Задача 1. Для графа G указать вершины, ребра, изолированные вершины, кратные ребра, петли.
Задача 2. Для графа Д указать вершины, дуги, петли.
Задача 3. Задан орграф G2. Указать вершины, дуги. У дуги х3 начальную и конечную вершины. Какая из дуг является петлей?
Задача 4.Для графа G привести примеры маршрута, замкнутого маршрута, простой цепи, цикла, простого цикла.
Задача 5. Представить карту Брянской области в виде плоского графа (вершины – районы, ребра – границы).
Задача 6. Сколько существует простых путей из левой нижней в правую верхнюю вершину в данном графе?
Понятие связности, смежности и инцидентности
Если в графе любые две вершины можно соединить цепью, то граф называется связным. В противном случае он несвязный.
Связный граф, не содержащий циклов, называется деревом. Несвязный граф распадается на непересекающиеся максимальные связные компоненты (связные подграфы).
Вершины vi, vi+1, соединенные между собой ребром (дугой), называются смежными. Таким образом, смежность это отношение между вершинами.
С другой стороны, вершины vi, vi+1 инцидентны ребру (дуги), которым они связаны.
Таким образом, инцидентность характеризует отношение между ребрами и вершинами. Ребро (дуга) инцидентно каждой вершине, которую оно соединяет. В результате можно сделать вывод, что граф задает два основных отношения: смежности и инцидентности. Степень вершины графа – число ребер, инцидентных ей. Если степень вершины графа равна 1, то она называется висячей. Если степень вершины графа равна 0, то она называется изолированной.
Пусть дан граф G с вершинами v1,…, vn и ребрами х1,…,хm.
Матрица смежности графа G – это квадратная матрица А(G) размера n x n (n – число вершин) с элементами
Матрица смежности графа G обладает свойством симметрии. Она показывает, существует ли путь длины 1 из вершины vi в вершину vj. Также можно получить информацию о путях большей длины. Для этого необходимо возвести матрицу смежности в нужную степень. m – степень матрицы смежности Аm, заполненная числами аij(m), показывает число путей длины m из i вершины в j.
Дан орграф D с вершинами v1,…, vn и дугами х1,…,хm. Матрица смежности орграфа D – это квадратная матрица А(D) размера n x n (n – число вершин) с элементами
Матрица смежности орграфа D свойством симметрии не обладает.
Матрица инцидентности орграфа D – это матрица В(D) размера n x m (n – число вершин, m – число дуг) с элементами
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Для графа G перечислить все вершины и ребра, указать степени всех вершин. Какие из них являются висячими, а какие изолированными?
3 bnJldi54bWxMj81OwzAQhO9IvIO1SFwq6tRSkxCyqVAlLnAACg/gxEsS4Z8Qu6n79rgnOI5mNPNN vYtGs4VmPzqLsFlnwMh2To22R/j8eLorgfkgrZLaWUI4k4ddc31Vy0q5k32n5RB6lkqsryTCEMJU ce67gYz0azeRTd6Xm40MSc49V7M8pXKjuciynBs52rQwyIn2A3Xfh6NBeH59W51FzFc/xbbdx6XU 8cVrxNub+PgALFAMf2G44Cd0aBJT645WeaYRtkWekghCFMAuvijStxbhflMCb2r+/0DzCwAA//8D AFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9U eXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9y ZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAAFOUeT1AQAA6wMAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRy cy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAK8SuWHdAAAACAEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAATwQA AGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAABZBQAAAAA= " strokecolor="black [3040]"/>
Решение. v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7 – вершины графа G; ребра графа G – х1, х2, х3, х4, х5. Вершина v1 имеет степень 1, так как ей инцидентно только одно ребро х1. Вершина v2 имеет степень 4, так как ей инцидентны ребра х1, х2, х4, х5. Вершина v3 имеет степень 2, так как ей инцидентны два ребра х2 и х3 и т.д. Вершина v7 имеет степень 0, так как нет ребер ей инцидентных. Таким образом, вершины v1 и v6 являются висячими, так как их степень равна 1. Вершина v7 является изолированной, так как она имеет степень 0.
Задача 2. Для графа G построить матрицу смежности А(G).
Решение. Так как у графа 5 вершин, то размер матрицы А(G) будет 5х5. Так как вершины v1и v2 связаны ребром х1, то а12=1, так как вершины v1 и v3 связаны ребром х2, то а13=1, и т.д. В результате получаем матрицу смежности А(G):
Заметим, что матрица смежности А(G) обладает свойством симметрии.
Задача 3. Пусть дан орграф D. Записать для графа D матрицу смежности А(D) и матрицу инцидентности В(D).
Решение. Орграф D содержит 6 вершин и 7 дуг, поэтому размер матрицы А(D) будет 6х6, а матрица В(D) – 6х7. Так как орграф D не содержит дуги из v1 в v1 (петли), то а11=0. Так как орграф D не содержит дуги из v1 в v2, то а12=0. Так как из вершины v1 в вершину v3 существует дуга х2, то а13=1 и т.д.
В результате получаем матрицу инцидентности А(D):
Матрица смежности А(D) орграфа D не обладает свойством симметрии.
Составим матрицу инцидентности В(D) орграфа D. Элемент b11=-1, так как в вершине v1 заканчивается дуга х1;
элемент b12=1, так как в вершине v1 заканчивается дуга х2 и т.д. В результате получаем матрицу инцидентности В(D):
Задача 4.Пусть дан граф G. Определить количество путей длины 3 из вершины v2 в вершину v5.
Решение. Составим матрицу смежности графа G. Так как вершин у графа G равно 5, то матрица смежности имеет размерность 5х5.
Так как необходимо определить пути длины 3, то матрицу смежности возведем в 3-ю степень.
Так как элемент а25=1, то из вершины v2 в вершину v5 существует один путь длины 3, а именно х2 х4 х6.
