Теорема Монжа. Частные случаи

Теорема Монжа. Если тела вращения имеют одну общую ось, то линия их взаимного пересечения будет представлять собой окружность.

Если общая ось вращения параллельна одной из плоскостей проекций, то на эту плоскость проекций линия пересечения тел проецируется в виде прямой.

Если общая ось вращения перпендикулярна плоскости проекций, то на эту плоскость линия пересечения проецируется в виде окружности (в натуральную величину).

Геометрическая интерпретация этого положения показана на примере пересечения прямого кругового конуса и сферы, которые имеют общую ось вращения (рис. 112). Т.к. эти тела вращения имеют общею ось вращения следовательно линии пересечения этих тел m и n являются окружностями. Учитывая что общая ось вращения этих тел параллельна фронтальной плоскости проекций и перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций, значит линии перенесения проецируются на π₂ в виде прямых m₂ и n₂, а на π₁ в виде окружностей m₁ и n₁.

Рис. 112

Частные случаи. Если у двух поверхностей (рис. 113) вращения оси пересекаются и вспомогательная сфера, взятая с центром в точке пересечения этих осей, касается одновременно поверхностей двух заданных тел, то линия их взаимного пересечения распадется на две плоские кривые линии — эллипсы

Рис. 113

В ортогональных проекциях пересекающиеся оси двух заданных тел должны быть расположены параллельно какой-либо плоскости проекций, тогда линия их пересечения спроецируется как две пересекающиеся прямые.

На рис. 113 оси двух заданных тел располагаются параллельно фронтальной плоскости проекций. В зависимости от формы поверхности геометрических тел и их взаимного расположения линия пересечения может распасться на два эллипса одинаковой величины (рис. 113б).

Способ вспомогательных сфер

Способ вспомогательных сфер применяется для построения линии пересечения поверхностей тел вращения, имеющих пересекающиеся оси. Кроме того, оси этих тел параллельны одной из плоскостей проекций т.е. образуют плоскость уровня.

В основе этого способа применяется поверхность посредник в виде сферы с использованием теоремы Монжа (см. п14.2 и рис. 112).

Рассмотрим построение линии пересечения на примере конуса и цилиндра (рис. 114).

Выберем центр вспомогательных сфер в точке пересечения осей задан­ных поверхностей (точка О).

Опорные точки 1 и 2на очерковых образующих, расположенные в одной плоскости, определяются непосредственно. Линия пересечения заключается между этими точками. Одна из них определяет максимальный радиус вспомогательных сфер R_max = O₂1₂ (наиболее удаленная фронтальная проекция от точки пересечения осей О₂). Минимальный радиус R_minберется наи­большим радиусом сферы, которую можно вписать в одну из заданных поверхностей, при этом пересекая другую поверхность.

Для построения промежуточных точек проводят несколько вспомо­гательных сфер (R_min<R<R_max). Эти сферы пересекают заданные поверхности по окружностям b и п. Окружности b и п, пересекаясь, дают дополнительные точки линии пересечения 3 и 4, проекции которых определяются вначале на π₂ (b₂∩п₂=3₂ и b₂∩п₂=4₂), а затем на плоскости π₁ как точки окружностей радиусами r.

Полученные точки (опорные и промежуточные) последовательно соединяют на фронтальной и горизонтальной проекциях.

На фронтальной проекции видна ближняя часть кривой (1₂-4₂-2₂) и не видна дальняя (1₂-3₂-2₂). Кривая пересечения поверхностей симметрична, значит (1₂-4₂-2₂)≡(1₂-3₂-2₂). На горизонтальной проекции видна часть кривой (... -3₁-1₁-4₁– ...), проекции точек которой расположены выше фронтальной проекции оси симметрии наклонного цилиндра. В этом случае границей видимости линии пересечения на горизонтальной проекции служат точки на горизонтальных проекциях очерковых образующих наклонного цилиндра.

Рис. 114

14.4. Контрольные вопросы.

