Момент импульса тела относительно оси вращения

Пусть тело вращается вокруг некоторой оси ОО с угловой скоростью ω. Разобьем это тело мысленно на элементарные участки с массами Dm₁, Dm₂, ...Dm_i, ..., которые находятся от оси соответственно на расстояниях Dr_{1 ,} Dr₂, ... , Dr₃ , ..., и вращаются по окружностям, имея линейные скорости v₁, v₂, ... , v_i, ... . Известно, что величина, равная - есть импульс i - го участка. Моментом импульса i - го участка (материальной точки) относительно точки О΄ называется вектор (псевдовектор)

, (3.8)

где - радиус-вектор, определяющий положение i -го участка относительно точки О΄.

Моментом импульса всего тела относительно точки О΄ называют вектор:

(3.9)

модуль которого

. (3.9, а)

Моментом импульса тела относительно неподвижной оси ОО называется скалярная величина L₀₀, равная проекции на эту ось вектора момента импульса тела, опре­делен­ного относительно точки О΄, лежащей на дан­ной оси.

В соответствии с выражениями (3.8) и (3.9) векторы и направлены по оси ОО (рис.3.3). Легко показать, что момент импульса тела L₀₀ относительно оси ОО и момент инерции I этого тела относительно той же оси связаны соотношениями

, L₀₀=I·ω. (3.10)

Основной закон динамики вращательного движения

В случае постоянного момента инерции тела в процессе вращения “Основной закон...” читается так: момент силы (или результирующий момент сил, если их несколько), действующий на тело относительно оси вращения, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловое ускорение, с которым вращается тело:

. (3.11)

Описание установки

и метода определения момента инерции

Маятник Обербека пред­ставляет собой кре­сто­ви­ну, состоящую из втулки 3, четырех спиц 2, укре­плен­ных на одном из концов втулки (рис. 3.4). На спицах раз­ме­щены грузы 1. Последние могут перемещаться вдоль спиц и закрепляться на них с помощью винтов. Другой конец втулки выполнен в виде шкива 4 , на который на­матывается нить-шнур. К сво­бодному концу шнура при­вязан груз 6. Под влия­ни­ем этого груза маятник при­хо­дит в ускоренное вра­ща­тель­ное движение вокруг не­под­вижной оси. Трение меж­ду втулкой маятника и осью пра­ктически сведено к нулю уста­новленными на ось под­шип­никами. Для установки гру­за 5 на определенной вы­со­те предусмотрен указатель 5. Исходным уравнением для определения момента инер­ции I маятника является уравнение (3.11), из которого следует, что

, (3.12)

где M - вращающий момент, в данном случае - момент силы Т натяжения шнура, приложенной в точке k (рис. 3.4); ε - угловое ускорение маятника.

Нить маятника вертикальна, поэтому угол α в формуле (3.6, а) равен 90⁰, так что

М = T R, (3.13)

где R - радиус шкива.

Сила T может быть найдена из второго закона Ньютона, записанного для груза 6:

ma = mg - T,

где m- масса груза, а - ускорение, с которым он опускается, откуда

Т = m (g - а). (3.14)

Таким образом, подставляя (3.14) в (3.13), получим

М = m(g - a) R. (3.15)

Угловое ускорение εсвязано с тангенциальным ускорением точек на ободе колеса следующим соотношением:

.

В свою очередь, совпадает с ускорением а, с которым опускается груз 6. Следовательно,

. (3.16)

Ускорение а можно вычислить, если измерить время t опускания груза на определенную высоту h. Действительно,

,

поэтому

. (3.17)

Подставляя (3.17) в (3.16) и (3.15), а затем в (3.12), получим

, (3.18)

где d = 2 R - диаметр шкива.

Заметим, однако, что второе слагаемое в выражении (3.18) оказывается на практике значительно меньше первого, а потому момент инерции маятника можно вычислить как

.(3.19)

Формула (3.19) - рабочая формула для определения I из законов динамики. С другой стороны, как уже отмечалось, момент инерции тела - величина аддитивная. Следовательно, момент инерции маятника Обербека относительно оси вращения можно представить в виде

I = I_в + I_ш + 2I_сп + 4I_гр (3.20)

где: I_в - момент инерции втулки; I_ш - момент инерции шкива; I_пс- момент инерции пары спиц; I _гр - момент инерции одного груза 1. Разумеется, все эти моменты инерции в данном случае берутся тоже относительно оси вращения.

