Моделирование случайных погрешностей

С заданным законом распределения.

Погрешности любого измерения - случайная величина, распределение которой выбирается достаточно субъективно, с учетом некоторых критериев:

1. Если нет никаких первоначальных сведений о характере измеряемых величин, их взаимосвязи и тем более закона распределения принимают равномерной.

2. Если известно, что измеряемые величины зависят в той или иной степени от других более определенных значений (внешних воздействий) принимают смещенный закон (например, Релея), максимальное значение вероятности распределения которого определяется систематической погрешностью, например, температурой.

3. Если известно, что измеряемая величина - функция многих переменных внешних воздействий - нормальный закон распределения.

В настоящее время один из наиболее эффективных методов исследования (изучения расчета) поведения того или иного сигнала - моделирование его величины с помощью ЭВМ. Такой метод называют вычислительным моделированием (имитационным). Процедура моделирования начинается с задания случайной величины входной Х.

X=`X+DX

`X - средняя определенная величина, называется номинальным

значением (назначенным).

Xi = Xном +DXi

DXi - та случайная погрешность, которую необходимо задать с

учетом принятого закона распределения.

± DX £ ± D

X

0 Xmax 1

1) Определяется (вычисляется) значение доверительного интервала D. Величина доверительного интервала определяется согласно

нормативных документов.

D= CKO * Xном * t

где t- Коэффициент Стьюдента t = f(P)

CKO - Средне квадротическое отклонение

СКО » å dсист. + ådслуч.+ådдоп. (ГОСТ8.009-84)

Определив D, мы знаем лишь, что находится в этом доверительном интервале, но какое точно значение - нам неизвестно. Поэтому суть вычислительного моделирования состоит:

2) В получении величины D X ó- DX ³ -D

í

î DX £ +D

Для получения (задания) этой величины согласно закона распределения существует множество алгоритмов. В том или ином языке имеются стандартные процедуры формирования задания случайных величин с равномерным или нормальным законом распределения. Поэтому рассмотрим I-й.

Стандартная процедура.

RND, позволяет получить случайное число с равномерным законом распределения в интервале (0-1); ( -1 - 1) ; ( 0 - -2). Поскольку для формирования функции RND применяется случайный счет, число получается всегда случайное: при повторении вызова этой функции массив, формируемый в числах, полностью повторяется. Но значения случайных величин оказываются сжатыми, например, в интервале . Реально нам необходимо сформировать

DX®D = k*(0 - 1)+(Xном -D)

Величина коэффициента k - коэффициент, т.е. увеличение интервала в k раз.

Следует учесть, что при моделировании нужно стремиться к получению и крайних значений. Использование функции RND - удобный подход, но не всегда строго перекрывается доверительный интервал. Только при большой выборке распределение стремится к равномерному. Поэтому применяют более простой подход, когда последовательную величину назначают в интервале от (Xном - D) до (Xном + D).

1 2 3 4

N-1 N X

(Xном - D) (Xном + D).

Назначение в цикле с определенным шагом. Меньше шаг - больше

выборка, более идеализированная картина.

X1=Xном - D ; X2 = X1+¶X ; .......;XN = XN-1 +¶X

Эту процедуру можно повторить с небольшим смещением начальной точки.

Несколько сложнее моделирование нормального закона. Здесь также существуют два пути:

1. Использование стандартной процедуры генерации случайного числа с нормальным законом распределения. Но такие функции имеются не во всех языках. Даже если эта функция встроена, она дает псевдослучайную последовательность. Поэтому выборку стремится увеличить интервал, в котором формируются случайные числа ( - ¥ +¥ ).

Поэтому для генерирования задают интервал в 3d . Если такой встроенной функции нет, случайные числа необходимо сформировать случайную процедуру.

При сложении большого числа выборки случайных величин Xi , имеющих равномерное распределение, получается величина Yi, распределение которой принимают нормальным. Чем больше мы складываем, тем закон ближе к нормальному.

N

å Xi = Yi

i=1

Для получения необходимого числа случайных величин с нормальным законом, процедура сложения повторяется много раз. Особенность операции сложения случайных чисел в том, что дисперсия с ростом числа слагаемых уменьшается. Но сужение закона распределения приводит к тому, что уменьшается D, в пределах которого нам нужно получать случайные величины. Поэтому его приводят к прежним границам, т.е. случайная величина должна быть изменена.

Xi X * 1/i * ( -D + D)

X`i » Ö`N * Xi

N - числоинтервалов.

N=1000

N=30

Xном - D Xном Xi Xном + D

Поскольку 1 распределение было псевдослучайным, результат может оказаться не полностью в доверительном интервале. Поэтому множитель корректируем так, чтобы контрольная распечатка массива не выходила за пределы доверительного интервала Ö`N . Процедура формирования случайного числа с нормальным законом распределения на ЭВМ требует промежуточного контроля массива. Для выборки произвольного числа с нормальным законом распределения требуется значительное время. Получив величину доверительного интервала можем провести вычислительный эксперимент:

результативная функция:

Uвых = (Uвх - DU) * ( Kпер. ± DK ) * (Kус ± DKус)

Uвых в измерительной системе определяется как произведение трех величин: входной, коэффициента передачи, коэффициента усиливания. Но каждое значение имеет доверительный интервал, поэтому величина в скобке - случайная величина и для получения ее используют рассмотренную выше процедуру. Опыт состоит в последующем повторении (получении выборки) у выхода и построении гистограммы.