Изучение свободных колебаний

ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА

Цель работы. Познакомиться с особенностями свободных незатухающих и затухающих колебаний.

Приборы и принадлежности: установка - пружинный маятник с набором грузов и шкалой, секундомер, сосуд с водой.

Сведения из теории

Механические колебания - это многократно повторяющиеся движения тела, т.е. движения, при которых тело периодически (через равные промежутки времени) проходит через одно и то же положение в одном и том же направлении.

Простейшими и в то же время часто встречающимися являются гармонические колебания - такие колебания, которые происходят по закону синуса (косинуса).

В зависимости от характера воздействия, оказываемого на колеблющуюся систему, различают свободные (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и другие. Рассмотрим свободные колебания.

Свободныминазываются колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после того, как она однажды была выведена из положения равно­ве­сия. Различают неза­тухающие и затухаю­щие свободные коле­ба­ния, хотя, строго гово­ря, незатухающих сво­бод­ных колебаний в при­роде не бывает.

Рассмотрим сво­бодные колебания на примере пружинного маятника, представ­ля­ю­щего собой тело (материальную точку), подвешенное на пру­жи­не (рис. 6.1). В состо­янии равновесия сила тяжести тела Р = m g (m - масcа тела, g – уско­ре­ние свободного паде­­ния) уравновешивается уп­ругой силой, дей­ству­­ющей на тело со сто­роны пружины F_{0 упр} = k х_о (k- коэффициент жесткости пружины, x₀ - равновесное удли­не­ние пружины). Таким об­разом,

kx₀ = mg . (6.1)

Если тело вы­ве­с­ти из состояния рав­но­ве­сия (например, от­тя­нуть вниз), а затем от­пу­стить, то оно начнет ко­лебаться. Это и есть сво­бодные колебания. Вы­ясним характер этих колебаний, пре­небре­гая пока силами тре­ния.

На колеблющееся те­ло по-прежнему дей­ствуют сила тяжести mg и упругая сила F_упр = - kх₁ , где x₁ - общее удлинение пружины (см. рис.6.1), разное для различных моментов времени. Знак минус указывает на то, что упругая сила направлена в сторону, противоположную смещению. Следовательно, уравнение движения запишется так:

(6.2)

Или, учитывая равенство (6.1),

(6.3)

Обозначив (x - смещение тела от положения равновесия), перепишем выражение (6.3) в виде

или (6.4)

kи m - величины сугубо положительные, поэтому их отношение можно представить в виде квадрата некоторого числа тогда уравнение (6.4) запишется как

(6.5)

Решение уравнения (6.5) имеет вид

(6.6)

Выражение (6.6) называют уравнением колебаний. Здесь А и - постоянные, зависящие от начальных условий; Аназывают амплитудой колебаний, a - начальной фазой, (w₀t+a) - фазой колебаний; - циклической частотой колебаний (число колебаний за секунд). Часто для характеристики колебаний указывают период колебаний – T (время одного полного колебания) и частоту колебаний (число колебаний за единицу времени). Очевидно, что

(6.7)

Выражение (6.6) показывает, что при дан­ных условиях колебания являются гармоническими и незатухающими (рис.6.2).

Как уже отмечалось, строго неза­ту­хающих свободных колебаний не бы­ва­ет. Дело в том, что энергия колеб­лю­щей­ся системы постепенно расходуется на преодоление сил трения, которые все­гда имеют место, поэтому амплитуда ко­лебаний уменьшается. Говорят, что ко­лебания носят затухающий характер.

При небольших скоростях дви­же­ния тела сила трения пропорциональна скорости :

(6.8)

Уравнение движения маятника с учетом сил трения запишется так:

Или, введя обозначения и перенеся все слагаемые влево от знака равенства, получим

(6.9)

Решением уравнения (6.9) является выражение

, (6.10)

в котором - ци­кли­ческая частота свободных за­ту­ха­ющих колебаний; - ам­пли­туда колебаний, убывающая с те­чением времени по экспоненте; - начальная амплитуда. График уравнения (6.10) представлен на рис. 6.3. Величина характеризует скорость затухания. Она называется коэф­фи­ци­ентом затухания.

Видно, что b = 1 / t_e, где t_e - время колебаний, за которое ампли­туда уменьшилась в eраз (вре­мя релаксации).