Так как , где lи m_пс - общая длина (рис. 3.5) и масса двух спиц, а для случая, когда грузы 1 находятся на концах спиц,

I_гр = m_гр l₁²

(груз - материальная точка), где l₁ - расстояние от центра масс груза до оси, а m_гр - масса груза 1, то

I = (I_в + I_ш) + 1/6 × m_пс l² + 4 m_гр l₁². (3.21)

Порядок выполнения работы

1. Внесите в таблицу данные о массе груза 6 и ускорении свободного падения для широты г. Перми (написаны на приборе).

2.Установите грузы 1 на концы спиц, причем так, чтобы маятник находился в безразличном равновесии.

3. Наматывая нить на шкив, установите груз 6 так, чтобы основание груза совпало с указателем 5 (см. рис.3.4). Следите за тем, чтобы витки нити на шкив наматывались в один слой, а нить намоталась бы с внешней стороны маятника. В этом положении маятник придерживайте рукой за одну из спиц.

4. Измерьте время t₁опускания груза 6 с установленной высоты до пола. Для чего отпустите маятник без толчка, включив одновременно секундомер. Опыт повторите не менее 7 раз. Результаты занесите в табл.3.1.

5. Передвиньте грузы 1 примерно на середину спиц и установите их так, чтобы маятник находился в безразличном равновесии. По п. 4 измерьте время t₂ движения груза в этом случае. Результаты запишите в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Номер опыта	t1 , с	t2, с	t1i - < t1>, с	(t1i - <t1>)2, с2	Другие данные
. . .					g = d = h = a = Δt = Dtпр =
			S (t1i - < t1>)2

6. Измерьте диаметр шкива d и высоту падения груза h, оцените ошибкиDd иDh в измерении этих величин. Данные занесите в табл. 3.1.

7. Вычислите < > и < > и по формуле

< I> =

вычислите среднее значение моментов инерции и (для того и другого расположения грузов 1).

8. Определите относительную погрешность в вычислении момента инерции (только для или только для , так как погрешности будут приблизительно одинаковыми).

Для чего:

а) задайтесь надежностью a (от 0,90 до 0,97), выберите коэффициенты Стьюдента , оцените Dt_пр для секундомера;

б) вычислите абсолютную погрешность в измерении времени:

;

в) вычислите относительную погрешность в определении I (например, для I ):

;

9. Вычислите абсолютную погрешность для обоих моментов инерции:

, ,

результаты запишите в виде

, при %,

. a = ... .

10. Сравнивая I и I , сделайте вывод (касающийся связи величины момента инерции и расположения грузов 1).

11. Измерьте l и l₁ (лучше 2l₁) (см. рис.3.5) и по формуле (3.20) вычислите момент инерции как аддитивную величину I₁^ад (m_пc, m_гр и (I_в + I_ш) должны быть даны). Значения всех этих величин внесите в тетрадь.

12. Найдите расхождение в процентах между значениями I₁ и I₁^ад, полученными из опыта и вычисленными по формуле (3.21).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется моментом инерции материальной точки относительно оси, моментом инерции твердого тела относительно оси? В каких единицах измеряется момент инерции?

2. В чем состоит теорема Штейнера? Приведите пример ее использования.

3. Что называется моментом силы относительно оси? В каких единицах он измеряется?

4. Что такое плечо силы?

5. Что называется моментом импульса материальной точки относительно оси вращения, моментом импульса твердого тела относительно оси вращения? В каких единицах измеряется момент импульса?

6. Как связаны между собой момент импульса и момент инерции тела, вычисленные относительно оси вращения?

7. Маятник Обербека: устройство и теория метода определения его инерции.

8. Порядок выполнения работы. Выводы.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Цель:познакомиться с методом определения моментов инерции тел.

Приборы и принадлежности: исследуемое тело (пластина), кронштейн для подвешивания тела, секундомер, линейка, математический маятник.