Лекция 2. ТОЧКА НА ЭПЮРЕ МОНЖА

2.1. Аппарат полного проецирования.

2.2. Эпюр точки.

2.3. Характеристика точек.

2.4. Контрольные вопросы.

Аппарат полного проецирования

Выше было указано, что бы обеспечить взаимно-однозначное соответ­ствие между фигурами Ф пространства и их двумерными изображениями необходимо чтобы аппарат проецирования имел несколько плоскостей проецирования.

Рассмотрим аппарат полного проецирования (метод трех изображений). Для этого введём три плоскости проекций (рис. 14):

Рис. 14

π₁ – горизонтальная плоскость проекций;

π₂ – фронтальная плоскость проекций;

π₃ – профильная плоскость проекций.

Плоскости проекций располагаются взаимно перпендикулярно (π₁^π₂^ π₃), а их линии пересечения образуют оси:

– пересечение плоскостей π₁ иπ₂образуют ось 0Х (π₁ ∩π₂ = 0Х);

– пересечение плоскостей π₁ иπ₃образуют ось 0Y (π₁ ∩π₃ = 0Y);

– пересечение плоскостей π₂ иπ₃образуют ось 0Z (π₂ ∩π₃ = 0Z).

Точка пересечения осей считается точкой начала отсчета (точка 0).

Так как плоскости и оси взаимно перпендикулярны, то такой аппарат аналогичен декартовой системе координат.

Плоскости проекций все пространство делят на восемь октантов (на рис. 14 они обозначены римскими цифрами). Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I октанте.

Проецирование ортогональное с центрами проецирования S₁, S₂ и S₃ соответственно для горизонтальной, фронтальной и профильной плоско­стей проекций.

Рассмотрим работу аппарата на примере проецирования точки А.

Из центров проецирования S₁, S₂ и S₃ выходят проецирующие лучи l₁, l₂ и l₃. Эти лучи проходят через точку А и пересекаясь с плоскостями проекций образуют ее проекции:

– А₁ – горизонтальная проекция точки А;

– А₂ – фронтальная проекция точки А;

– А₃ – профильная проекция точки А.

Точка в пространстве характеризуется своими координатами A(x,y,z). Точки A_x, A_y и A_z соответственно на осях 0X, 0Y и 0Z показывают координаты x, y и z точки А. На рис. 14 даны все необходимые обозначения и показаны связи между точкой А пространства, её проекциями и координатами.

Эпюр точки

Чтобы получить чертёж точки А (рис. 15), в аппарате проецирования (рис. 14) плоскость π₁ с полученной проекцией точки А₁ вращают по часовой стрелке вокруг оси 0Х, до совмещения её с плоскостью π₂. Затем плоскость π₃ с проекцией точки А₃, вращают против часовой стрелки вокруг оси 0Z, до совмещения её с плоскостью π₂. Направление поворотов плоскостей π₂ и π₃ показано на рис. 13 стрелками. Полученный таким образом чертёж называется эпюром. При этом прямые А₁А_х и А₂А_х станут располагаться на общем к оси 0Х перпендикуляре А₁А₂, а прямые А₂А_х и А₃А_х станут располагаться на общем к оси 0Z перпендикуляре А₂А₃. Эти прямые в даль­нейшем будем называть соответственно вертикальной и горизонтальной линиями связей.

Следует отметить, что при переходе от аппарата проецирования к эпюру проектируемый объект исчезает, но вся информация о его форме, геометрических размерах и месте его положения в пространстве сохраняются.

На практике построение эпюра точки А(x_A, y_A, z_A) осуществляется по числен­ным значениям ее координат x_A, y_A и z_A в следующей последо­вательности (рис. 15). Эта последовательность называется методикой построения эпюра точки.

1. Ортогонально вычерчиваются оси OX, OY и OZ.

2. На оси OX откладывается численное значение координаты x_A точки А и получают положение точки А_х.

3. Через точку А_х перпендикулярно оси OX проводится вертикальная линия связи.

4. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y_A точки А и определяется положение горизонтальной проекции точки А₁ на эпюре.

5. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты z_A точки А и определяется положение фронтальной проекции точки А₂ на эпюре.

