В соревнованиях по легкой атлетике стартовало 15 участников. На финиш пришло 13 участников. Какова погрешность приближения?

х » a; х = 15; a = 13 - приближенное значение с недостатком;

х - a = 15 - 13 = 2; х - a = 2; х - a > 0 .

Вывод:

1. Погрешность приближения может быть и положительной, и отрицательной.
2. Пусть х » a .

Если a £ х, то а - приближенное значение с недостатком величины х.

Если a ³ х, то а - приближенное значение с избытком величины х.

Замечание: При вычислениях чаще не важно больше приближенное значение точного или меньше, а важно, только, на сколько они отличаются друг от друга. Поэтому на практике чаще определяют не погрешность, а абсолютную погрешность приближения.

Определение: Абсолютной погрешностью приближенного значения величины называется модуль разности между точным и приближенным значениями этой величины.

х » a - a приближенное значение х.

D x = | х - a | -абсолютнаяпогрешность приближения.

Вывод:

1. Абсолютнаяпогрешность приближения всегда положительна, то есть D x > 0.

2. Абсолютнаяпогрешность приближения всегда измеряется в тех же единицах, что и сама величина, то есть абсолютнаяпогрешность является размерной величиной.

Пример:

1. х = D x = | х - a |

a = - 0,333 D x =

D x = ? D x =

2. p = 3,1415926… D p = | 3,1415926… - 3,14 |

p » 3,14 D p = 0,0015926…

D p = ?

Абсолютнаяпогрешность приближения может быть громоздкой, неудобной для вычислений (пример 1). Более того, абсолютнуюпогрешность приближения нельзя определить, если неизвестно точное значение величины (пример 2).

Вывод: Если абсолютнуюпогрешность приближения нельзя определить или абсолютнаяпогрешность приближения громоздка, то в каждом конкретном случае можно указать положительное число, которое больше или равно самой абсолютнойпогрешности.

Определение: Границей абсолютной погрешности приближения называется такое положительное число h , которое больше или равно самой абсолютнойпогрешности.

D x = | х - a | £ h

Пример: При покупке часов клиент получает свидетельство, в котором завод-изготовитель гарантирует точность суточного хода часов в пределах ± 45 секунд, что означает: часы не должны уходить вперед или отставать в сутки более чем на 45 секунд. Если при проверке купленных часов с сигналами точного времени, даваемыми по радио, обнаружилось, что часы уходят вперед в сутки на 20 секунд, то 20 секунд - абсолютная погрешность суточного хода данных часов. А число 45 секунд - граница абсолютной погрешности приближения.

Замечание:

1. В отличие от абсолютной погрешности граница абсолютной погрешности не определяется однозначно. Поэтому на практике в качестве границы абсолютной погрешности берется число, мало отличающееся от абсолютной погрешности и удобное для вычислений.

2. Если задана граница абсолютной погрешности h , то говорят, что a есть приближенное значение числа x с точностью до h , и пишут x = a ± h.

x = a ± h Û a - h £ x £ a + h ,

a - h - нижняя границачисла x ,

a + h - верхняя границачисла x .

Пример:

1. Определить границу абсолютной погрешности приближенного значения 2,7 числа е = 2,718281828459045… .

D x = | х - a | ;

D е = | 2,718281828459045… - 2,7 | = 0,018281828459045… £ 0,02; h = 0,02;

е = 2,7 ± 0,02.

2. Электрическая сеть выдерживает напряжение U = 220 ± 3 B. Что означает эта запись? Укажите границы возможного напряжения в сети.