Скорость затухания харак­те­ри­зуют и двумя другими вели­чинами:

1) декрементом затухания s = A_N / A_N+1 = e ^bТ, равным отно­ше­нию двух соседних (отстоящих по времени на период T) ампли­туд;

2) логарифмическим декре­мен­том затухания, равным, по опре­делению, натуральному ло­га­рифму от декремента затухания:

d = ln s = b T . (6.11)

Оказывается, d = 1/N_e , где N_e - число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Описание установки, метод определения b

Установка (рис. 6.4) включает штатив 1, на кронштейне которого закреплена пружина 2. К нижнему концу пружины подвешена платформа 6 со съемными грузами 5. Верхний конец платформы снабжен указателем 4, который при смещении маятника скользит вдоль масштабной линейки 3 с зеркалом.

Для получения быстро затухающих колебаний платформу с грузами помещают в сосуд с водой. Коэффициент затухания определяют из следующих соображений: при затухающих колебаниях амплитуда N - го колебания связана с начальной амплитудой А₀ соотношением

где t_N - время Nколебаний, за которое амплитуда уменьшилась от до A_N. Отсюда

(6.12)

Порядок выполнения работы

1.Определение коэффициента жесткости пружины. Поочередно нагружая платформу одним или несколькими грузами разной массы (суммарная масса грузов Dm), измерить соответствующие удлинения пружины D х в состоянии равновесия.

По данным каждого из опытов по формуле (6.1) вычислить коэффициент жесткости пружины. Найти его среднее значение. Результаты занести в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Dm, кг	xн , мм	хк , мм	Dх = хк - хн , мм	, Н/м	, Н/м

2.Установление зависимости периода колебаний от массы маятника. Нагружая пружину грузами разной массы и инициируя колебания, определить в каждом случае период колебаний Т. Амплитуда колебаний должна быть достаточно малой. Для этого определить с помощью секундомера продолжительность не менее чем 50 колебаний. По этим данным вычислить Т. Результаты занести в табл. 6.2 (m - суммарная масса платформы и грузов).

Таблица 6.2

m, кг	N	tN , с	T = tN /N, с	Ттеор , с

Для тех же нагрузок вычислить период колебаний по формуле

и относительную величину расхождения в процентах между Т_теор и Т (DT = |T - T_теор|).

Построить график зависимости или и сделать вывод о совпадении или несовпадении опыта с теорией.

3. Определение коэффициента затухания и логарифмическогодекремента затухания колебаний. Маятник поместить в сосуд с водой (верхняя плоскость груза должна находиться на глубине 25-30 мм). Приведя маятник в движение, убедиться, что колебания носят быстро затухающий характер.

При неизменных А₀ , N и m не менее 7 раз измерить:

· амплитуду А_N после совершения маятником N колебаний;

· продолжительность t этих N колебаний.

За амплитуду удобно взять первое отклонение маятника, за A_N- амплитуду после 10 - 15 колебаний. Результаты занести в табл. 6.3.

Таблица 6.3

Номер опыта	AN, мм	t, с	Величины, характеризующие колебания
. . .			А0 = <b> = N = <d> = < t > = < te> = <T> = <Ne> =
S

По данным измерений вычислить средние значения конечной амплитуды <A_N> и общего времени колебаний <t>, а также средние значения других величин, указанных в табл. 6.3.

Найти абсолютную и относительную ошибки в определении коэффициента затухания, принимая :

Абсолютные ошибки конечной амплитуды D A_N и времени колебаний D t вычисляются, как всегда, по соответствующим формулам для прямых измерений.

Результаты представить в виде:

при … , %.

Контрольные вопросы

1. Колебания. Свободные колебания.

2. Свободные незатухающие колебания.

3. Уравнения свободных незатухающих колебаний (дифференциальное уравнение и его решение).

4. Величины, характеризующие колебания: амплитуда, частота и циклическая частота, фаза и начальная фаза.

5. Свободные затухающие колебания.

6. Уравнения затухающих колебаний (дифференциальное уравнение и его решение).

7. Величины, характеризующие скорость затухания колебаний: коэффициент затухания, декремент затухания, логарифмический декремент затухания.

8. Пружинный маятник. Способы определения в данной работе: коэффициента жесткости пружины, периода колебаний маятника, коэффициента затухания, логарифмического декремента затухания.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7