Боковые ребра призмы равны и параллельны

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА, ИХ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЁМЫ

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕЛО. МНОГОГРАННИК

Определение: Объединение ограниченной пространственной области и ее границы называется геометрическим телом.

Граница – поверхность геометрического тела.

Пространственная область – внутренняя область геометрического тела.

Определение: Многогранником называется геометрическое тело, поверхностью которого является конечное число многоугольников, каждая сторона любого многоугольника является стороной двух и только двух граней, не лежащих в одной плоскости. Многоугольники – грани многогранника.

Вершины и стороны граней – вершины и ребра многогранника.

Многогранники классифицируются по числу граней: тетраэдр(четырехгранник), пентаэдр (пятигранник), гексаэдр (шестигранник), октаэдр (восьмигранник), додекаэдр (двенадцатигранник), икосаэдр (двадцатигранник).

Определение: Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

ПРИЗМА. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Определение: Многогранник, две грани которого многоугольники, принадлежащие параллельным плоскостям, а остальные грани – параллелограммы, называется призмой. Многоугольники, принадлежащие параллельным плоскостям – основания призмы. Параллелограммы – боковые грани призмы.

Стороны параллелограммов, соединяющие соответствующие вершины оснований призмы – боковые ребра призмы.

А₁А₂…А_пВ₁В₂…В_п – п-угольная призма;

А₁А₂…А_п; В₁В₂…В_п – основания п-угольной призмы;

А₁В₁В₂А₂; …; А₁В₁В_пА_п – боковые грани п-угольной призмы;

А₁В₁; А₂В₂; … ; А_пВ_п – боковые ребра п-угольной призмы.

Свойства:

Основания призмы равны и параллельны.

Боковые ребра призмы равны и параллельны.

Определение: Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны к основаниям (Рис.1.), в противном случае призма называется наклонной (Рис. 2.).

Рис.1. Рис. 2. Рис.3.

Призма называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной, … в зависимости от того, какой многоугольник лежит в ее основании.

Определение: Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы (Рис. 3.).

В₁М ^ А₁А₂А₃ ; О₁О₂ ^ А₁А₂А₃ ;

В₁М = О₁О₂ = h – высота призмы.

Замечание: Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Определение: Прямая призма называется правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники.

Замечание: Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.

Справка:

1. Правильный четырехугольник – квадрат;

2. Правильный треугольник – равносторонний треугольник;

3. Правильный шестиугольник.

Определение: Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом (Рис. 1.).

Определение: Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны основаниям (Рис. 2.).

Определение: Прямой параллелепипед, основания которого прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом. (Рис. 3.)

Определение: Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются линейными размерами (измерениями) прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота). (Рис. 3.)

Определение: Прямоугольный параллелепипед, все линейные размеры которого равны между собой, называется кубом. (Рис. 4.)

Свойства:

1. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
3. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов его линейных размеров. d ² = а ² + b ² + с ²
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Упражнения:

1. Определить диагонали прямоугольного параллелепипеда по его измерениям:

a) 8, 9, 12;

B) 12, 16, 21.

1. Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 м, стороны основания равны 8 м и 6 м, а одна из диагоналей основания равна 12 м. Определить диагонали параллелепипеда.

Справка: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

1. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 5 см и 3 см, а одна из диагоналей равна 4 см. Найти большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ, образует с плоскостью основания угол 60°.
2. В правильной четырехугольной призме площадь основания равна 144 см², а высота равна 14 см. Определить диагональ этой призмы.

ПОВЕРХНОСТЬ ПРИЗМЫ

Определение: Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

Определение: Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

Определение: Перпендикулярным сечением призмы называется многоугольник, полученный при пересечении призмы плоскостью, перпендикулярной ее ребрам.

Теорема: Площадь боковой поверхности призмы равна произведению бокового ребра на периметр перпендикулярного сечения.

Дано:

АВСDА₁В₁С₁D₁ – призма;

А А₁ = l;

l ^ КLMNP;

Р_^ = Р(КLMNP)

Доказать:

Следствие: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту.

; ;

Упражнения: