Лекция 1. ВВЕДЕНИЕ В НАЧЕРТАТЕЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ. МЕТОД ПРОЕКЦИЙ

Часть 1

Начертательная геометрия

Курс лекций

Рекомендовано Редсоветом университета
в качестве учебного пособия

для студентов, обучающихся по направлению подготовки

08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений»

Пенза 2017

УДК 514.18+744(07)

ББК 22.151.3+30.11я73

Рецензенты:

доцент Л.В. Ремонтова (ПензГТУ); доктор педагогических наук, профессор Л.А. Найниш (ПГУАС)

.

Поляков Л.Г., Гаврилов МА., Тишина Е.М. Начертательная геометрия и инженерная графика. Ч. 1. Начертательная геометрия: курс лекций по направлению подготовки 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений» / Л.Г. Поляков, М.А. Гаврилов, Е.М. Тишина. – Пенза: ПГУАС, 2017. – 133с.

Приведены необходимые сведения для построения плоских геометрических моделей трехмерных объектов. Рассмотрены наиболее распространенные методы построения таких моделей. Даны примеры решения основных позиционных и метрических задач, а также построения разверток.

Учебное пособие построено по разделам в виде лекций, согласованных с учебными программами и требованиями ГОСТов.

Учебное пособие подготовлено на кафедре «Начертательная геометрия и графика» и предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений».

© Пензенский государственный университет

архитектуры и строительства, 2017

© Поляков Л.Г., Гаврилов М.А., Тишина Е.М., 2017

ПРЕДИСЛОВИЕ

Начертательная геометрия входит отдельным разделом в состав учебной дисциплины федерального значения «Начертательная геометрия и инженерная графика». Этот раздел для специальности 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений» изучается в первом семестре.

В процессе изучения раздела «Начертательная геометрия» у студентов направления подготовки 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений», согласно ФГОС+3, формируется следующая общепрофессиональная компетенция (ОПК): владение основными законами геометрического формирования, построения и взаимного пересечения моделей плоскости и пространства, необходимыми для выполнения и чтения чертежей зданий, сооружений и конструкций, составления конструкторской документации и деталей (ОПК-8).

Исходя из требований ОПК следует, что цель изучения дисциплины состоит в том, чтобы развить у обучаемых способность абстрактного пространственного мышления и формирование умений и навыков изображения пространственных объектов на плоскости и развитие у обучаемых способности разрабатывать графическую документацию, необходимую для выполнения и чтения чертежей зданий, сооружений и конструкций на основе метода прямоугольного проецирования.

Задачи дисциплины:

– обучение студентов методам проецирования и привитие навыков и умений использовать их при решении практических задач;

– обучение студентов изображению различных объектов пространства на двумерных носителях, умению определять положение объектов в пространстве и их взаимное расположение;

– изучение алгоритмов построения элементов взаимного пересечения различных геометрических объектов и построение разверток.

Знания, умения и навыки, приобретенные при изучении дисциплины, необходимы как при изучении общеинженерных и специальных дисциплин, так и в последующей профессиональной деятельности.

Конспект лекций по разделу «Начертательная геометрия» содержит краткий текстовой материал к каждой из 18 лекций. Для выполнения чертежей на лекциях студент должен иметь с собой следующие инструменты и принадлежности:

§ треугольники с делениями (один – с углами 45° и катетами 130-150 мм, второй– с углами 30° и 60° и с большим катетом 200.. 220 мм);

§ простые карандаши твердости М или ТМ;

§ цветные карандаши твердости М – чёрный, зелёный, красный, жёлтый и синий (допускается в место карандашей использовать шариковые ручки);

§ циркуль;

§ принадлежности для заточки карандашей;

§ резинку мягкую для стирания карандашных линий и штрих для замазки ошибок на эпюрах.

Понятие о проецировании

Мост между стереометрией и планиметрией осуществляется с помощью метода проекций, составляющего теоретическую основу начертательной геометрии. Метод обоснован французским учёным Гаспаром Монжем в 1795 г. в г. Париже.

