Линейная корреляция и коэффициент корреляции

При проведении некоторых химико-аналитических исследований возникает необходимость оценить характер и степень зависимости одной экспериментальной величины от другой или других исследуемых величин. С точки зрения математической статистики решение задач подобного рода направлено на установление корреляции между случайными величинами. Две случайные переменные могут быть связаны между собой, не находясь в функциональной зависимости. Такая связь называется корреляционной. В теории корреляции выделяют две основные задачи:

1) установить форму корреляционной зависимости;

2) оценить степень корреляционной зависимости.

Коэффициент корреляции служит мерой близости зависимости между двумя величинами к линейной x и y. Он рассчитывается по формуле

,

где n- число данных (пар значений x,y );

S_x - стандартное отклонение x;

S_y - стандартное отклонение y;

средние значения x и y.

Уравнение может быть записано в другой форме, которая более удобна для вычисления с помощью калькулятора

(*)

Наибольшее возможное значениеrравно 1. В этом случае между двумя переменными имеется строгая линейная зависимость. Если значение (r)равно нулю, переменные можно считать полностью независимыми друг от друга. Наименьшее возможное значение (r) равно (-1). В этом случае между переменными также наблюдается строгая зависимость. Отрицательное значение коэффициента корреляции указывает на то, что с возрастанием одной переменной другая переменная убывает.

Пример.С целью определения концентрации медного купороса в растворе отобрали 25 см³ пробы и прибавили к нему 10 см³ раствора KI с массовой долей 10 %. Выделившийся в эквивалентном количестве I₂ оттитровали раствором тиосульфата натрия с молярной концентрацией эквивалента 0,05 моль/дм³ амперометрически.

Уравнения протекающих при этом реакций

2Cu²⁺ + 4I^¯ = 2CuI+ I₂,

I₂ + 2Na₂S₂O₃ = 2NaI + Na₂S₄O₃.

Титрование проводили дозируя титрант по 0,5 см³ и записывая после каждой дозировки значение силы тока, mA. Результаты титрования в таблице 9.

Таблица 9 – Результаты титрования

V (см3), Na2S2O3 (xi)	0,00	0,50	1,00	1,50	2,00	2,50	3,00	3,25
I, mA (yi)	56,00	46,00	35,00	25,00	14,00	8,00	4,00	0,00

Рассчитатькоэффициент корреляции величин хиу.

Решение:Для удобства вычислений составим таблицу расчетных значений

Таблица 10 – Расчетные значения

№ n/n	V(см3)Na2S2O3(x*)	I,mA (y*)			xi·yi
	0,00	56,00	0,00		0,00
	0,50	46,00	0,25		23,00
	1,00	35,00	1,00		35,00
	1,50	25,00	2,25		37,50
	2,00	14,00	4,00		28,00
	2,50	8,00	6,25		20,00
	3,00	4,00	9,00		12,00
	3,25	0,00	10,563		0,00
∑	13,75	188,00	33,313		155,50
П р и м е ч а н и е- * далее в расчетах использованы обозначения х; у

Рассчитаем среднеарифметические значения х, у:

По формуле (*) рассчитаем коэффициент корреляции:

Вывод: Между переменными наблюдается строгая зависимость. Отрицательное значение коэффициента корреляции показывает, что с возрастанием переменной x переменная y убывает.

Контрольное задание № 7

Рассчитать коэффициент корреляции величин, наблюдаемых при амперометрическом титровании раствором тиосульфата натрия йода, выделившегося в результате взаимодействия KI с сульфатом меди.

Таблица 11 - Исходные данные контрольного задания № 7

Вариант №	Результаты титрования
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50	0,55	0,60
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,15	0,19	0,24	0,35	0,44	0,51	0,56
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,20	0,40	0,50	0,60	0,70	0,75	0,80
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,75
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,12	0,19	0,23	0,30	0,35	0,40	0,46
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,42	0,48	0,56	0,62	0,70	0,82	0,9
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,10	0,20	0,30	0,40	0,45	0,50	0,55
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,12	0,25	0,40	0,50	0,60	0,65	0,70
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,10	0,20	0,30	0,50	0,60	0,70	0,90
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,10	0,20	0,30	0,50	0,60	0,70	0,80
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,18	0,24	0,35	0,40	0,46	0,57	0,60
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,12	0,20	0,30	0,45	0,60	0,70	0,75
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,11	0,16	0,28	0,36	0,45	0,55	0,60
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,10	0,20	0,30	0,40	0,45	0,50	0,55
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,16	0,20	0,28	0,34	0,48	0,59	0,63
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,25	0,25	0,30	0,35	0,40	0,46	0,50
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,05	0,13	0,16	0,26	0,37	0,45	0,50
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,23	0,35	0,40	0,46	0,58	0,64	0,70
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,35	0,40	0,45	0,56	0,64	0,78	0,81
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,08	0,16	0,24	0,30	0,38	0,46	0,52
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,32	0,45	0,50	0,54	0,64	0,68	0,75
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,15	0,24	0,30	0,35	0,48	0,56	0,62
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,21	0,26	0,34	0,47	0,56	0,60	0,65
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,18	0,28	0,34	0,42	0,51	0,62	0,67
I(mA)								0,00
	V, см3 (Na2S2O3)	0,00	0,10	0,20	0,35	0,40	0,45	0,52	0,59
I(mA)								0,00