Рис. 15

6. Через точку А₂ параллельно оси OX проводится горизонтальная линия связи. Пересечение этой линии и оси OZ даст положение точки А_z.

7. На горизонтальной линии связи от точки А_z по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y_A точки А и определяется положение профильной проекции точки А₃ на эпюре.

Характеристика точек

Все точки пространства подразделяются на точки частного и общего положений.

Точки частного положения. Точки, принадлежащие аппарату проеци­рова­ния, называются точками частного положения. К ним относятся точки, принадлежащие плоскостям проекций, осям, началу координат и центрам проецирования. Характерные признаки точек частного положения приведены в табл. 1 и на рис. 16–19.

Таблица 1

Математические признаки точек частного положения

Точка принадлежит	Численные значения координат точки
x	y	z
плоскости π1	≠0	≠0	=0
плоскости π2	≠0	=0	≠0
плоскости π3	=0	≠0	≠0
оси 0X	≠0	=0	=0
оси 0Y	=0	≠0	=0
оси 0Z	=0	=0	≠0
точки 0	=0	=0	=0
центру S1	≠0	≠0	∞
центру S2	≠0	∞	≠0
центру S3	∞	≠0	≠0

На рис. 16 приведены характерные признаки принадлежности точек плоскостям проекций на эпюре Монжа: точка А Ì π₁ (рис 16а); точка В Ì π₂(рис 16б); точка С Ìπ₃ (рис 16в). Такими признаками являются принад­леж­ность двух проекций точки осям.

Рис. 16

На рис. 17 приведены характерные признаки принадлежности точек осям на эпюре Монжа: точка А Ì0X (рис 17а); точка В Ì 0Y (рис 17б); точка С Ì0Z (рис 17в). Такими признаками являются принадлежность двух тож­дественно совпадающих проекций точки осям эпюра.

На рис 18 на эпюре Монжа показан характерный признак точки А принад­лежащей началу координат, т.е. все три проекции точки тожде­ственно совпадают и принадлежат началу координат.

На рис. 19 приведены характерные признаки принадлежности точек центрам проецирования на эпюре Монжа: точка А Ì S₁ (рис 19а); точка
В Ì S₂(рис 19б); точка С Ì S₃ (рис 19в). Такими признаками являются принад­лежность двух проекций точки проекциям центров проецирования.

Рис. 17

Рис. 18

Рис. 19

Точки общего положения. К точкам общего положения относятся точки, не принадлежащие аппарату проецирования. Например, точка на рис. 13.

В общем случае численные значения координат точки характеризует ее удаление от плоскости проекций: координата х от плоскостиπ₃; координата y от плоскости π₂; координата z от плоскости π₁. Следует отметить, что знаки при численных значениях указывают на направление удаления точки от плоскостей проекций. В зависимости от сочетания знаков при численных значениях координат точки зависит в каком из октанов она находится (табл. 2).

Расположение проекций точки, относительно осей, на эпюре зависит от того в каком октане она находится (рис. 20).

На рис. 20 показано расположение проекций относительно осей для точки: А находящейся в I октане; В находящейся во II октане; C находящейся в III октане; D находящейся в IV октане; E находящейся в V октане; G находящейся в VI октане; K находящейся в VII октане; L находящейся в VIII октане.

Рис. 20

Таблица 2

Определение номера октана от знаков координат

Номер октана	Знак при координате
x	y	z
I	+	+	+
II	+	-	+
III	+	-	-
IV	+	+	-
V	-	+	+
VI	-	-	+
VII	-	-	-
VIII	-	+	-

2.4. Контрольные вопросы

1. Как называются плоскости проекций π₁,π₂и π₃?

2. Как образуются оси 0Х, 0Y и 0Z?

3. Как получается проекции точи в аппарате проецирования?

4. Зачем нужны центры проецирования S₁, S₂ и S₃?

5. Как осуществляется переход от аппарата проецирования к плоскому чертежу?

6. Чем отличается эпюр от аппарата проецирования?

7. Алгоритм построения точки на эпюре Монжа.

8. Какие точки относятся к точкам общего положения?

9. Какие точки относятся к точкам частного положения?

10. Характерные признаки точек частного положения на эпюре Монжа.

11. Что характеризуют численные значения координат х, y и z точки?