Для реализации метода необходим аппарат проецирования и объекты проецирования. Введём следующие обозначения (рис. 2):

1) аппарат проецирования – это плоскость проекций p и центр проецирования S или направление проецирования s;

2) объект проецирования – точки А, В, С, ... какой-либо фигуры;

3) результат проецирования – проекции А^p, В^p, С^p, …

Каждую точку пространства проецируем из центра S на плоскость p, т.е. проводим проецирующий луч, например SA (рис. 2а). Пересечение проецирующего луча с плоскостью проекций p даёт проекцию точки, например А^p. В данном случае имеем центральноепроецирование.

а – центральное

б – параллельное

в – ортогональное проецирование

рис. 2. Способы проецирования

Если центр S удалить на бесконечно большое расстояние от p и проводить через S_¥ проецирующие лучи, то они будут параллельны между собой и будут иметь общее направление s. В этом случае получаем параллельное проецирование. А^p – п­роекция точки A на плоскости p (рис. 2б).

Если направление при параллельном проецировании окажется перпен­дикулярным к плоскости проекций p, то получаемпрямоугольное, или как ещё говорят, ортогональное проецирование (рис. 2в).

Выше было указано, что метод проекций должен устанавливать взаимно-однозначное соответствие между фигурами Ф пространства и их двумерными изображениями. Это значит, что например точке А пространства должна быть сопоставлена одна и только одна проекция А^p на плоскости p и наоборот, для проекции А^p должна быть сопоставлена единственная точка А пространства. Как видим (рис. 3) с одним аппаратом проецирования, обратное утверждение не имеет смысла, т.е. по одной проекции нельзя судить ни о положении точки в пространстве, ни о форме или размерах какого-либо объекта.

Установить указанное выше взаимно однозначное соответствие оказалось возможным при использовании двухаппаратов проецирования (рис. 4). При этом проецирование центральное либо параллельное может быть осуществлено на одну или на две плоскости проекций. В этом случае каждая точка или фигура пространства изображается в виде двух проекций (изображений), по которым можно определить положение точки или фигуры в пространстве, а значит, и форму и размеры любой фигуры, заданной определённым множеством точек. Этотметод получил название методадвух изображений.

Рис. 3 Рис. 4

Наиболее удобным в инженерной машиностроительной практике оказался так называемый метод двух ортогональных проекций. В этом методе использованы два аппарата ортогонального проецирования: первый – плоскость проекций π₁ и проецирующие лучи, перпендикулярные к π₁ и второй – плоскость проекций π₂ и проецирующие лучи, перпендикулярные к π₂. При этом плоскости π₁ и π₂ взаимно перпендикулярны.

Положительные качества этого метода – простота построения изобра­жений и возможность определять размеры объекта по чертежу. Недостаток – отсутствие наглядности.

Для обеспечения хорошей наглядности и достаточной простоты построения изображений в начертательной геометрии используетсяметод аксонометрического проецирования. В этом методе осуществляется параллельное проецирование пространственных объектов вместе с системой координат, к которой они отнесены, на специально выбранную плоскость проекций p(рис 5). Так как одна параллельная проекция не определяет положения объекта в пространстве и не позволяет установить его форму, то следует строить не только аксонометрическую проекцию объекта, например А₀, но и одну из ортогональных проекций объекта, например А₀'.

Введём обозначения:

p – плоскость аксонометрических проекций,

s – направление проецирования;

x₀, y₀, z₀ – аксонометрические оси, полученные в результате проецирования осей х, у и z на плоскостьp;

0₀ – начало аксонометрических координат.

Так как в общем случае оси х, у и z не параллельны плоскости p, то они проецируются на p с искажением (уменьшением). Поэтому при построении аксонометрических проекций необходимо учитывать коэффициенты искажения по аксонометрическим осям, т.е. k_Xo, k_Yo и k_Zo.

В зависимости от положения плоскости p относительно системы координат и от направления проецирования s возможны различные виды аксонометрических проекций.

Выберем плоскость аксонометрических проекций pпараллельно фронтальной плоскости x0z декартовой системы координат – рис. 5. В этом случае оси х и z проецируются на p без искажения, т.е. k_Xo:k_Zo=1:1. Если при этом направление s проецирования выберем таким, что на плоскости p угол между осями х₀ и у₀ станет равен 45° и коэффициент k_Yo искажения по оси у будет равен ½, то получим аксонометрическую проекцию под названием фронтальная диметрия.

Произвольная аксонометрия Диметрия

Рис. 5

На рис. 5 изображена графическая модель четвертей пространства, выпол­ненная во фронтальной диметрии. По этому наглядному изображе­нию удобно изложить суть построения ортогональных проекций точки.

