Определение следов плоскости

Для того чтобы построить следы плоскости, достаточно построить следы (горизонтальный и фронтальный) любых двух прямых, лежащих в этой плоскости, и соединить их между собой. Таким образом, след плоскости (горизонтальный или фронтальный) будет однозначно определен, поскольку через две точки на плоскости (в данном случае этими точками будут следы прямых) можно провести прямую, и при том, только одну.

Рассмотрим пример (рис. 55). Пусть плоскость α заданы двумя пересекающимися прямыми m и n: α(m∩n). Горизонтальные следы прямых m и n являются точки А и В, через которые строится горизонтальный след заданной плоскости α₁(А₁,В₁). Фронтальный след плоскости α₂ строится аналогично, но только через фронтальные следы C и D соответственно прямых m и n: α₂(С₂,D₂).

Рис. 55

Принадлежность прямой плоскости

Прямая принадлежит плоскости если она проходит через две точки, лежащих в этой плоскости.

Дано: задана плоскость α(∆АВС) и одна из проекций прямой l₁ которая принадлежит этой плоскости (рис. 56).

Определитьнедостающею проекцию прямой l₂ при условии, что прямая l Ì α(∆АВС).

Рис. 56

Алгоритм решения.

1. Выбираются проекции двух точек одновременно принадлежащие заданным плоскости и прямой (А₁В₁∩l₁=1₁ и А₁С₁∩l₁=2₁).

2. По принадлежности точки 1ÌАВ и 2ÌАС опреде­ляются недостающие проекции точек 1₂ и 2₂.

3. Через полученные про­екции точек 1₂ и 2₂ достраивается недостающая проекция прямой l₂ принадлежащей плоскости α.

Принадлежность точки плоскости

Дано: задана плоскость α(∆АВС) и одна из проекций точки К которая принадлежит этой плоскости (рис. 57).

Рис. 57

Определитьнедостающею проекцию прямой точки А.

Алгоритм решения.

1. Через известную проекцию точки К₁ проводим проекцию прямой l₁ в предположение, что эта прямая принадлежит заданной плоскости (l Ìα).

2. По вышеуказанному алгоритму определяется недостающая проекция прямой l₂.

3. По принадлежности точки К прямо l достраивается искомая проекция точки К₂.

6.6. Контрольные вопросы

1. Перечислите и покажите на примерах способы задания на эпюре плоскости общего положения.

2. Какие плоскости относятся к плоскостям частного положения?

3. Покажите на эпюре характерные признаки и особенности горизон­тально-проецирующей, фронтально-проецирующей и профильно-проецирующей плоскостей.

4. Какие плоскости относятся к плоскостям уровней?

5. Покажите на эпюре характерные признаки и особенности горизонтальных, фронтальных и профильных плоскостей уровней.

6. Как определяются следы плоскости?

7. Покажите на примерах, как строят точки и линии в плоскости общего положения.

Лекция 7. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

7.1. Главные прямые плоскости.

7.2. Построение линии пересечения проецирующей плоскости с плоскостью общего положения.

7.3. Определение точки встречи прямой с плоскостью.

5.4. Контрольные вопросы.

Главные прямые плоскости

Основными главными линиями плоскости являются: горизонтали плоскости; фронтали плоскости; профильные прямые плоскости; линии наибольшего ската; линии наибольшего наклона; линия наибольшего наклона к профильной плоскости. В данной лекции профильные прямые плоскости и линии наибольшего наклона к профильной плоскости проекций не рассматриваются.

Горизонталь плоскости. Горизонталь плоскости – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна горизонтальной плоскости проекций. На рис. 58 показана горизонталь h плоскости α.

Алгоритм построения горизонтали (рис. 59).

1. Горизонталь плоскости как прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, имеет фронтальную проекцию h₂, параллельную оси 0Х. Поэтому вначале на фронтальной проекции заданной плоскости строит­ся характерный признак горизонтали. На рис. 59 h₂(С₂1₂)∥0X.