1. В чём сущность способа вспомогательных секущих плоскостей при построении линии пересечения двух тел вращения?

2. Каков принцип построения линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых параллельны или пересекаются (скрещиваются) под прямым углом?

3. По каким линиям пересекаются соосные поверхности?

4. В чём суть теоремы Монжа?

5. Перечислите частные случаи пересечения тел вращения.

6. Покажите как для частных случаев изображаются линии пересечения тел вращения на эпюре.

7. В каких случаях удобно применять метод секущих сфер?

8. Каков принцип построения линии пересечения двух поверхностей методом секущих сфер?

Лекция 15. РАЗВЕРТКИ

15.1. Общие сведения.

15.2. Развертка пирамиды.

15.3. Развертка призмы.

15.4. Развертка конической поверхности общего вида.

15.5. Контрольные вопросы.

Общие сведения

Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью. Построение разверток поверхностей имеет большое практическое применение при изготовлении различных изделий из листового материала. Это обшивка самолётов и судов, всевозможные резервуары и трубопроводы в нефтехимической и газовой промышленности, изделия швейной и кожевенной промышленности и т.д.

Для построения развёртки используются ортогональные проекции по­верхности. Связь между ними описывается инвариантным свойством со­хранения площадей соответствующих фигур. Это свойство влечёт за собой ещё такие свойства:

– длины соответствующих линий поверхности и её развёртки равны;

– углы, образованные линиями поверхности, равны углам, состав­ленным их образами на развёртке;

– прямая поверхности отображается на прямую развёртки;

– параллельные прямые поверхности отображаются на параллельные прямые развёртки.

Разработка наиболее простых и точных способов построения разверток необходима для изготовления тонкостенных изделий заданной формы и размеров. Чем рациональнее и точнее способ выполнения разверток и их раскроя, тем экономичнее технология изготовления изделий. При этом экономятся листовой материал и рабочее время.

Теоретически точно развертываются поверхности многогранников, прямых круговых конусов и цилиндров. Приближенными развертками являются развертки поверхностей наклонных конусов и цилиндров, а развертки сфер относятся к условным.

В общем случае, построение любой развертки сводится к построению натуральной величины и формы элементов, составляющих поверхность.

Развертка пирамиды

Развертка пирамиды относится к точным разверткам. Ее получения катет S B равен основывается на способе построения треугольника по трем известным сторонам, где в качестве сторон треугольника используются натуральные величины ребер пирамиды.

Поэтому для построения развертки пирамиды (рис. 115) необходимо найти натуральные величины ее боковых ребер и основания.

Основание пирамиды представляет собой треугольник, изображенный в натуральную величину на плоскости π₁, так как является горизонтальной плоскостью уровня.

Для определения натуральных величин боковых ребер воспользуемся способом прямоугольного треугольника (см. п 5.1). Так в треугольнике ∆S₀S B горизонтальной проекции ребра S₁B₁, а катет S₀S – разности координат по оси 0Z его концов. Следовательно, гипотенуза S₀B , этого треугольника, есть натуральная величина ребра SB. Аналогично находятся и другие натуральные величины ребер.

Рис. 115

После определения натуральных величин ребер строится развертка боковой поверхности пирамиды. Для этого на любом из ребер, например, S₀A₀ (или отдельно), последовательно строятся треугольники каждой грани по трем известным их сторонам: ∆S₀A₀B₀ → ∆S₀B₀C₀ → ∆S₀C₀A₀. Следует помнить, что построение боковых граней заканчивается тем же ребром, с которого начинается построение развертки боковой поверхности пирамиды. После построения боковой поверхность пирамиды к любому ребру основания пирамиды пристраивается ее основание.

Нанесение линии на развертку производится по точкам. Количество точек зависит от сложности конфигурации линии. Для определения положения любой точки поверхности на развертке, например, точки N, вначале находят положения проекций k₁ и k₂, прямой k,проходящей через вершину S и данную точку. Затем прямую k наносят на развертку при условии, что [А₀1₀]=[А₁1₁]. Далее, используя теорему Фалеса, определяется истинное положение точки N₀ на развертке.