Более подробное изложение материала по аксонометрическим изобра­жениям приводится в разделе «Проекционное черчение» при изучении инженерной графике.

1.4. Инвариантные свойства проецирования

Существуют основные, т.е. неопределяемые понятия начертательной геометрии. К ним относятся точка, прямая, плоскость, множество, расстояние, принадлежность, параллельность и непрерывность.

Прежде чем переходить к изучению изображений прямой, плоскости, поверхности или их сочетаний, рационально выделить инвариантные свойства геометрических фигур, т.е. те свойства, которые сохраняются после проецировании на любую из плоскостей проекций. Этих основных свойств всего восемь, причем инварианты 1, 2, 3 и 4 характерны для любого способа проецирования, а инварианты 5, 6, 7 и 8 только для параллельного проецирования.

1-й инвариант.

Проекция точки есть точка (рис. 6), т.е. точка проецируется в точку (А→А_π). Это инвариантное свойство вытекает из самого определения понятия проекции, как точки пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.

2-й инвариант.

Проекция линии (прямой) есть линия (прямая). Это инвариантное свойство вытекает из 1-го инварианта. Так как линия – это последо­вательность точек, то последовательность проекций этих точек даст проек­цию линии. На рис. 7 приведен пример проецирования отрезка [AB] на плос­кость проекций π ([AB]→[A_πB_π]).

Рис. 6 Рис. 7

3-й инвариант.

Инвариант принадлежности. Если фигура Ф1 принадлежит фигуре Ф2, то проекция фигуры Ф1 будет принадлежать проекции фигуры Ф2. Например, если точка принадлежит прямой (рис. 8), то и проекция этой точки будет принадлежать проекции этой прямой (C [AB] Þ C_πÌ[A_πB_π]).

Рис. 8 Рис. 9

4-й инвариант.

Точка пересечения двух линий проецируется как точка пересечения про­екций этих линий. Например (рис. 9), К = [АВ] ∩ [CD] Þ K_π =[A_πB_π] ∩ [C_πD_π]. Этот инвариант является следствием инвариантов 2 и 3.

5-й инвариант.

Деления отрезка в заданном соотношении (теорема Фалеса). Если отрезок делится в каком-либо соотношении, то и его проекция будет делится точно в том же соотношении. Например (рис. 10), [AВ]:[CB] = [A_πC_π] : [C_πB_π]. Этот инвариант вытекает из того, что проецирующие лучи парал­лельны между собой.

Рис. 10 Рис. 11

6-й инвариант.

Если прямые параллельны между собой, то и их проекции тоже будут па­раллельны. Например (рис. 11), [AВ] ǁ [CD] Þ [A_πB_π] ǁ [C_πD_π]. Данный инва­риант является следствием инварианта 2 и параллельности проецирующих лучей.

7-й инвариант.

Параллельность переноса объекта. Если объект перемещается параллельно самому себе, то его проекция не меняет своей формы и размеров, а меняет только свое местоположение на картине. Например (рис. 12), ∆АВС ǁ ∆А¹В¹С¹^ ∆АВС = ∆А¹В¹С¹ ⇒ ∆А_πВ_πС_π = ∆А В С . Данный инвариант является следствием инварианта 2 и параллельности проецирующих лучей.

8-й инвариант.

Если плоская фигура параллельна картинной плоскости, то ее проекция является натуральной величиной этой фигуры. Например (рис. 13), ∆АВС ‖ π⇒ ∆А_πВ_πС_π = ∆АВС. Данный инвариант является следствием инварианта 2 и параллельности проецирующих лучей.

Рис. 12 Рис. 13

1.5. Контрольные вопросы

1. Что изучает начертательная геометрия?

2. Какие задачи решает начертательная геометрия?

3. Что называется чертежом?

4. Какие специальные символы существуют для обозначения параллельности, перпендикулярности, пересечения, скрещивания? Какие обозначения вы знаете, кроме этих?

5. Основные элементы аппарата проецирования.

6. Виды проецирования.

7. В чем сущность центрального проецирования?

8. В чем сущность параллельного проецирования?

9. Чем отличается ортогональное проецирование от косоугольного?

10. Как проецируются точка и линия?

