Методы вычисления коэффициентов взаимосвязи.

1. В спортивных исследованиях между изучаемыми показателями часто обнаруживается взаимосвязь. Вид ее бывает различным. Например, определение ускорения по известным данным скорости в биомеханике, закон Фехнера в психологии, закон Хилла в физиологии и другие характеризуют так называемую функциональную зависимость, или взаимосвязь, при которой каждому значению одного показателя соответствует строго определенное значение другого.

К другому виду взаимосвязи относят, например, зависимость веса от длины тела. Одному значению длины тела может соответствовать несколько значений веса и наоборот. В таких случаях, когда одному значению одного показателя соответствует несколько значений другого, взаимосвязь называют статистической.

Изучению статистической взаимосвязи между различными показателями в спортивных исследованиях уделяют большое внимание, поскольку это позволяет вскрыть некоторые закономерности и в дальнейшем описать их как словесно, так и математически с целью использования в практической работе тренера и педагога.

Среди статистических взаимосвязей наиболее важны корреляционные. Корреляция заключается в том, что средняя величина одного показателя изменяется в зависимости от значения другого.

2. Статистический метод, который используется для исследования взаимосвязей, называется корреляционным анализом. Основной задачей его является определение формы, тесноты и направленности взаимосвязи изучаемых показателей. Корреляционный анализ позволяет исследовать только статистическую взаимосвязь. Он широко используется в теории тестов для оценки их надежности и информативности. Различные шкалы измерений требуют разных вариантов корреляционного анализа.

Анализ взаимосвязи начинается с графического представления результатов измерений в прямоугольной системе координат. Строится график, на оси абсцисс которого откладываются результаты X, а на оси ординат¾результаты Y. Таким образом, каждая пара результатов в прямоугольной системе координат будет отображаться точкой. Полученная совокупность точек обводится замкнутой кривой.

Такая графическая зависимость называется диаграммой рассеивания или корреляционным полем. Визуальный анализ графика позволяет выявить форму зависимости (по крайней мере, сделать предположение). Если форма корреляционного поля близка к эллипсу, такую форму взаимосвязи называют линейной зависимостью или линейной формой взаимосвязи.

Однако, на практике можно встретить и иную форму взаимосвязи. Зависимость, экспериментально полученная при подачах в теннисе, является характерной для нелинейной формы взаимосвязи, или нелинейной зависимости.

Таким образом, визуальный анализ корреляционного поля позволяет выявить форму статистической зависимости¾линейную или нелинейную. Это имеет существенное значение для следующего шага в анализе¾выбора и вычисления соответствующего коэффициента корреляции.

3. Если измерения происходят в шкале отношений или интервалов и наблюдается линейная форма взаимосвязи, для количественной оценки тесноты взаимосвязи используется коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона. Обозначается буквой r. Вычисляется по формуле:

,

где и – средние арифметические значения показателей x и y; σ_x и σ_y – средние квадратические отклонения; n – число измерений (испытуемых).

Его свойства:

1) Значения r могут изменяться от –1 до 1.

2) В случае r=-1 и r=1 взаимосвязь функциональная, соответственно, отрицательная и положительная.

3) При r=0 линейная взаимосвязь не установлена, но при этом может наблюдаться взаимосвязь другой формы.

4) При r<0 взаимосвязь отрицательная, при r>0 – положительная.

Для оценки тесноты взаимосвязи в корреляционном анализе используется значение (абсолютная величина) коэффициента корреляции. Абсолютное значение любого коэффициента корреляции лежит в пределах от 0 до 1. Объясняют (интерпретируют) значение этого коэффициента следующим образом:

¾коэффициент корреляции равен 1,00 (функциональная взаимосвязь, т.к. значению одного показателя соответствует только одно значение другого показателя);

¾коэффициент корреляции равен 0,99¾0,7 (сильная статистическая взаимосвязь);

¾коэффициент корреляции равен 0,69¾0,5 (средняя статистическая взаимосвязь);

¾коэффициент корреляции равен 0,49¾0,2 (слабая статистическая взаимосвязь);

¾коэффициент корреляции равен 0,19¾0,01 (очень слабая статистическая взаимосвязь);

¾коэффициент корреляции равен 0,00 (корреляции нет).

4. Прежде, чем начать механическую процедуру вычисления коэффициента корреляции, необходимо ответить на некоторые вопросы:

1) В какой шкале измеряется изучаемый показатель?

2) Как много измерений этого показателя выполнено?

3) Можно ли считать ряд измерений показателя выборкой, имеющей нормальный закон распределения?

И т.д.

От ответов на эти вопросы зависит, какой именно коэффициент взаимосвязи будет вычисляться.

В частности, в том случае, когда измерения проводятся в шкале интервалов или отношений, для оценки тесноты взаимосвязи вычисляют коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона; в ранговой шкале вычисляют ранговый коэффициент корреляции Спирмэна; а в шкале наименований, когда интересующие признак варьирует альтернативно, используют тетрахорический коэффициент сопряженности.

Ранговый коэффициент корреляции Спирмэна вычисляют по формуле:

,

где d=d_x-d_y – разность рангов данной пары показателей X и Y; n – объем выборки.

Применяется, когда показатели измерены в шкале наименований (т.е. им присвоены числа, но нельзя сказать, что один из них больше другого), а показатели варьируют альтернативно (пол мужской/женский, выполнение или невыполнение задания и т.д., иначе говоря, есть два состояния: 0 и 1).

Обозначается Т₄ и вычисляется по формуле:

,

где A – значение, которое соответствует числу испытуемых (попыток), совпадающих по обоим показателям X и Y, т.е. 1 и 1; B – значение, которое соответствует числу совпадений 0 – X и 1 – Y; C – значение, соответствующее числу совпадений 1 – X и 0 – Y; D – значение совпадений 0 и 0; n – объем выборки.

Контрольные вопросы для самопроверки:

1. Функциональная взаимосвязь. Определение и примеры.

2. Статистическая взаимосвязь. Определение и примеры. Корреляционная взаимосвязь.

3. Основные задачи корреляционного анализа.

4. Корреляционное поле. Порядок построения, анализ изображения.

5. Направленность взаимосвязи.

6. Коэффициент корреляции Браве-Пирсона и его свойства.

7. Правила выбора коэффициента взаимосвязи.

Литература:

1. Основы математической статистики. Уч. пособие для ин-тов физической культуры (под общ. ред. В.С. Иванова). – М.: Физкультура и спорт, 1990. – С. 124 – 126, 142 – 150, 155 – 162.

2. Рукавицына С.Л., Волков Ю.О., Солтанович Л.Л. Спортивная метрология. Проверка эффективности методики тренировки с применением методов математической статистики. Практикум для студентов БГУФК. – Минск: БГУФК, 2006. – С. 42 – 48.

3. Гинзбург Г.И., Киселев В.Г. Расчетно-графические работы по спортивной метрологии. – Минск: БГОИФК, 1984. – С. 51 – 60.

ЛЕКЦИЯ 5.

Тема: Статистические гипотезы и достоверность статистических характеристик. Сравнение средних арифметических по данным малых выборок. Расчёт и построение доверительных интервалов.

Вопросы для рассмотрения: