Лекция 3. ТОЧКА НА ЭПЮРЕ МОНЖА

3.1. Метод двух изображений.

3.2. Конкурирующие точки.

3.3. Прямая и обратная задачи.

3.4. Определение недостающих проекций точки.

3.5. Контрольные вопросы.

Метод двух изображений

Аппарат проецирования для метода двух изображений. На практике, кроме метода полного проецирования используют метод двух изображений. Он отличается тем, что в этом методе исключается третья проекция объекта. Для получения аппарата проецирования метода двух изображений из аппарата полного проецирования исключается профильная плоскость проекций с ее центром проецирования (рис. 20). Кроме того, на оси 0Х назначается начало отсчета (точка 0) и из него перпендикулярно оси 0Х в плоскостях проекций π₁иπ₂ проводят оси 0Y и 0Z соответственно.

Рис. 20

В этом аппарате все пространство делится на четыре квадранта. На рис. 20 они обозначены римскими цыфрами.

Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I квадранте.

Рассмотрим работу аппарата на примере проецирования точки А.

Из центров проецирования S₁ и S₂ выходят проецирующие лучи l₁ и l₂. Эти лучи проходят через точку А и пересекаясь с плоскостями проекций образуют ее проекции:

– А₁ – горизонтальная проекция точки А;

– А₂ – фронтальная проекция точки А.

Эпюр точки методом двух изображений. Чтобы получить эпюр точки А (рис. 21), в аппарате проецирования (рис. 20) плоскость π₁ с полученной проекцией точки А₁ вращают по часовой стрелке вокруг оси 0Х, до со­вмещения её с плоскостью π₂. Направление поворота плоскости π₁ показана на рис. 20 стрелками. При этом на эпюре точки полученной методом двух изображений остается только одна вертикальная линия связи А₁А₂.

Рис. 21

На практике построение эпюра точки А(x_A, y_A, z_A) осуществляется по чис­ленным значениям ее координат x_A, y_A и z_A в следующей последо­ва­тельности (рис. 21).

1. Вычерчивается ось OX и назначается начало отсчета (точка 0).

2. На оси OX откладывается численное значение координаты x_A точки А и получают положение точки А_х.

3. Через точку А_х перпендикулярно оси OX проводится вертикальная линия связи.

4. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y_A точки А и определяется положение горизонтальной проекции точки А₁ на эпюре. Следует отметить, что на эпюре ось OY не вычерчивается, а предполагается, что ее положительные значения располагаются ниже оси OX, а отрицательные выше.

5. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты z_A точки А и определяется положение фронтальной проекции точки А₂ на эпюре. Следует отметить, что на эпюре ось OZ не вычерчивается, а предполагается, что ее положительные значения располагаются выше оси OX, а отрицательные ниже.

Характеристика точек в методе двух изображений. Характерные признаки точек частного положения на эпюре Монжа (рис. 22):

Рис. 22 Рис. 23

– точки, принадлежащие плоскостям проекций – одна из проекций точки принадлежит оси 0Х (А Ì π₁, В Ì π₂);

– точки, принадлежащие оси 0Х – оби проекции точки тождественно совпадают и принадлежат ось (С Ì0Х);

– точки, принадлежащие центрам проецирования – одна из проекций точки располагается в бесконечности от оси 0Х (D Ì S₁, E Ì S₂).

Расположение проекций точек общего положения на эпюре Монжа в зависимости от квадранта в котором они находятся приведены на рис. 23: точка А находящейся в I квадранте; В находящейся во II квадранте; C находящейся в III квадранте; D находящейся в IV квадранте.

Конкурирующие точки

Точки на одном проецирующем луче называются конкурирующими. Они в направлении проецирующего луча имеют общую для них проекцию, т.е. их проекции тождественно совпадают. Характерным признаком конкурирующих точек на эпюре является совпадение их одноименных проекций. Конкуренция заключается в видимости их проекций относительно наблюдателя. Говоря другими словами, в пространстве для наблюдателя одна из точек видима, другая – нет. И, соответственно, на чертеже: одна из проекций конкурирующих точек видима, а проекция другой точки – невидима.

