тными оценками, то теорема Бэйеса дает возможность уточнить вероятностные

25*

оценки с учетом полученной дополни­тельной информации. Для дискретного случая теорема имеет вид

P(E|S) = P(S|E) P(E)/I(S|E) P(E),

где S — данные, P(E/S) — вероятность события Е при данном S, a P(S|E) — ве­роятность S при данном Е. Функции Р(Е) и P(E|S) означают соответственно априорную и апостериорную вероятно­сти для дискретного случая.

Достаточно широкий диапазон сужде­ний можно выразить посредством функ­ций одного класса. Функции внутри класса можно изменять, используя теоре­му Бэйеса.

Существуют четыре важных этапа про­цесса принятия решений: 1) определение альтернативных способов действия; 2) описание вероятностей возможных исхо­дов; 3) ранжирование предпочтений воз­можных исходов через их полезность; 4) рациональный синтез информации, полу­ченной на первых трех этапах.

Теория игр

Теория игр является «теорией математи­ческих моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта» (Ю. Гер-мейер, 1972). Она используется для моде­лирования поведения в конфликтной си­туации. Под конфликтом понимается яв­ление, применительно к которому можно указать, какие стороны и как в нем уча­ствуют, какие возможны исходы, кто и как в них заинтересован. Понятие игры в те­ории игр аналогично понятию конфлик­та в психологии.

Понятие оптимальности поведения сторон представляет наиболее важный эле­мент теоретико-игрового подхода к изуче­нию конфликтов, так как выбор принципа оптимальности фактически равнозначен формализации представлений исследова­теля о модели принятия решений в подоб­ных ситуациях. Одним из наиболее распро­страненных является принцип максималь­но гарантированного результата, заключа­ющийся в том, что сторона, принимающая решения, всегда выбирает действие, даю­щее максимально гарантированный эф­фект независимо от действий других учас­тников конфликта. Родоначальником тео­рии игр является Дж. фон Нейман. В Рос­сии — это Ю. Гермейер, Г. Поспелов. Тео­рия игр, так же как и теория принятия ре­шений, — самостоятельное направление в исследованиях операций; она использует­ся во многих науках в качестве аппарата моделирования и аппарата представления. Различаются игры: позиционные и в нор­мальной форме; антагонистические и с не­противоположными интересами; двух лиц и п лиц. Игра считается полностью задан­ной, если известно количество участников, их стратегии и матрицы возможных исхо­дов. В конечной игре существуют гаранти­рованные стратегии, обеспечивающие уча­стнику выигрыш, не меньший, чем гаран­тированный.

Л. Сэвидж ввел понятие риска. Он ра­ботал с матрицей риска, дополняющей матрицу полезности. Иначе говоря, выби­рается действие, приводящее к минимиза­ции максимально возможного риска.

Ю. Гермейер ввел аналогичный крите­рий для игр с непротивоположными инте­ресами. Модели, разработанные на осно­ве теории игр, дают хороший прогноз, од­нако при моделировании вводится доста­точно много ограничений, а также не учи­тываются личностные характеристики участников, поэтому, несмотря на усовер­шенствование математической теории игр, она обладает существенными ограни­чениями. В связи с этим актуальной зада­чей математической психологии в данном направлении можно считать создание формальных математических моделей по­ведения человека в зависимости от его субъективного опыта, личностных харак­теристик и мотивации (Т. Савченко, 1990). Важным приложением аппарата теории игр является его использование в экспе­риментальной психологии в качестве экспериментальной методики изуче­ния поведения в ситуации с непроти­воположными интересами (А. Раппо­порт, К. Терхьн, М. Пилмак, А. Лебедев, Т. Савченко).