2. По принадлежности прямой плоскости (алгоритм принадлежности прямой плоскости) достраивается недостающая проекция горизонтали плоскости h₁.

Рис. 58 Рис. 59

Следует отметить, что все горизонтали плоскости параллельны между собой и параллельны горизонтальному следу плоскости.

Фронталь плоскости. Фронталь плоскости – прямая, которая лежит в этой плоскости и параллельна фронтальной плоскости проекций. На рис. 60 показана фронталь f плоскости α.

Алгоритм построения фронтали (рис. 61).

1. Фронталь плоскости как прямая, параллельная фронтальной плос­ко­сти проекций, имеет горизонтальную проекцию f₁, параллельную оси 0Х. Поэтому вначале на горизонтальной проекции заданной плоскости строится характерный признак фронтали. На рис. 61 f₁(A₁1₁)∥0X.

2. По принадлежности прямой плоскости (алгоритм принадлежности прямой плоскости) достраивается недостающая проекция горизонтали плоскости f₂.

Рис. 60 Рис. 61

Линия наибольшего ската. Линия наибольшего ската – прямая, которая лежит в этой плоскости и перпендикулярная горизонталям этой плоскости. Угол α (рис. 62) между линией наибольшего ската и ее горизонтальной проекцией равен углу наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций. Поэтому линия наибольшего ската характеризует угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций.

Рис. 62 Рис. 63

Алгоритм построения линии наибольшего ската (рис. 63).

1. В заданной плоскости проводится горизонталь h.

2. Используя теорему о прямом угле, на первой проекции плоскости, строится проекция линии наибольшего ската l₁(В₁2₁)^h₁(C₁1₁).

3. По принадлежности прямой плоскости достраивается недостающая проекция l₂ линии наибольшего ската.

Следует отменить, что все линии наибольшего ската параллельны между собой и перпендикулярны горизонтальному следу плоскости.

Линия наибольшего наклона. Линия наибольшего наклона – прямая, которая лежит в этой плоскости и перпендикулярная фронталям этой плоскости. Угол β(рис. 64) между линией наибольшего наклона и ее фронтальной проекцией равен углу наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций. Поэтому линия наибольшего наклона характеризует угол наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций.

Рис. 64 Рис. 65

Алгоритм построения линии наибольшего наклона (рис. 65).

1. В заданной плоскости проводится фронталь f.

2. Используя теорему о прямом угле, на второй проекции плоскости, строится проекция линии наибольшего наклона f₂(В₂2₂)^f₂(A₂1₂).

3. По принадлежности прямой плоскости достраивается недостающая проекция l₁ линии наибольшего наклона.

Следует отменить, что все линии наибольшего наклона параллельны между собой и перпендикулярны фронтальному следу плоскости.

7.2. Построение линии пересечения проецирующей плоскости
с плоскостью общего положения

Пусть пересекаются две плоскости. Одна из плоскостей проецирующая, а другая плоскость общего положения. Необходимо определить линию пересечения этих плоскостей.

Известно, что на эпюре одна из проекций проецирующей плоскости вырождается в прямую. Используем этот характерный признак для определения линии пересечения плоскостей.

Рис. 66

Так как линия пересечения плоскостей принадлежит проецирующей плоскости, то тогда ее проекция совпадет с вырожденной проекцией проецирующей плоскости. Следовательно, решение задачи по определению линии пересечения плоскостей сводится к определению недостающей проекции этой прямой, как прямой принадлежащей плоскости общего положения.

Рассмотрим решение такой задачи на примере (рис. 66).

Дано: плоскость общего положения α(∆АВС) и горизонтально-проецирующая плоскость.

Определить линию пересечения плоскостей α∩β=l.

Решение

1. Так как β(m∩n) ^ π₁=>l₁≡m₁≡n₁.

2. l₁∩A₁B₁=1₁ и l₁∩A₁С₁=2₁.

3. 1ÌAB=>1₂ÌA₂B₂ и 2ÌAС=>2₂ÌA₂С_2.

4. Через полученные точки 1₂ и 2₂ строится l₂(1₂2₂).