11. В чем заключается сущность инвариантов «Точка пересечения двух линий», «Принадлежность» и «Параллельность переноса объекта»?

Эпюр точки

Чтобы получить чертёж точки А (рис. 15), в аппарате проецирования (рис. 14) плоскость π₁ с полученной проекцией точки А₁ вращают по часовой стрелке вокруг оси 0Х, до совмещения её с плоскостью π₂. Затем плоскость π₃ с проекцией точки А₃, вращают против часовой стрелки вокруг оси 0Z, до совмещения её с плоскостью π₂. Направление поворотов плоскостей π₂ и π₃ показано на рис. 13 стрелками. Полученный таким образом чертёж называется эпюром. При этом прямые А₁А_х и А₂А_х станут располагаться на общем к оси 0Х перпендикуляре А₁А₂, а прямые А₂А_х и А₃А_х станут располагаться на общем к оси 0Z перпендикуляре А₂А₃. Эти прямые в даль­нейшем будем называть соответственно вертикальной и горизонтальной линиями связей.

Следует отметить, что при переходе от аппарата проецирования к эпюру проектируемый объект исчезает, но вся информация о его форме, геометрических размерах и месте его положения в пространстве сохраняются.

На практике построение эпюра точки А(x_A, y_A, z_A) осуществляется по числен­ным значениям ее координат x_A, y_A и z_A в следующей последо­вательности (рис. 15). Эта последовательность называется методикой построения эпюра точки.

1. Ортогонально вычерчиваются оси OX, OY и OZ.

2. На оси OX откладывается численное значение координаты x_A точки А и получают положение точки А_х.

3. Через точку А_х перпендикулярно оси OX проводится вертикальная линия связи.

4. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y_A точки А и определяется положение горизонтальной проекции точки А₁ на эпюре.

5. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты z_A точки А и определяется положение фронтальной проекции точки А₂ на эпюре.

Рис. 15

6. Через точку А₂ параллельно оси OX проводится горизонтальная линия связи. Пересечение этой линии и оси OZ даст положение точки А_z.

7. На горизонтальной линии связи от точки А_z по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y_A точки А и определяется положение профильной проекции точки А₃ на эпюре.

Характеристика точек

Все точки пространства подразделяются на точки частного и общего положений.

Точки частного положения. Точки, принадлежащие аппарату проеци­рова­ния, называются точками частного положения. К ним относятся точки, принадлежащие плоскостям проекций, осям, началу координат и центрам проецирования. Характерные признаки точек частного положения приведены в табл. 1 и на рис. 16–19.

Таблица 1

Математические признаки точек частного положения

Точка принадлежит	Численные значения координат точки
x	y	z
плоскости π1	≠0	≠0	=0
плоскости π2	≠0	=0	≠0
плоскости π3	=0	≠0	≠0
оси 0X	≠0	=0	=0
оси 0Y	=0	≠0	=0
оси 0Z	=0	=0	≠0
точки 0	=0	=0	=0
центру S1	≠0	≠0	∞
центру S2	≠0	∞	≠0
центру S3	∞	≠0	≠0

На рис. 16 приведены характерные признаки принадлежности точек плоскостям проекций на эпюре Монжа: точка А Ì π₁ (рис 16а); точка В Ì π₂(рис 16б); точка С Ìπ₃ (рис 16в). Такими признаками являются принад­леж­ность двух проекций точки осям.

Рис. 16

На рис. 17 приведены характерные признаки принадлежности точек осям на эпюре Монжа: точка А Ì0X (рис 17а); точка В Ì 0Y (рис 17б); точка С Ì0Z (рис 17в). Такими признаками являются принадлежность двух тож­дественно совпадающих проекций точки осям эпюра.

На рис 18 на эпюре Монжа показан характерный признак точки А принад­лежащей началу координат, т.е. все три проекции точки тожде­ственно совпадают и принадлежат началу координат.

На рис. 19 приведены характерные признаки принадлежности точек центрам проецирования на эпюре Монжа: точка А Ì S₁ (рис 19а); точка
В Ì S₂(рис 19б); точка С Ì S₃ (рис 19в). Такими признаками являются принад­лежность двух проекций точки проекциям центров проецирования.

Рис. 17

Рис. 18

Рис. 19

Точки общего положения. К точкам общего положения относятся точки, не принадлежащие аппарату проецирования. Например, точка на рис. 13.