На пространственной модели проецирования (рис. 24) из двух конкурирующих точек А и В видима точка А по двум взаимно дополняющим признакам. Судя по цепочке S₁→А→В точка А ближе к наблюдателю, чем точка В. И, соответственно, – дальше от плоскости проекций π₁ (т.е. z_A > z_A).

Рис. 24 Рис.25

Если видима сама точка A, то видима и её проекция A₁. По отношению к совпадающей с ней проекцией B₁. Для наглядности и при необходимости на эпюре невидимые проекции точек принято заключать в скобки.

Уберем на модели точки А и В. Останутся их совпадающие проекции на плоскости π₁ и раздельные проекции – на π₂. Условно оставим и фронталь­ную проекцию наблюдателя (⇩), находящегося в центре проецирования S₁. Тогда по цепочке изображений ⇩ → A₂ → B₂ можно будет судить о том, что z_A > z_B и что видима и сама точка А и её проекция А₁.

Аналогично рассмотрим конкурирующие точки С и D по видимости относительно плоскости π₂. Поскольку общий проецирующий луч этих точек l₂параллелен оси 0Y, то признак видимости конкурирующих точек С и D определяется неравенством y_C > y_D. Следовательно, что точка D закрыта точкой С и соответственно проекция точки D₂ будет закрыта проекцией точки С₂ на плоскости π₂.

Рассмотрим, как определяется видимость конкурирующих точек на комплексном чертеже (рис. 25).

Судя по совпадающим проекциям А₁≡В₁ сами точки А и В находятся на одном проецирующем луче, параллельном оси 0Z. Значит сравнению подлежат координаты z_A и z_B этих точек. Для этого используем фронтальную плоскость проекций с раздельными изображениями точек. В данном случае z_A > z_B. Из этого следует, что видима проекция А₁.

Точки C и D на рассматриваемом комплексном чертеже (рис. 25) так же находятся на одном проецирующем луче, но только параллельном оси 0Y. Поэтому из сравнения y_C > y_D делаем вывод, что видима проекция С₂.

Общее правило. Видимость для совпадающих проекций конкурирующих точек определяется сравнением координат этих точек в направлении общего проецирующего луча. Видима та проекция точки, у которой эта координата больше. При этом сравнение координат ведется на плоскости проекций с раздельными изображениями точек.

Задача определения видимости конкурирующих точек имеет большое практическое значение. Поскольку окончательная обводка чертежа геометрической фигуры производится с учетом видимости её элементов.

Прямая и обратная задача

Прямая задача заключается в построении эпюра точки, а обратная задача – в определении местоположения точки в пространстве по ее эпюру.

Решение прямой задачи было рассмотрено при построении эпюра точки методами трех (см. п2.1) и двух (см. п3.1) изображений.

Рассмотрим решение обратной задачи.

Местоположение точки, например точки А, в пространстве определяется ее координатами х_А, y_A и z_A. Определение численных значений координат берется с эпюра (см. рис. 15, 21) как удаление ее проекций точки от осей OX, OY и OZ, а знак от направления удаления от осей (см. рис. 20, 23).

Для наглядности решения обратной задачи рассмотрим примере точки А эпюр и характеристика которой приведены на рис. 26. Из анализа эпюра точки и ее характеристики следует, что точка А(40;50;-20) располагается в IV актанте.

Рис. 26

Наглядное положение точки в пространстве рассмотрим на фронтальной диметрии (рис. 27). Следует помнить, что при построении фронтальной диметрии (см. п1.3):

- ось 0Y на чертеже располагается под углом 45⁰ к осям 0X и 0Z;

- при определении положения точки в пространстве численные значения координаты y вдоль оси 0Yоткладывается в два раза меньше (т.е. масштабе М1:2).

Рис. 27