Развертка призмы

Развертка призмы может осуществляется несколькими способами, одними из которых являются способ раскатки и способ нормального сечения.

Способ раскатки. В общем случае каждая грань призмы (рис. 116) имеет форму параллелограмма. В данном примере натуральные величины ребер определяется на плоскости π₂, а оснований – на плоскости π₁.

Если в исходных данных призма занимает общее положение, то необходимо способами преобразования эпюра преобразовать его проекции так, чтобы грани призмы были либо фронталями, либо горизонталями, а плоскости оснований – плоскостями уровней.

Развертка боковой поверхности осуществляется совмещением граней призмы с плоскостью проекций. Для этого все точки вращают в плоскостях, перпендикулярных проекциям ребер, а расстояния между ребрами берутся равными соответственно величинам сторон основания.

Рассмотрим на примере (рис. 100). За начало развертки принимается одна из фронтальных проекций ребра (на примере – С₀Е₀=С₂Е₂). Из проекции вершины F₂ проводится перпендикуляр к фронтольной проекции ребра B₂F₂. Принимая вершину Е₀ за центр окружности делается засечка на перпендикуляре радиусом равным E₁F₁. Полученная засечка является вершиной параллелограмма F₀. Используя вершину F₀, ребро С₀Е₀и принцип параллельности достраивается параллелограмм E₀C₀B₀F₀. Далее аналогично строится грани A₀B₀F₀D₀ и A₀D₀E₀C₀.

После построения развертки боковой поверхности к ней пристраиваются основания.

Нанесение линии на развертку производится точкам. Для определения положения любой точки поверхности на развертке, например, точки N, вначале находят положения проекций k₁ и k₂ прямой k,которая параллельна боковым ребрам призмы и которой принадлежит эта точка. Затем прямую k наносят на развертку при условии, что [A₀K₀]=[A₁K₁].Далее, используя [K₂N₂]=[K₀N₀], определяют истинное положение точки N₀.

Рис. 116

Способ нормального сечения. Сущность данного способа построения развертки призмы заключается в следующем.

Заданную призму пересекается плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам, и строится проекция и натуральная величина сечения призмы этой плоскостью (нормальное сечение). Также определяются натуральные величины отрезков боковых рёбер призмы, лежащих выше и ниже нормального сечения.

На рис. 117 показано:

– натуральная величина нормального сечения (∆1₄2₄3₄) призмы АВСDEF, полученное сечением ее фронтально-проецирующей плоскостью α с использованием способа замены плоскостей проекций;

– натуральные величины ребер и их деления секущей плоскостью определяется на плоскости π₂;

– натуральные величины оснований определяются на плоскости π₁.

Для построения развертки на свободном поле эпюра проводится горизонтальная линия и на ней от произвольной точки откладываются друг за другом стороны нормального сечения призмы: [1-2]→[2-3]→[3-1].

Рис. 117

Через полученные точки 1, 2, и 3 проводятся вертикальные прямые линии, на которых вниз откладываются натуральные величины отрезков боковых рёбер призмы, лежащих ниже нормального сечения, а вверх – натуральные величины отрезков боковых рёбер призмы, лежащих выше нормального сечения. Соединяя построенные точки между собой отрезками прямых, получается развертка боковой поверхности призмы. Достроив к ней натуральные величины верхнего и нижнего оснований, получается полная развертка поверхности призмы.

Нанесение линии на развертку производится точкам. Для определения положения любой точки поверхности на развертке, например, точки N, вначале находят положения проекций k₁ и k₂ прямой k,которая параллельна боковым ребрам призмы и которой принадлежит эта точка. Эта прямая пересекает нормальное сечение в точке 4. Используя проекцию 4₄ на натуральной величине нормального сечения, а также натуральную величину отрезка 4N определяется положение точки N на развертке.