В общем случае численные значения координат точки характеризует ее удаление от плоскости проекций: координата х от плоскостиπ₃; координата y от плоскости π₂; координата z от плоскости π₁. Следует отметить, что знаки при численных значениях указывают на направление удаления точки от плоскостей проекций. В зависимости от сочетания знаков при численных значениях координат точки зависит в каком из октанов она находится (табл. 2).

Расположение проекций точки, относительно осей, на эпюре зависит от того в каком октане она находится (рис. 20).

На рис. 20 показано расположение проекций относительно осей для точки: А находящейся в I октане; В находящейся во II октане; C находящейся в III октане; D находящейся в IV октане; E находящейся в V октане; G находящейся в VI октане; K находящейся в VII октане; L находящейся в VIII октане.

Рис. 20

Таблица 2

Определение номера октана от знаков координат

Номер октана	Знак при координате
x	y	z
I	+	+	+
II	+	-	+
III	+	-	-
IV	+	+	-
V	-	+	+
VI	-	-	+
VII	-	-	-
VIII	-	+	-

2.4. Контрольные вопросы

1. Как называются плоскости проекций π₁,π₂и π₃?

2. Как образуются оси 0Х, 0Y и 0Z?

3. Как получается проекции точи в аппарате проецирования?

4. Зачем нужны центры проецирования S₁, S₂ и S₃?

5. Как осуществляется переход от аппарата проецирования к плоскому чертежу?

6. Чем отличается эпюр от аппарата проецирования?

7. Алгоритм построения точки на эпюре Монжа.

8. Какие точки относятся к точкам общего положения?

9. Какие точки относятся к точкам частного положения?

10. Характерные признаки точек частного положения на эпюре Монжа.

11. Что характеризуют численные значения координат х, y и z точки?

Метод двух изображений

Аппарат проецирования для метода двух изображений. На практике, кроме метода полного проецирования используют метод двух изображений. Он отличается тем, что в этом методе исключается третья проекция объекта. Для получения аппарата проецирования метода двух изображений из аппарата полного проецирования исключается профильная плоскость проекций с ее центром проецирования (рис. 20). Кроме того, на оси 0Х назначается начало отсчета (точка 0) и из него перпендикулярно оси 0Х в плоскостях проекций π₁иπ₂ проводят оси 0Y и 0Z соответственно.

Рис. 20

В этом аппарате все пространство делится на четыре квадранта. На рис. 20 они обозначены римскими цыфрами.

Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I квадранте.

Рассмотрим работу аппарата на примере проецирования точки А.

Из центров проецирования S₁ и S₂ выходят проецирующие лучи l₁ и l₂. Эти лучи проходят через точку А и пересекаясь с плоскостями проекций образуют ее проекции:

– А₁ – горизонтальная проекция точки А;

– А₂ – фронтальная проекция точки А.

Эпюр точки методом двух изображений. Чтобы получить эпюр точки А (рис. 21), в аппарате проецирования (рис. 20) плоскость π₁ с полученной проекцией точки А₁ вращают по часовой стрелке вокруг оси 0Х, до со­вмещения её с плоскостью π₂. Направление поворота плоскости π₁ показана на рис. 20 стрелками. При этом на эпюре точки полученной методом двух изображений остается только одна вертикальная линия связи А₁А₂.

Рис. 21

На практике построение эпюра точки А(x_A, y_A, z_A) осуществляется по чис­ленным значениям ее координат x_A, y_A и z_A в следующей последо­ва­тельности (рис. 21).

1. Вычерчивается ось OX и назначается начало отсчета (точка 0).

2. На оси OX откладывается численное значение координаты x_A точки А и получают положение точки А_х.

3. Через точку А_х перпендикулярно оси OX проводится вертикальная линия связи.

4. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y_A точки А и определяется положение горизонтальной проекции точки А₁ на эпюре. Следует отметить, что на эпюре ось OY не вычерчивается, а предполагается, что ее положительные значения располагаются ниже оси OX, а отрицательные выше.

5. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты z_A точки А и определяется положение фронтальной проекции точки А₂ на эпюре. Следует отметить, что на эпюре ось OZ не вычерчивается, а предполагается, что ее положительные значения располагаются выше оси OX, а отрицательные ниже.

Характеристика точек в методе двух изображений. Характерные признаки точек частного положения на эпюре Монжа (рис. 22):

Рис. 22 Рис. 23

– точки, принадлежащие плоскостям проекций – одна из проекций точки принадлежит оси 0Х (А Ì π₁, В Ì π₂);

– точки, принадлежащие оси 0Х – оби проекции точки тождественно совпадают и принадлежат ось (С Ì0Х);

– точки, принадлежащие центрам проецирования – одна из проекций точки располагается в бесконечности от оси 0Х (D Ì S₁, E Ì S₂).

Расположение проекций точек общего положения на эпюре Монжа в зависимости от квадранта в котором они находятся приведены на рис. 23: точка А находящейся в I квадранте; В находящейся во II квадранте; C находящейся в III квадранте; D находящейся в IV квадранте.

Конкурирующие точки

Точки на одном проецирующем луче называются конкурирующими. Они в направлении проецирующего луча имеют общую для них проекцию, т.е. их проекции тождественно совпадают. Характерным признаком конкурирующих точек на эпюре является совпадение их одноименных проекций. Конкуренция заключается в видимости их проекций относительно наблюдателя. Говоря другими словами, в пространстве для наблюдателя одна из точек видима, другая – нет. И, соответственно, на чертеже: одна из проекций конкурирующих точек видима, а проекция другой точки – невидима.

На пространственной модели проецирования (рис. 24) из двух конкурирующих точек А и В видима точка А по двум взаимно дополняющим признакам. Судя по цепочке S₁→А→В точка А ближе к наблюдателю, чем точка В. И, соответственно, – дальше от плоскости проекций π₁ (т.е. z_A > z_A).

Рис. 24 Рис.25

Если видима сама точка A, то видима и её проекция A₁. По отношению к совпадающей с ней проекцией B₁. Для наглядности и при необходимости на эпюре невидимые проекции точек принято заключать в скобки.

Уберем на модели точки А и В. Останутся их совпадающие проекции на плоскости π₁ и раздельные проекции – на π₂. Условно оставим и фронталь­ную проекцию наблюдателя (⇩), находящегося в центре проецирования S₁. Тогда по цепочке изображений ⇩ → A₂ → B₂ можно будет судить о том, что z_A > z_B и что видима и сама точка А и её проекция А₁.

Аналогично рассмотрим конкурирующие точки С и D по видимости относительно плоскости π₂. Поскольку общий проецирующий луч этих точек l₂параллелен оси 0Y, то признак видимости конкурирующих точек С и D определяется неравенством y_C > y_D. Следовательно, что точка D закрыта точкой С и соответственно проекция точки D₂ будет закрыта проекцией точки С₂ на плоскости π₂.

Рассмотрим, как определяется видимость конкурирующих точек на комплексном чертеже (рис. 25).

Судя по совпадающим проекциям А₁≡В₁ сами точки А и В находятся на одном проецирующем луче, параллельном оси 0Z. Значит сравнению подлежат координаты z_A и z_B этих точек. Для этого используем фронтальную плоскость проекций с раздельными изображениями точек. В данном случае z_A > z_B. Из этого следует, что видима проекция А₁.

Точки C и D на рассматриваемом комплексном чертеже (рис. 25) так же находятся на одном проецирующем луче, но только параллельном оси 0Y. Поэтому из сравнения y_C > y_D делаем вывод, что видима проекция С₂.

Общее правило. Видимость для совпадающих проекций конкурирующих точек определяется сравнением координат этих точек в направлении общего проецирующего луча. Видима та проекция точки, у которой эта координата больше. При этом сравнение координат ведется на плоскости проекций с раздельными изображениями точек.

Задача определения видимости конкурирующих точек имеет большое практическое значение. Поскольку окончательная обводка чертежа геометрической фигуры производится с учетом видимости её элементов.

Прямая и обратная задача

Прямая задача заключается в построении эпюра точки, а обратная задача – в определении местоположения точки в пространстве по ее эпюру.

Решение прямой задачи было рассмотрено при построении эпюра точки методами трех (см. п2.1) и двух (см. п3.1) изображений.

Рассмотрим решение обратной задачи.

Местоположение точки, например точки А, в пространстве определяется ее координатами х_А, y_A и z_A. Определение численных значений координат берется с эпюра (см. рис. 15, 21) как удаление ее проекций точки от осей OX, OY и OZ, а знак от направления удаления от осей (см. рис. 20, 23).

Для наглядности решения обратной задачи рассмотрим примере точки А эпюр и характеристика которой приведены на рис. 26. Из анализа эпюра точки и ее характеристики следует, что точка А(40;50;-20) располагается в IV актанте.

Рис. 26

Наглядное положение точки в пространстве рассмотрим на фронтальной диметрии (рис. 27). Следует помнить, что при построении фронтальной диметрии (см. п1.3):

- ось 0Y на чертеже располагается под углом 45⁰ к осям 0X и 0Z;

- при определении положения точки в пространстве численные значения координаты y вдоль оси 0Yоткладывается в два раза меньше (т.е. масштабе М1:2).

Рис. 27

Задание прямой на эпюре

Чтобы построить прямую на эпюре необходимо на прямой взять две точки и спроецировать их на плоскости проекций (рис. 28). Затем проведя прямые через одноименные проекции точек получим проекции прямой.

Рис. 28

Рис. 29

В общем случае прямые в пространстве могут задаваться (рис. 29) двумя точками (точки А и В), отрезком ([АВ]) или точкой и направлением прямой (например, точкой А и условиями, характеризующими направление прямой).

Примечание. В последующем все эпюры будут выполнятся методом двух изображений и только при необходимости будет использоваться полное проецирование (метод трех изображений).

Характеристика прямых

Все прямые пространства подразделяются на прямые общего и частного положений.

Прямая общего положения. Прямая общего положения не параллельны и не перпендикулярны ни одной из плоскостей проекций.

Примеры таких прямых показаны на рис. 28 и 29.

Особенностью изображения этих прямых является то, что на эпюре проекции прямой составляют с осями проекций произвольные углы и поэтому величина каждой проекции меньше истинной величины самой прямой (рис. 28).

Прямая частного положения. Прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций называют прямыми частного положения.

Прямая, параллельная какой-либо плоскости проекций, а с двумя другими плоскостями образующая произвольные углы, называется прямой уровня. Различают три линии уровня.

1. Прямые, параллельные горизонтальной плоскости проекций; называют горизонтальными или горизонталями h (рис. 30).

Рис. 30

Характерным признаком таких прямых на эпюре является то, что их фронтальные проекции параллельны оси 0Х.

2. Прямые, параллельные фронтальной плоскости проекций; называют фронтальными или фронталями f (рис. 31).

Рис. 31

Характерным признаком таких прямых на эпюре является то, что их горизонтальные проекции параллельны оси 0Х.

3. Прямую, параллельную профильной плоскости проекций, называют профильной р (рис. 32).

Характерным признаком таких прямых на эпюре является то, что их горизонтальные и фронтальные проекции перпендикулярны оси 0Х.

Рис. 32

Следует отметить, что каждая линия уровня будет проецироваться в натуральную величину на ту плоскость проекций, которой она параллельна, углы наклона a и b, которые эта прямая образует с двумя другими плоскостями проекций, так же будут проецироваться на эту плоскость без искажения.

Так на рис. 30 проекция [A₁B₁]=[AB], а угол b – угол наклона отрезка [AB] к плоскости π₂. На рис. 31 проекция [A₂B₂]=[AB], а угол a – угол наклона отрезка [AB] к плоскости π₁. На рис. 32 видно, что все проекция [A₂B₂]=[AB], а углы a и b – углы наклона отрезка [AB] к плоскостям π₁ и π₁ соответственно.

Прямые уровня могут принадлежать плоскостям проекций. Такие прямые называют нулевыми горизонталями, нулевыми фронталями и нулевыми профильными прямыми.

Прямые, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций называются проецирующими:

1) горизонтально-проецирующая – прямая l, перпендикулярная к горизон­тальной плоскости проекций (рис. 33);

2) фронтально-проецирующая – прямая m, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций (рис. 34);

3) профильно-проецирующая – прямая n, перпендикулярная к профильной плоскости проекций (рис. 35).

На рис. 33 34 и 35 видно, что проекции прямых, перпендикулярных к плоскостям проекций, на этих плоскостях представляют собой точки, а на тех плоскостях, которым прямые параллельны, проекции прямых будут перпендикулярны к осям и равны по велич